一個變式教學的案例設計與分析

余紅宴

摘 要：變式教學是數學教學改革的成功經驗，被認為是有效促進數學學習的中國方式。文章從一道課后習題出發，成功設計過程性變式案例，并對案例進行了分析和總結。

關鍵詞：習題教學;變式教學;數學思維;過程性變式

變式教學在國際上被認為是促進有效的數學學習的中國方式，馬頓（Marton）理論為變式教學提供了認識論基礎和支撐理論。在《華人如何學習數學》的著作中，變式教學已經成為“中國學習者”現象的正面評價之一[1]。近些年來，中小學已有很多教師開展變式教學方面的實踐[2-9]。顧泠沅提出了變式教學的兩種類型：概念性變式和過程性變式[1]。

本文從一道高中課后習題出發，基于數學問題解決的基本思路，設計問題串，形成過程性變式案例。

1 課后習題

[原題]如圖1，把一段半徑為的圓木，鋸成橫截面為矩形的木材，怎樣鋸法才能使橫截面面積最大？

[問題分析]將問題抽象為一個圓形內接矩形的面積最大值問題。

[解答]因為鋸得的矩形是圓內接矩形，所以它的對角線是圓的直徑，其長度應為2R，設對角線與一條邊的夾角為α，則矩形的長和寬分別為2Rcosα，2Rsinα。所以矩形的面積

當且僅當等號成立。

即時α=45°時，，此時矩形為內接正方形。

2 過程變式設計

[變式1] 如圖2，[原題]中的“圓木”改為“半圓木”呢？

[解答] 由題意可知AB=2Rcosα，BC=Rcosα，由此可知

當且僅當2α=90°，即α=45°時，Smax=R2。此時，矩形長與寬之比為2：1。

[變式2]如圖3，[變式1]中的“半園”改為“園心角為90°的扇形”呢？

[解答]由題意可知OA=Rcosα，AB=Rsinα，即

當且僅當2α=90，即α=45°，。此時，矩形是正方形。

[變式3]如圖4，[變式2]中的“圓心角為90°的扇形”改為“中心角為45°的扇形”呢？

[解答]設，BC=Rsinα，OA=AD=Rsinα，BC=Rsinα，由此可得

當且僅當α=22.5°，矩形的面積最大。

[變式4] 如圖5，[變式3]中的“園心角為45°”改為“園心角為θ”（0°<θ<90°）呢？

[思考分析]設，，由此可得

BC=Rsinα，CD

所以，

[變式5]如圖6，改變[變式2-4]中對矩形的放置限制呢？

[思考分析]因為圖6扇形是軸對稱圖形，對稱軸的兩邊恰好是[變式4]的情形。

[變式6] 如圖7，從[變式1]“鋸圓木”回歸生活實際中，[變式5]可以改編為一道古代扇形窗戶的設計題。

[應用題]，如圖7所示，有一半徑為的古代扇形窗戶，中心角為2θ，現要求改造為一矩形窗戶，問如何設計才能使矩形窗戶的面積最大？

3 教后反思

高中教材課后習題，都具有典型性、可探索性。可以根據過程性變式理論，設計問題串，引申，擴展，使得學生的思維能力在變式的過程得到訓練，擴寬學生的解題思路，能夠有效促進數學問題解決的遷移能力的提高。隨著新課程改革的深入，看似“慢”的教學，只要長期堅持，就會極大的加快數學課堂教學效率的提升，實際上是一種“快”的教學。

參考文獻：

[1] 范良火等.華人如何學習數學[M].南京：江蘇教育出版社，2005.

[2] 張景龍.變式教學在高中數學教學中的有效性研究[J].課程教育研究，2019（44）：74.

[3] 陳貴玲.巧用變式教學 創新教學情境[J].中國農村教育，2019（29）：104-105.

[4] 劉金發.初中數學變式教學的概念及實施策略探索[J].數學學習與研究，2019（19）：58.

[5] 陳貴玲.巧用變式教學 創新教學情境[J].中國農村教育，2019（27）：77-78.

[6] 李棟梁.變式訓練教學模式在高中數學解題中的應用分析[J].數學學習與究，2019（18）：131.

[7] 丁國蘭.注重變式教學，提升學生的思維能力[J].數學教學通訊，2019（26）：24-25+36.

[8] 鄭福梅.利用變式教學培育數學學科核心素養的思考[J].數學教學通訊，2019（24）：36-37.

[9] 王新星.淺談高中數學課堂中的變式教學[J].數學教學通訊，2019（24）：67-68.