化歸思想在高中數學函數學習中的應用策略探討

鄭慶中

摘要：將一個問題由繁化簡，由難化易，由復雜到簡單的過程就是化歸，化歸思想乃是轉化和歸結的簡稱。化歸思想不僅是一種解題思路，同時也是一種在數學教學中廣泛應用的思維策略，更是一種數學思維方式。我們新時代數學教師需要轉變教學觀念，創新教學方法，從傳統的教學生知識的理念中走出來，不僅要教給學生知識，同時也要教給學生方法，所以，重視數學思想也是我們教師的本職工作。本文以高中數學函數教學為例，探討化歸思想在高中函數教學中的應用策略。

關鍵詞：化歸思想;高中數學;函數

一、 引言

新課標下的數學教學任務和目標更加突出和明確，強調了數學思想的重要性。如果從字面意思理解“化歸”，其實也就是轉化和歸結的意思，廣義的理解是學生在處理問題時，能夠就問題進行仔細觀察，然后展開聯想，結合新舊知識開啟思維大門，借助舊知識和舊經驗處理好新問題，既喚起對舊時的回憶，同時也解決了新問題，實現知識遷移的能力。其核心思想是：在解決數學問題時，可以采用某種手段或者方法將問題進行歸納或者轉化，尤其是將復雜的問題簡單化，從而快速解決問題，提高學生解題效率。

二、 化歸思想概述

數學知識是龐雜煩瑣的，數學問題更是復雜多變的，在日常學習過程中，學生常常會發現原本掌握的知識，一到做題就“手足無措”。究其原因在于學生雖掌握了相關理論知識，但是缺乏總結和反思，沒有就問題的解題方法和思路進行梳理，從而導致在解題過程中產生混亂思緒，理不清頭緒，無法擇取更優解題方法，從而降低解題效率。那么，如何幫助學生克服這一問題呢？筆者認為化歸思想在這方面的價值是不可替代的，尤其是解決數學函數問題上。通過利用化歸思想，將一些難以理解的問題簡單化，或者將題干已知信息精簡化，又或者是將整個知識點和其他知識互相轉化，比如將函數和不等式轉化，這些都是化歸思想的體現。數形結合、化歸思想都是高中數學教學中應用較為廣泛的方式，這種方法有利于學生快速轉化題干中的已知信息和未知問題，尤其是理清數量關系。高中學生在解決函數問題時總會遇到各種各樣的問題，盡管題型不同，但是只要學生熟練應用化歸思想，問題總有解決的方法。所以，我們極力提倡學生應用化歸思想解決函數問題。

三、 化歸思想在高中函數問題中的具體應用

（一）應用化歸思想將函數問題熟悉化

數學問題有一個非常顯著的特點就是題型多變，但考核要點萬變不離其宗，同一個知識點往往可以延伸出多種考法，同一道題也可以探索出多種解題方法。而為了考查學生的變通思維，我們往往會設計一些看似較為新穎的題目，其實考核的內容都是學生從書本上學習過的知識，但由于題目比較陌生，很多學生就容易“驚慌失措”，不知從何下手，如何解題。此時，如果我們滲透化歸思想，引導學生將比較陌生的題型轉化為熟悉的知識，那問題也就迎刃而解了。

例如在教學“對數函數”時我們可以指導學生將“對數函數”轉化為“指數函數”相關的具體問題，并且引導學生找出兩者之間的關系，從而在“指數函數”的基礎上找到問題的突破口，對函數的表達形式有一定的掌握，最終將兩者進行轉化，從而高效地解決函數的問題。以“y=（238-168-2x）（120+8x）”這一題問題為例，我們可以鼓勵學生運用化歸思想，將其進行轉變，通過配方的形式展現出一個新的方程表達式，即“y=-16（x-10）2+10000。”如此一來，不僅有利于弱化問題難度，同時也有助于提高學生解題效率。

（二）應用化歸思想將函數問題簡單化

化歸思想最本質的價值就在于能夠將復雜的問題簡單化，以此弱化問題難度，提高學生的解題效率和正確率。故此，我們數學教師所要做的就是指導學生應用化歸思想轉化問題，尤其是轉化復雜的問題，將問題以更簡單的形式呈現出來，從而讓學生以更加清晰的頭腦去分析問題，從而更靈活地擇取解決問題的方法，將復雜的問題巧妙地化解了。針對此，筆者尚且有一個小小的建議，就是在函數教學過程中適當為學生增設化歸思想應用類題型，要多給予學生應用化歸思想的機會，在反復鍛煉中更加熟練地掌握和應用化歸思想的解題技巧。

【例1】 已知拋物線y=x2+4ax-4a+3，y=x2+（a-1）x+a2，y=x2+2ax-2a中至少有一條與x軸相交，求實數a的取值范圍。

此題正確的解題思路為：令y=0，Δ1=（4a）2-4（3-4a）<0;Δ2=（a-1）2-4a2<0;Δ3=（2a）2+8a<0;解得-3 2

如果此題不應用化歸思想，直接從正面切入，那么就需要我們指導學生就問題進行分類討論，加大了解題難度，繁不堪言的討論不僅出錯率高，也容易讓學生喪失解題興趣。但如果從反面著手，將原問題轉化為“三條拋物線都不與x軸相交”，求出a的取值范圍，再求出其補集，問題自然也就簡單化了。類似于此的問題，如果一個題目出現多種成立狀況，那么不成立的情況一般較少，此時我們就從反面思考問題即可弱化問題難度，將問題徹底簡單化，提高解題效率。

（三）應用化歸思想將函數問題轉化為方程問題

當然，化歸思想絕不是單純地將復雜煩瑣的問題簡單化，化歸思想更顯著的價值在于將數學知識聯系化、銜接化，由一個數學知識點轉化為另一個數學知識點。比如將抽象晦澀的函數問題轉化為方程問題，便于學生解題，弱化計算難度。

【例2】 如圖所示，反比例函數y=-8 x與一次函數y=-x+2的圖象交于A、B兩點。

①求A、B兩點的坐標;②求△AOB的面積。

解：①解方程組y=-8 xy=-x+2得x1=4y1=-2;x2=-2y2=4，

所以A、B兩點的坐標分別為A（-2，4）、B（4，-2）。

②因為直線y=-x+2與y軸交點D坐標是（0，2），

所以S△AOD=1 2×2×2=2，S△BOD=1 2×2×4=4，所以S△AOB=2+4=6。

此題直接讀題可知是考查函數圖像的問題，看似函數問題，但實則可以對已知信息和未知問題進行轉化，將反比例函數和一次函數轉化為一個方程組，要求A、B兩點的坐標實則就是求方程組的解。至于△AOB的面積，在問題①的基礎上，做圖則一目了然。顯然，此題應用化歸思想的數形結合思想，通過做圖，轉化問題，就能夠快速解決，雖難度不大，但也需要學生擁有扎實的基礎知識，能夠快速地應用函數圖像、方程組相關知識，積極調動大腦儲存經驗，否則也無法“見問則法”，靈活應用化歸思想。

四、 化歸思想應用原則以及常用形式分析

實踐證明，化歸思想的確有助于學生快速解決函數問題，也能夠改善函數教學質量，但前提也是建立在正確應用化歸思想。筆者綜合多年教學經驗，對化歸思想的幾個原則和形式進行了如下總結：

一是熟悉化原則。所謂熟悉化其實是針對問題而言的，當我們看到陌生的、未知的問題時，頭腦中立刻出現的就應該是化歸思想，將陌生的問題熟悉化，看似生僻的問題也能轉化為學生熟悉的問題，從而消除陌生感，應用已學知識解決問題。

二是簡單化原則。化歸思想的核心就是將復雜問題簡單化，提高學生解題效率，避免出錯率。故此，我們在指導學生學習函數知識時，可以旁敲側擊的啟發學生應用化歸思想，比如上述例題2其實就是從反面解決問題，由于正面解決問題難度較大，所以從反面入手，問題難度被降低，解題的效率自然也就有所提高。

三是具體化原則。具體化原則是針對抽象問題而言的，有些問題的抽象度比較高，邏輯性非常強。針對這類函數問題，我們在教學時可以應用具體案例進行研究，通過案例分析引導學生掌握解題思路，然后再將解決方案放回到原來的問題之中，如此促使學生在同類問題中受到啟發，找到同類依據，從而解決問題。比如抽象函數單調性的研究就可以使用具體化原則。

四是和諧化原則。和諧化原則可以從兩個維度解讀。一方面是直接轉化問題的條件或者結論，讓問題和結論更符合數與形內部表現的和諧統一形式;另一方面是轉化命題，使命題的推演過程更符合學生的解題思路和某種常規的數學方法。簡單說，也是應用化歸思想，將某些特定的問題、題干進行轉化，有意識地放寬學生思考問題的“視角”，讓學生更容易想到多種解決問題的方案。例如將函數問題轉化為方程組、不等式。

五、 結語

綜上所述，化歸思想重點在于“化”和“歸”。所以在高中函數模塊知識教學中，我們教師要啟發學生應用化歸思想就必須多引導學生就函數問題進行轉化，并且在多次解題時間中學會“歸納”和總結，如此一來，才能促使學生思維更加靈活，更善于反思和總結。正所謂“授人以魚不如授人以漁”，真正的教師應該是教會學生學習，而不是“灌輸”死知識，尤其是數學教師，死記硬背這套模式在高中數學教學中無疑是“火中取栗”，收效甚微。只有轉變了教學方法，引導學生自主學習，掌握應用數學思想、解決數學問題的方法才是根本。

參考文獻：

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