關(guān)于圓內(nèi)比例線段問題的探究與思考

郭芝萍

[摘 ?要] 圓內(nèi)的比例線段是平面幾何的重點(diǎn)問題，該問題涉及線段關(guān)系提煉、代換等內(nèi)容，問題解析時需要綜合應(yīng)用幾何定理來構(gòu)建解題思路，由于圖形結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，因此構(gòu)建方式較為多樣，文章將深入探究圓內(nèi)比例線段問題的常用策略，并深入思考教學(xué)建議，與讀者交流.

[關(guān)鍵詞] 圓;比例線段;三角形相似;代換;等比

問題綜述

圓是中學(xué)階段需要掌握的基本圖形，依托圓構(gòu)建的幾何問題眾多，圓內(nèi)的比例線段問題是其中的典型代表，具有很強(qiáng)的綜合性，涉及圓的性質(zhì)、線段關(guān)系、幾何轉(zhuǎn)化等內(nèi)容，因此可以全面考查學(xué)生的基本知識和解題思維. 以圓為背景構(gòu)建的線段比值問題，解題的難點(diǎn)主要有兩個：一是如何合理利用圓的性質(zhì)來進(jìn)行解題切入，二是如何利用幾何定理來完成線段問題轉(zhuǎn)化. 因此，開展考題探究需要深入挖掘圓內(nèi)特性、把握線段特點(diǎn)，充分利用平面幾何的性質(zhì)定理來完成問題轉(zhuǎn)化和思路構(gòu)建.

策略探究

圓內(nèi)的比例線段問題的題型特點(diǎn)多樣，所證線段之間的性質(zhì)關(guān)聯(lián)也多變，對于不同的題型需要采用不同的方法策略，常用的方法有基本定理法、等線代換法、等比轉(zhuǎn)化法和等積轉(zhuǎn)化法等. 上述方法均是基于一定的性質(zhì)定理和數(shù)學(xué)思想所構(gòu)建的，適用于不同的題型，下面對其進(jìn)行深入探究.

1. 策略一：用定理，相似轉(zhuǎn)化

從比例線段的形式來看，比例線段與相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)之間有著極大的關(guān)聯(lián)，因此可以利用三角形相似的性質(zhì)來完成比例線段的證明. 實(shí)際解題時需充分把握圓的特性，化“積”為“比”，結(jié)合比例形式來探索相似三角形.

例1 ?如圖1所示，四邊形ABCD是圓的內(nèi)接四邊形，已知DP∥CA交BA的延長線于點(diǎn)P，試證明AD·DC=PA·CB.

分析 ?對于比例線段問題，首先嘗試化“積”為“比”，利用相似三角形性質(zhì)來證明，即可將比例線段轉(zhuǎn)化為 = ，顯然只需要證明△ADP和△CBD相似，探索出兩組等角即可.

證明 ?連接DB，由DP∥CA可得∠1=∠2=∠3，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是圓的內(nèi)接四邊形，所以∠PAD=∠BCD. 所以有△ADP∽△CBD. 由三角形的相似性質(zhì)可得 = ，即AD·DC=PA·CB，證畢.

評析：求證比例線段問題最為基礎(chǔ)的方法就是利用三角形相似或者圓冪定理，上述在求證時進(jìn)行的化“積”為“比”為后續(xù)的相似三角形探究提供了參考. 學(xué)習(xí)相似三角形性質(zhì)，不應(yīng)僅關(guān)注其性質(zhì)本身，還需要透過比例形式挖掘其中的乘積關(guān)系，提升對性質(zhì)的理解.

2. 策略二：找關(guān)系，等線代換

對于位于不同三角形中的線段比例問題，由于三角形不存在相似關(guān)系，故無法直接應(yīng)用相似性質(zhì)來轉(zhuǎn)化出比例線段關(guān)系. 此時可以采用等線段代換法，即結(jié)合條件提煉相關(guān)等長線段，從而實(shí)現(xiàn)等長代換，然后借助三角形相似性質(zhì)來完成解題.

例2 ?△ABC為直角三角形，且∠ACB=90°，現(xiàn)以BC的中點(diǎn)為圓心，以BC長為直徑畫圓，與AB相交于點(diǎn)D，設(shè)AC的中點(diǎn)為E，連接DE和CD，再連接OE，與CD的交點(diǎn)為點(diǎn)F，試回答下列問題.

（1）試判斷直線DE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由;

（2）試證明2DE2=AB·EF.

分析 ?（1）DE是⊙O的切線，過程略;（2）證明2DE2=AB·EF，可將其化為比例形式 = ，證明比例線段成立需要借助三角形相似性質(zhì)，故需要對上式進(jìn)行等線段轉(zhuǎn)化. BC為⊙O的直徑，則∠ADC=90°，點(diǎn)E為斜邊AC的中點(diǎn)，故AC=2DE，進(jìn)而可將問題轉(zhuǎn)化為證明 = ，顯然上式屬于△DEF和△BAC相似的性質(zhì)，后續(xù)只需要結(jié)合條件證明兩三角形相似即可.

證明 ?根據(jù)條件可推知∠DFE=∠ACB=90°，∠DEO=∠CAB，從而可證△DEF與△BAC相似，由相似性質(zhì)可得 = . 根據(jù)（1）問知DE是⊙O的切線，可知△ADC為直角三角形，點(diǎn)E為斜邊AC上的切線，故AC=2EC=2DE，所以有 = ，即2DE2=AB·EF，證畢.

評析：上述是涉及倍數(shù)關(guān)系的線段比例問題，該類問題突破的關(guān)鍵是通過等線段代換來消去其中的倍數(shù)，后續(xù)只需探尋其中的相似三角形即可. 等線代換的方式有很多，可以借助平分點(diǎn)，也可以由三角形全等以及題干中的線長關(guān)系來完成.

3. 策略三：建聯(lián)系，等積推導(dǎo)

處理比例線段一般有兩種思路：一是“化等積為等比”，二是直接進(jìn)行等積推導(dǎo). 如不能直接由相似三角形的性質(zhì)得出，則可以采用等積互推的方式，即將其視為是線段乘積問題，然后通過等積推導(dǎo)來完成證明. 等積互推可通過構(gòu)建多組相似三角形進(jìn)行，也可以直接借助圓內(nèi)的特殊定理及結(jié)論，如相交弦定理、割線定理、切割線定理等，以提升解題效率.

例3 ?如圖3所示，⊙O與⊙C相交于A，B兩點(diǎn)，其中PQ是⊙O的切線，切點(diǎn)為點(diǎn)P，切線PQ與⊙C相交于點(diǎn)Q和M. 現(xiàn)延長AB與PQ的交點(diǎn)為點(diǎn)N，試求證NP2=NM·NQ.

分析 ?本題目以兩圓為背景建立了相關(guān)線段，求證線段比例關(guān)系. 首先需要分析圖形特征，點(diǎn)N是⊙O外的一點(diǎn)，而NP和NA分別為⊙O的切線和割線，顯然滿足切割線定理使用的條件，可使用該定理提煉條件. 而AN和QN又可視為是⊙C外一點(diǎn)N引出的兩條相交割線，因此滿足割線定理使用的條件，同樣可以由定理得出相等比例關(guān)系. 后續(xù)綜合應(yīng)用上述定理提煉的線段關(guān)系即可完成線段比例式的證明.

證明 ?在⊙O中使用切割線定理，可得NP2=NB·NA，而在⊙C中使用割線定理可得NB·NA=NM·NQ. 綜合上述兩式，可得NP2=NM·NQ，證畢.

評析：上述求證比例線段問題時綜合運(yùn)用了割線定理和切割線定理，實(shí)際上上述兩定理是基于三角形相似性質(zhì)對特定圓內(nèi)比例線段問題的結(jié)論總結(jié). 因此在學(xué)習(xí)探究時需要深入剖析定理構(gòu)建的過程，探究定理的適用模型，掌握圖形提取的方法技巧.

4. 策略四：構(gòu)關(guān)聯(lián)，等比代換

對于特定情形的比例線段問題也可以采用等比代換的方法，即首先將所證式子轉(zhuǎn)化為線段比例式的形式，然后結(jié)合圖形條件通過等比代換將其證明.

例4 ?已知PA是⊙O的切線，切點(diǎn)為A，割線PBC與⊙O相交于點(diǎn)B和C，AD⊥PC于點(diǎn)D. 現(xiàn)分別過點(diǎn)B和C作切線PA的垂線，垂足分別為點(diǎn)M和點(diǎn)N，如圖4所示，試證明AD2=BM·CN.

分析 ?根據(jù)題干中的條件可確定△PAD、△PBM和△PCN均為直角三角形，而AD，BM和CN均為上述直角三角形的邊，因此可根據(jù)上述三角形之間的相似關(guān)系來得出關(guān)于線段的比，后續(xù)通過等比代換來完成證明.

證明 ?由∠PMB=∠PDA=90°，∠P=∠P 可證△PAD∽△PBM，所以有 = ，同樣可證△PCN∽△PAD，由三角形相似性質(zhì)可得 = ，而由切割線定理可得 = ，等比代換可得 = ，即AD2=BM·CN，證畢.

評析：上述過程在求證比例線段時采用的是等比代換的思路，即根據(jù)三角形相似性質(zhì)和圓內(nèi)的相關(guān)結(jié)論來構(gòu)建等比關(guān)系，然后通過等比互推來完成證明. 幾何性質(zhì)定理是等比代換的基礎(chǔ)，因此在學(xué)習(xí)時需要深入了解與圓、三角形相關(guān)的性質(zhì)定理，總結(jié)等比推導(dǎo)的方法策略.

總結(jié)思考

圓內(nèi)的比例線段問題是學(xué)生需要重點(diǎn)掌握的問題類型，從考查內(nèi)容來看綜合了圓、三角形等幾何圖形，涉及相切、平行、分割等幾何關(guān)系，上述思路構(gòu)建的過程也是從知識綜合的角度進(jìn)行，具有一定的參考價值，下面提出幾點(diǎn)教學(xué)建議.

1. 關(guān)注問題的核心內(nèi)容

比例線段的問題形式一般以幾何線段長為基礎(chǔ)，以求證線段乘積或比值關(guān)系為主要形式，其核心內(nèi)容是根據(jù)圖形特征，調(diào)用性質(zhì)定理來構(gòu)建線段之間的關(guān)系，其中三角形相似性質(zhì)和圓內(nèi)的性質(zhì)結(jié)論是解題突破的核心內(nèi)容. 因此在實(shí)際教學(xué)中需要教師引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注問題的核心內(nèi)容，把握問題突破的關(guān)鍵所在.

2. 關(guān)注突破的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

從上述考題的突破過程來看，解題的根本目的就是利用數(shù)學(xué)定理來提煉圖形中的線段關(guān)系，通過恒等代換的方式來構(gòu)建線段的比例形式，在該過程中需要掌握兩點(diǎn)內(nèi)容：一是基本的數(shù)學(xué)定理，二是代換的基本方法. 上述兩點(diǎn)同時也是數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容，具有極高的教學(xué)價值，在實(shí)際教學(xué)中教師可以立足三角形和圓的基本性質(zhì)，總結(jié)線段關(guān)系的構(gòu)建方法，結(jié)合數(shù)式變形來完成知識整合，使學(xué)生掌握解題的方法技巧.

3. 關(guān)注解析的思想方法

比例線段問題的突破策略有很多，上述探究了相似轉(zhuǎn)化、等線代換、等積推導(dǎo)和等比代換的解析過程，實(shí)際上其中滲透著眾多的數(shù)學(xué)思想，例如數(shù)形結(jié)合思想、化歸轉(zhuǎn)化思想等. 解題時正是在數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)下完成了思路構(gòu)建，而數(shù)學(xué)思想是考題教學(xué)的核心，因此開展考題教學(xué)不應(yīng)局限于考題突破的方法本身，還應(yīng)深入到解題的數(shù)學(xué)思想，以提升學(xué)生思想、發(fā)展學(xué)生思維作為教學(xué)的核心任務(wù).