利用比較揭示概念本質(zhì)

朱莉萍

[摘要]數(shù)學(xué)概念是構(gòu)建數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重要基礎(chǔ)。在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，比較是行之有效的教學(xué)方法，它能幫助學(xué)生通過(guò)比較找出事物的本質(zhì)特征和非本質(zhì)特征，并在此基礎(chǔ)上加以概括，從而掌握概念的本質(zhì)屬性。

[關(guān)鍵詞]概念;比較;比例;放大與縮小

[中圖分類號(hào)]

G623.5

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

[文章編號(hào)] 1007-9068（ 2020）11-0020-02

【案例背景】

數(shù)學(xué)概念是進(jìn)行判斷、推理、構(gòu)建數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重要基礎(chǔ)，是發(fā)展學(xué)生智力和培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的前提，是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容。

很多教師雖然也重視數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，但是過(guò)分偏重定義的敘述，強(qiáng)調(diào)識(shí)記概念內(nèi)容，忽略對(duì)概念形成過(guò)程的探究，加上利用大量練習(xí)代替探究，導(dǎo)致學(xué)生理解不透概念、辨別不清相似概念。由于沒(méi)有經(jīng)歷概念形成的過(guò)程，學(xué)生的抽象、概括、歸納等思維能力也無(wú)法得到發(fā)展及提高。

比較是人腦把各種感性材料加以辨析，確定它們的異同及彼此間相互關(guān)系的思維過(guò)程。比較是以分析為前提，從一般到特殊的歸納方法。在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，比較是行之有效的教學(xué)方法。合理、巧妙地運(yùn)用比較，可以幫助學(xué)生找出事物的本質(zhì)特征和非本質(zhì)特征，掌握概念的本質(zhì)屬性。下面以“按比例放大與縮小”的教學(xué)為例進(jìn)行論述。

【教學(xué)片段】

出示：

師：看，老師帶來(lái)了什么？

師：這么可愛(ài)的小猴，我把它變大一些。

出示：

師：同樣是變大，有什么不同？與同桌交流你觀察的結(jié)果。

生1：一幅圖中的小猴變長(zhǎng)了，另一幅圖中的小猴變扁了，還有一幅圖中的小猴不長(zhǎng)不扁，但是變大了！

生2：變大的小猴形狀沒(méi)有變。

生3：變長(zhǎng)和變扁的小猴雖然變大了，但是形狀也變了。

師：像這樣不改變形狀的放大，數(shù)學(xué)上就叫作圖形的放大。為什么變大后，形狀變了，而放大后形狀不變呢？（教師將4幅圖放在方格圖中，學(xué)生觀察分析、思考交流）

生4：圖2-3跟圖1相比，長(zhǎng)沒(méi)有變，寬擴(kuò)大了;圖2-1寬沒(méi)有變，長(zhǎng)擴(kuò)大了，所以才會(huì)變形。

生5：我發(fā)現(xiàn)圖2-1的長(zhǎng)擴(kuò)大了2倍，寬也擴(kuò)大了2倍。

生6：圖2-1的長(zhǎng)和寬同時(shí)擴(kuò)大2倍，所以形狀不變。

師：算一算，圖2-1與原圖形對(duì)應(yīng)，邊的長(zhǎng)度比是多少？

生7：2：1。

師：我們可以說(shuō)圖2-1是把原圖形按2：1的比放大的。

出示：

師：從大三角形到小三角形，是圖形的縮小嗎？

生。：不是，因?yàn)閮蓷l腰是按1：2縮小的，而底邊是按3：4縮小的。

生9：每條邊縮小的比應(yīng)該一樣，要么都按1：2縮小，要么都按3：4縮小。

師：也就是說(shuō)三條邊縮小的比例不同。

師：如果把大三角形按1：2的比縮小，那么縮小后的三角形的每條邊長(zhǎng)是多少厘米？

生10：兩條腰的長(zhǎng)度還是4厘米，底邊應(yīng)變成2厘米。

師：怎么算出底邊是2厘米的？

生11：大三角形的底邊是4厘米，按1：2縮小，就是4÷2=2。

師：把大三角形按3：4的比縮小，那么縮小后三角形的每條邊長(zhǎng)應(yīng)是多少厘米？

生12：底邊是3厘米，腰是6厘米。

師：左下角的小圖是大圖縮小后得到的嗎？是按幾比幾的比縮小的？

生13：是按1：9的比縮小的。

生14：不對(duì)！應(yīng)該是按1：3的比縮小的。

師：現(xiàn)在出現(xiàn)兩個(gè)結(jié)果，到底是1：9，還是1：3？

生15（邊說(shuō)邊比畫）：小圖的面積占大圖的九分之一，所以是1：9。

生16：雖然小圖的面積占大圖的九分之一，但是按幾比幾的比縮小應(yīng)該看對(duì)應(yīng)邊的比，縮小后的圖形與原來(lái)的圖形對(duì)應(yīng)邊的比是1：3，所以是按1：3縮小的。

師：想一想，判斷一個(gè)圖形是按幾比幾放大或縮小，應(yīng)該看什么？

生17：應(yīng)該看放大前后或縮小前后對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)的比。

師：1：9是它們的什么比？

生18：面積比。

【案例反思】

一、利用比較，明確概念內(nèi)涵

概念形成是一個(gè)由具體到抽象的過(guò)程。概念的學(xué)習(xí)是從感知大量的學(xué)習(xí)素材開(kāi)始的，通過(guò)對(duì)學(xué)習(xí)素材的觀察分析，在頭腦中建立起學(xué)習(xí)對(duì)象的正確表象后，才能引入概念的意義。小學(xué)數(shù)學(xué)概念的描述普遍比較抽象，學(xué)生學(xué)習(xí)理解概念存在一定難度。對(duì)于概念教學(xué)，教師先要分析這個(gè)概念是建立在學(xué)生哪些已學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)或?qū)W生已有的生活經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，繼而思考如何利用引申、點(diǎn)撥、比較等方法溝通新舊知識(shí)間的聯(lián)系，巧妙地引出新概念。

六年級(jí)的學(xué)生在生活中都有過(guò)“圖形變大”的直觀感受，但要從生活中“圖形變大”的感性認(rèn)識(shí)上升到對(duì)數(shù)學(xué)中“圖形放大”意義的理解，需要經(jīng)歷一個(gè)去粗取精的過(guò)程。教師在原圖的基礎(chǔ)上出示了三幅變大后的圖，即長(zhǎng)不變寬變、寬不變長(zhǎng)變、長(zhǎng)寬都按一定的比例變大的三幅圖。因?yàn)閷?duì)比夸張、特征明顯，學(xué)生很快在三幅圖中找出圖2-1雖然變大了但沒(méi)有變形。夸張的對(duì)比，直觀凸顯了“放大”的數(shù)學(xué)本質(zhì)，使學(xué)生明確感受到圖形變大有變形和不變形之分。在學(xué)生直觀比較后，教師再揭示“不改變圖形形狀的變大，在數(shù)學(xué)上就稱為圖形的放大”，學(xué)生對(duì)圖形放大的體會(huì)就更深刻。這次比較由生活意義上的“變大”自然過(guò)渡到數(shù)學(xué)上的“放大”，接著借助小方格讓學(xué)生再觀察，學(xué)生在比較中得出圖形的長(zhǎng)和寬得同時(shí)按照相同的比例變大才行，從而發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)上“圖形放大”與一般的“圖形變大”的本質(zhì)不同，更深刻地理解了圖形放大的數(shù)學(xué)意義。至此，直觀的感性認(rèn)識(shí)升華為對(duì)概念本質(zhì)的理性認(rèn)識(shí)，從而順利擴(kuò)展和豐富原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

知識(shí)遷移是指先前學(xué)習(xí)的知識(shí)對(duì)以后學(xué)習(xí)的知識(shí)所產(chǎn)生的影響和作用。在學(xué)生已經(jīng)掌握了圖形放大的數(shù)學(xué)意義之后，圖形按比例縮小已經(jīng)呼之欲出。教師自然地利用了知識(shí)的遷移進(jìn)行教學(xué)，沒(méi)再出示方格中的圖形，而是直接呈現(xiàn)標(biāo)有邊長(zhǎng)的兩個(gè)等腰三角形，讓學(xué)生判斷“是大三角形到小三角形的縮小嗎？”。比較的過(guò)程就是學(xué)生利用圖形放大含義進(jìn)行逆思考的自主遷移過(guò)程，是學(xué)生嘗試運(yùn)用圖形縮小的意義自主進(jìn)行探究、構(gòu)建知識(shí)的過(guò)程，至此，學(xué)生初步學(xué)會(huì)怎樣按一定比例計(jì)算圖形縮小后各邊的長(zhǎng)度。這次比較是建立在學(xué)生認(rèn)知的實(shí)際狀態(tài)之上，利用并促成了知識(shí)的自主遷移，自然而然引出后序?qū)W習(xí)“如何根據(jù)一定的比畫出已知圖形放大或縮小后的圖形”。

二、利用比較，區(qū)分易混淆的概念

有些數(shù)學(xué)概念、公式，表面上看非常相似，本質(zhì)上卻有很大差異，若不仔細(xì)觀察，認(rèn)真比較辨析，學(xué)生常常會(huì)混淆。因此教學(xué)時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生多角度、多方位進(jìn)行思考、比較，幫助學(xué)生準(zhǔn)確地抓住概念的本質(zhì)屬性、排除概念的無(wú)關(guān)特征。

例如，按一定比例將圖形放大或縮小，指的是放大或縮小前后圖形對(duì)應(yīng)邊的比，但是圖形在放大或縮小時(shí)，除了邊長(zhǎng)的變化外，面積的變化也非常明顯，因此學(xué)生很容易把圖形按對(duì)應(yīng)邊的比縮小誤以為是按圖形面積的比縮小。把縮小的圖疊放在原圖左下角的圖3-下引發(fā)了學(xué)生新的認(rèn)知沖突：究竟是按幾比幾的比縮小呢？新的認(rèn)知沖突誘使學(xué)生對(duì)圖形放大與縮小的數(shù)學(xué)意義展開(kāi)深入思考。結(jié)合對(duì)具體圖形的觀察，對(duì)照已經(jīng)探索出的概念的理解，在對(duì)具體問(wèn)題的比較辨析中，學(xué)生豁然開(kāi)朗：“圖形按照幾比幾放大（縮小）原來(lái)就是放大（縮小）后與放大（縮小）前對(duì)應(yīng)邊的比。”摒棄了面積比這一干擾。這次比較，使比的知識(shí)的特性更加清晰。

有比較才有鑒別，有鑒別才容易揭示規(guī)律、把握本質(zhì)。在教學(xué)中找準(zhǔn)學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，精心選擇對(duì)比的素材，適時(shí)、恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用比較分析，能使學(xué)生深刻地理解概念的本質(zhì)意義，知其然也知其所以然。這樣既發(fā)展了學(xué)生的邏輯思維能力，又培養(yǎng)了學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，使學(xué)生學(xué)得輕松、愉快，學(xué)得扎實(shí)，學(xué)習(xí)力悄然生長(zhǎng)。

（責(zé)編金鈴）