方寸之間 素養萬千

成靜

摘 要：格點問題是中考中常見的題型，其中以方格為背景的幾何作圖、證明與計算對學生更具挑戰性。這類題主要考查學生直觀想象、邏輯推理、數學建模等核心素養。研究格點問題，提煉思想方法，對平常教學中落實核心素養具有積極意義。

關鍵詞：格點問題;推理作圖;核心素養

一、格點問題中數學核心素養的體現

類型一：以方格為背景的幾何作圖

例1.原題呈現（湖北武漢2019中考試題第20題）

如圖是由邊長為1的小正方形構成的網格，每個小正方形的頂點叫做格點.四邊形ABCD的頂點在格點上，點E是邊DC與網格線的交點.請選擇適當的格點，用無刻度的直尺在網格中完成下列畫圖，保留連線的痕跡，不要求說明理由。

（1）如圖1，過點A畫線段AF，使AF∥DC，且AF=DC;

（2）如圖1，在邊AB上畫一點G，使∠AGD=∠BGC;

（3）如圖2，過點E畫線段EM，使EM∥AB，且EM=AB.

試題解析：

本題的第一小問和第三小問均可利用構造平行四邊形得到結果，而難點在于第二小問，在邊AB上尋找一個點G，使∠AGD=∠BGC。如何由方格問題轉化成角相等的問題，這是學生思維轉換的一個關鍵點，那么學生可能會先猜想點G為AB邊上的兩個格點，由兩角的銳角三角函數值得出角度關系，或者利用構造兩角所在的三角形相似或全等來判斷，可以很容易發現AB邊上的兩個格點均不能滿足條件，那么點G將不在格點上，必須尋找另外的思路。解決此題有以下兩種方法。

方法一：利用對頂角相等及等腰三角形的性質來解決，先大致想象一個點G的位置，延長DG構造∠BGM，則∠BGM=∠AGD（對頂角相等），要使∠AGD=∠BGC，則需M∠BGM=∠BGC，結合AB⊥BC，這就出現了等腰三角形三線合一的基本圖形，于是利用等腰三角形的性質即可找到格點M，連接DM交AB于點G（如圖3）。

方法二：此題可以轉化成尋求∠ADG=∠BCG，利用兩直線平行，內錯角相等，再結合等腰三角形三線合一的基本性質得以解決。

無論是哪一種方法，首先需要學生通過直觀識圖進行猜想，再通過邏輯推理驗證，從而發現AB邊上的格點不符合條件，再充分結合方格中的平行、垂直建立等腰三角形三線合一的基本圖形來解決問題，其中也出現M型的相似圖形，考查了學生數學建模的核心素養。

類型二：以方格為背景的證明與計算

例2.原題呈現（2019年廣東省中考題第22題）

在如圖4所示的網格中，每個小正方形的邊長為1，每個小正方形的頂點叫格點，△ABC的三個頂點均在格點上，以點A為圓心的與BC相切于點D，分別交AB、AC于點E、F.

（1）求△ABC三邊的長;

（2）求圖中由線段EB、BC、CF及所圍成的陰影部分的面積.

試題解析：

本題第一小問難度不大，學生均可通過勾股定理來計算△ABC三邊的長，第二小問用割補法求解陰影部分面積的方法也是常見的一種方法，但如何求△ABC的面積及扇形AEF的面積是本小題的易錯點。易錯點一：未辨別△ABC的形狀，即直接將AB和AC的長度當作底和高來求解;易錯點二：在求扇形的半徑時，連接AD，把點D默認為方格中的一個格點，用勾股定理進行求解。部分學生算出的答案雖然是正確的，但缺少了幾何證明過程的嚴謹性，這就反映了一個學生是否具備邏輯推理的核心素養。而邏輯推理是數學教學活動的核心，也是教師培養學生學科素養的重要途徑。

二、格點問題對課堂教學的啟示

1.課堂教學中鼓勵學生大膽猜想，創新學習

格點問題的解決要求學生能從一個實際背景中，用數學的眼光去觀察圖形的結構特征，結合基本經驗去建立基本圖形，并能運用嚴密的邏輯推理來表述數學特征，得出數學結論。對格點問題的分析使我們明確，在課堂教學中要培養學生的基本核心素養，必須注重知識的形成過程，數學抽象、直觀想象與數學建模三大核心素養的類似之處便是從一個實際的情景或者圖形中用數學的眼光去發現—形成—猜想—論證，從而結合“特殊與一般”思想、“數形結合”思想來促進學生核心素養的提升，而這一過程正是我們課堂教學中的必備過程。

2.關注學生學習的過程

現在的數學課堂，老師成了學生學習的輔助，不再是學生學習的主體。地位的改變使學生對學習更加感興趣，我把動手實踐、自主探究與合作交流作為學生學習數學的重要方式，讓學生在合作交流、與人分享和獨立思考的氛圍中傾聽、質疑、發展、提高，使學生有充分的從事數學活動的時間和空間[1]。

總之，數學核心素養是人們通過數學學習建立起來的認識、理解和處理周圍事物時所具備的品質，通常是在人們與周圍環境產生相互作用時所表現出來的思考方式和解決問題的策略[2]。

參考文獻：

[1]李良川.如何在課堂中培養學生的數學核心素養[J].教師，2019（21）.

[2]張健.“核心素養”如何在數學學科教學中落地生根[J].數學教學通訊，2017（25）.

編輯 常超波