高中教材中數學建模問題設置的研究

洪雨沛

摘要：數學建模核心素養的培養離不開對建模問題的研究與探討。本文梳理了現行高中數學理科教材中的數學建模問題，從問題情境、知識內容、建模流程的完整性、問題呈現形式與設置意圖等方面進行了研究，并為教材建模問題的設置提出了一些建議。

關鍵詞：數學建模;核心素養;教材分析

數學建模作為高中數學六大核心素養之一，引起了社會廣泛的關注。高中數學教材中數學建模問題的設置直接影響學生數學建模核心素養培養的效果。本文選取人民教育出版社（A版）與上海教育出版社（以下簡稱人教A版和滬教版）出版的高中數學（理科）教材，對其中數學建模問題的設置進行研究。

一、研究工具

1.數學建模與數學應用題的差異

數學建模的特點：問題來源于現實生活，原汁原味;因為現實生活的復雜性，為了簡化模型，往往需要提出一些合理的假設;模型多樣化，可以不斷地優化完善;得到的結果需要返回現實情境中進行檢驗。應用題是編者根據現實情境進行合理簡化后編制而成的，有濃厚的“人為編制”的味道。另外，應用題的解答流程與建模問題的解答流程并不完全一致，往往應用題都有明確的答案，模型也較為單一。

2.問題選擇原則與分析框架

根據數學建模的內涵，我們將教材中符合以下條件的問題整理出來：

（1）問題的情境為現實情境或科學情境;

（2）具備最基本的數學建模過程（將現實問題轉化為數學問題、建立模型、求解模型、返回現實中解決問題）

對于多個類似的問題，我們將選取1～2個問題作為代表問題進行分析。按照這樣的原則，共選取123個問題，具體情況如表1：

兩個版本的問題數量相差不大，其中概率與統計主題人教A版選例較多，原因是人教A版教材中概率與統計內容比滬教版多。人教A版幾何與代數選例較少，原因是在解析幾何部分大多以數學情境為背景讓學生直接進行計算求解，而滬教版有較多的現實情境實例讓學生加以練習。

值得注意的是，數學建模問題與我們常說的應用題是有差異的，但考慮到高中數學教材的特殊性，只要滿足以上兩個條件，無論是否有應用題的屬性特征，都被視作本研究中所提到的數學建模問題。

對于選擇出來的問題，將從以下角度進行分析研究：

（1）該問題的呈現形式是什么？設置的目的是什么？

（2）該問題的問題情境是哪一類？（《普通高中數學課程標準（2017年版）》將問題情境分為現實情境、科學情境與數學情境。）

（3）該問題主要涉及哪些知識內容？

（4）解決該問題所建立的模型是否唯一？能否讓學生經歷“模型的改進”這一步驟？

二、教材研究

1.問題的呈現形式

兩版教材中的數學建模問題，都是應用題占主導地位，但也有一些探究性學習或活動，這一點在滬教版教材中尤為明顯。滬教版教材會設置一些課題，讓同學們圍繞課題進行思考、討論與研究，課題有時會涉及一些試驗的設計與數學建模論文的撰寫。而人教A版教材中的探究性學習內容較少，但會出現較多的方案設計題，要求學生根據具體的情境設計出符合要求的方案。研究性課題和方案設計問題對學生的要求，都要高于應用題，這些問題更加貼近生活，使學生綜合運用知識的能力得到較充分的鍛煉。

通過對兩版教材建模問題的分析發現，問題設置的目的大致可以分為三種。一是借用數學建模問題，介紹新的知識或新的數學模型。這樣能夠讓學生在現實情境中自然地學習新的數學知識，更加深刻地感受新知識的應用價值。二是對學生運用數學知識解決問題的能力進行檢測，通過一系列問題的設置，探查學生對知識的掌握程度。三是要求學生真正地解決生活中的一些問題，這類題目相對較少，主要出現在滬教版教材中，并且大多以課題的形式出現。

2.問題情境與知識內容（如表2）

兩版教材中的建模問題大都以現實情境為背景，科學情境占少數?？傮w來看，問題背景較成熟，多為社會中的實際問題，并且問題涉及范圍較廣，與學生距離較遠，如人口增長率、地震級數、半衰期等。部分問題也具有積極的導向，如保護環境、合理調整自己的情緒等。部分問題也能幫助學生形成正確的社會價值觀，如廠家生產合格產品等。相比于滬教版教材，人教A版教材問題所涉及的范圍更加廣泛。

教材中的建模問題，有些要求學生能夠熟練地運用初等函數模型去探究變量與變量之間的（確定）關系，并對一些現象進行解釋和預測;有些問題要求學生能夠從現實情境中抽象出三角形模型，并使用正余弦定理等工具進行求解;有些問題要求學生運用線性規劃的知識去尋找最優策略，并對現實問題進行最佳決策;有些問題需要學生運用解析幾何的知識加以解決。

概率與統計模塊的知識內容在建模問題中也有大量的涉及。有些要求學生能夠根據具體的情境設計抽樣方案;有些要求學生能夠借助于一組數據的特征值對數據進行分析并對現實問題做出合理的判斷;有些要求學生利用計數原理與排列組合進行計數或計算古典概型的概率;有些要求學生能夠通過建立回歸方程去了解兩個變量之間的相關關系（滬教版教材不涉及相關內容，故無無此類問題）;有些要求學生能夠對兩個變量進行獨立性檢驗，判斷是否顯著性相關。

從知識內容上看，兩版教材中的建模問題差異不大，重點考查的知識內容基本一致。但在解析幾何模塊，滬教版教材的建模問題較多，而人教A版大多以數學情境為背景讓學生直接進行計算求解。

3.建模問題的解決過程

根據《普通高中數學課程標準（2017年版）》對數學建模內涵的確定，我們可以認為一個數學建模問題的解決，要經歷將現實問題轉化為數學問題—建立模型—求解模型—模型的改進—將結果返回現實中解決問題等一系列流程。在教材梳理的過程中，我們沒有將“模型的改進”作為一項問題篩選的指標，因為大多數建模問題的模型以及結果都是唯一確定的，并沒有給學生改進模型的空間。在選取的123例中，只有24例在數學建模的過程中涉及模型的改進，其中人教A版獨占20例。而所涉及的問題主要是變量關系的確定或方案的設計，因為這類問題往往沒有標準答案，故學生可對自己選擇的模型進行改進與優化。如變量關系的確定，有些關系可以用多種函數模型加以描述，當學生選擇一種模型完成數學建模解模后，他們可以選擇另外一種模型進行描述，并對兩種模型進行比較，若后者優于前者，則可以對之前的模型進行完善。方案的設計也是如此。

三、建議

學生在數學學習中接觸較多的是傳統的應用問題，對數學建模問題相對陌生，其主要原因是數學教材中，純正的數學建模問題較少，教師沒有抓手，無法進行相應的教學。根據對教材的研究，筆者認為教材中的建模問題應盡可能具備以下特征：①問題情境應盡量保留最原始的現實情境，不要做過多的簡化與假設，否則在學習的過程中，學生缺乏對問題的分析和假設，自身的思維品質和創新能力將無法得到提高;②解決問題的模型應具有多樣性，并且不同的模型能夠反映學生的不同水平。正如張思明總結國外教材變化時所說，應用題要向數學建模問題不斷過渡，表現為：問題的來源更生活化，更貼近實際;條件和結論更模糊;可用信息和最終結論更有待學生自己的挖掘。另外，以建模問題為工具進行新知識、新模型的教學是一個不錯的手段;較復雜、較綜合的建模問題可以以課題、探究性活動等形式呈現。

除了教材中數學建模問題的設置需要進行適當調整外，教師對數學建模的態度以及教學方式也需要有所改變，不能按照以往的應用題的教學方式去教授數學建模。另外，在學生掌握常見數學模型的同時，也要鼓勵學生打開思路，對數學模型進行不斷的挖掘與創新。

責任編輯：黃大燦