基于核心素養(yǎng)的一道幾何習題的變式教學探究

李志平

[摘 ?要] 幾何教學是初中數(shù)學教學的重要組成部分，也是初中數(shù)學教學的難點. 如何通過幾何教學培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)，是新時代數(shù)學教師所面臨的課題. 文章拋磚引玉，以“共頂點旋轉(zhuǎn)全等三角形”為基本模型，結(jié)合平行線、全等三角形、角平分線、等腰三角形等八年級學生所掌握的知識，以課本的一道習題為出發(fā)點，改編出一系列變式練習，希望通過變式教學，促進學生數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展.

[關(guān)鍵詞] 幾何習題;變式教學;核心素養(yǎng)

在當前初中幾何教學中，部分教師未能充分開發(fā)教材例、習題資源，過于推崇課外資料，加重學生學業(yè)負擔，對教材基礎性的例、習題缺乏重視或認識不足，對教材例、習題的使用存在局限性，對例、習題的講解缺少解題思路剖析，沒有揭示題目背景，也沒有適當?shù)刈兪酵卣? 本文以一道課本習題為例，結(jié)合學生既有知識，形成一系列變式教學. 這既有利于培養(yǎng)學生在幾何直觀和邏輯推理方面的核心素養(yǎng)，也能夠給開始嘗試幾何變式教學的教師提供參考.

原題及出處

新人教版數(shù)學教材八年級上冊第83頁習題13.3第12題：如圖1，△ABC，△ADE都是等邊三角形，求證：BD=CE.

原題分析與解答

背景分析：本題是以“共頂點旋轉(zhuǎn)全等三角形”為基本模型的題型. 此題型在教材、課外參考資料乃至中考中屢見不鮮，它有多樣的變式和漂亮的性質(zhì)，對學生的思維具有深刻的啟發(fā)作用，對變式教學而言具有極大的研究價值.

思路分析：可通過證明△ACE≌△ABD得CE=BD. 根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可以通過SAS證△ACE≌△ABD，也可以通過把△ABD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACE，同樣可得△ACE≌△ABD.

證明：因為△ABC和△ADE為等邊三角形，所以AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE= 60. 所以由△ABD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°可得△ACE，所以△ACE≌△ABD，所以CE=BD.

變式拓展

變式1 ?（“8字形”）？搖如圖2，△ABC和△ADE均為等邊三角形，求證：∠COB=60°.

證法一：易證△ACE≌△ABD，所以∠ACE=∠ABD，在△APC和△OPB中，由外角性質(zhì)知：∠APO=∠PCA+∠PAC，∠APO=∠PBO+∠POB，所以∠COB=∠CAB=60°.

證法二：易證△ACE≌△ABD，所以∠ACE=∠ABD，在△APC和△OPB中，由三角形內(nèi)角和定理知：∠APC+∠PCA+∠PAC=180°，∠BPO+∠PBO+∠POB=180°. 又因為∠APC=∠BPO，所以∠COB=∠CAB=60°.

評注 ?“全等三角形三組對應邊的夾角相等”是不要求學生掌握的性質(zhì)，但在練習題甚至中考中卻時常出現(xiàn). 在變式1中，△ACE≌△ABD，對應邊AC和AB的夾角和對應邊AE和AD的夾角均為60°，由上述性質(zhì)知：對應邊CE和BD的夾角∠COB=60°. 在學生解題過程中，上述性質(zhì)不能直接運用，只能作為理解題目的切入點. 我們需要展示給學生的，是歸納這類圖形的共性：共頂點旋轉(zhuǎn)全等，對應角構(gòu)成“8字形”. 如圖2陰影部分，∠ACE和∠ABD是對應角，兩角（四條射線）交匯形成“8字形ABOCA”. 我們注意到，8字形由△APC和△OPB組成，在這兩個三角形中分別運用外角的性質(zhì)（或三角形內(nèi)角和定理）可以證明對應邊CE和BD的夾角也為60°. 同理，另一組“8字形AEODA”也可得對應邊CE和BD的夾角∠EOD=60°.

變式1-1？搖 如圖3，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC. 求證：EC⊥BF.

證明：顯然△ACE≌△AFB，對應角∠AEC和∠ABF構(gòu)成“8字形ABMEA”，由外角的性質(zhì)（或三角形內(nèi)角和定理）易證：∠EMB=∠EAB=90°，所以EC⊥BF.

評注 ?找“8字形”是求第三組對應邊夾角的有效途徑. 在構(gòu)成“8字形”的兩個三角形中，有一組角是“共頂點旋轉(zhuǎn)全等三角形”的對應角，另一組角是對頂角，所以第三組角相等. 因此我們只要找到構(gòu)成 “8字形”的兩個三角形，就可輕易解決角相等的問題.

變式2 ?（二次全等）如圖4，△ABD和△BCE均為等邊三角形，且A，B，C在同一條直線上，求證：（1）△BCQ≌△BEP;（2）△BAP≌△BDQ;（3）△BPQ為等邊三角形.

證明：（1）顯然△BAE≌△BDC，所以∠BCQ=∠BEP，易證∠PBE=∠QBC=60°，BC=BE，所以△BCQ≌△BEP.

（2）同（1）法可證：△BAP≌△BDQ.

（3）由（1）知△BCQ≌△BEP，所以BP=BQ，又因為∠PBQ=60°，所以△BPQ為等邊三角形.

評注 ?此題是二次全等的典型習題，圖形雖較復雜，但抓住本質(zhì)即可快速解答，與原題有異曲同工之妙，有利于培養(yǎng)學生邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng).

變式3 ?（角平分線的判定）如圖5，△ABD和△BCE均為等邊三角形，且A，B，C在同一條直線上，求證：∠AMB=∠CMB.

證明：如圖5，過點B作BP，BQ分別垂直于AM，CM于點P，Q. 易證：△BPE≌△BQC（AAS），所以BP=BQ，又因為BP⊥AM、BQ⊥CM，所以BM平分∠AMC（角平分線的判定），即∠AMB=∠CMB.

評注 ?通過向角的兩邊引垂線段是解決角平分線（角相等）問題的一種常用方法. 但此題巧妙結(jié)合了角平分線的判定、等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)與判定等知識點，對于八年級的學生而言，是一道綜合性強、思路少、很難獨立解決的問題. 如果教師能巧妙引導，幫助學生找到突破口，那么此題對于培養(yǎng)學生的幾何邏輯推理能力具有極大的意義.

變式4 ?（等腰三角形三線合一）如圖6，△ABC和△ADE都是等邊三角形，點D在線段AC上，若S =2S ，求證：（1）BD⊥AC;（2）BC⊥CE.

證明：（1）顯然△ABD≌△ACE，所以S =S =2S . 所以S =S . 所以CD=AD. 又因為BC=BA，所以BD⊥AC（三線合一）.

（2）易證∠DCE=30°，∠BCE=90°，所以BD⊥CE.

評注 ?此題巧妙結(jié)合了全等三角形、等邊三角形以及三角形中線平分面積等知識點，題型新穎、難度不大、解法較多，是一道綜合性很強的練習題.

變式5 ?（平行線的判定）如圖7， △ABC和△ADE都是等邊三角形，點D在BC上，試說明：CE∥AB.

證明：顯然△ABD≌△ACE，所以∠ACE=∠ABD=∠CAB=60°，所以CE∥AB.

評注 ?此題是點D落在BC上的一種特殊情形，在經(jīng)過簡短的證明后，卻得到了始料未及的結(jié)論——平行. 這個結(jié)論并不直觀，但卻巧妙地體現(xiàn)了邏輯推理在幾何證明中的重要性.

變式6 ?（2016年廣東中考第24題第（2）問）如圖8，正方形ABCD的邊長為2，線段BC在其所在的直線上移動，記平移后的線段為PQ，連接PA，QD，過點Q作QO⊥BD于O，連接OA，OP. 試問線段OA和OP之間有怎樣的關(guān)系？并加以證明.

解：OA=OP且OA⊥OP，證明如下：根據(jù)題意可分為如圖8和9兩種情形，兩圖均易證△OBQ為等腰直角三角形，所以BO=QO，顯然∠ABO=∠OBQ=∠PQO=45°，AB=BC=PQ，所以△OBA≌△OQP（SAS），所以OA=OP，∠AOB=∠POQ，所以∠AOP=∠BOQ=90°，即OA=OP且OA⊥OP.

評注 ?此題是共頂點旋轉(zhuǎn)全等三角形的經(jīng)典考題. 在繁雜的條件陳述中，發(fā)現(xiàn)本題的實質(zhì)，找全全等的條件，對八年級的學生而言是一個巨大的挑戰(zhàn).

小結(jié)

變式教學在初中數(shù)學課堂教學中應用尤為廣泛，特別是在初中幾何例、習題的教學中，變式教學能有效地提升課堂教學效率，更是培養(yǎng)和發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)的良好載體. 對于數(shù)學教師而言，研究如何通過變式教學，促進學生核心素養(yǎng)落到實處是一個意義深遠、任務重大的課題.