從二次函數的實際問題中坐標系的建立理解參數a的意義

錢曉玉

【摘 要】 數學來源于生活，在眾多生活實際中有很多與二次函數相關，于是我們從中抽象、歸納出了二次函數及模型，再對二次函數本身的圖像和性質進行研究，進而利用這一性質和圖像反過來尋求實際問題的答案。在實際教學中，往往忽視了這個目的，在整一章結束之后沒有讓學生站在一個總體的高度對本章知識重新有一個高站位的回顧，導致學生對二次函數與實際問題思維的分裂，并未真正領悟知識的“從哪里來到哪里去”。本節內容是在學習了二次函數的圖像及其性質、二次函數與一元二次方程之后進行。

【關鍵詞】 二次函數? 實際問題? 坐標系? 參數a

在二次函數實際應用中，最基礎的類型就是已知函數的解析式，相當于已知了坐標系，只用把自變量或函數的值轉化為實際問題中的長度、距離等常量，只需要進行一般的二次函數的計算即可，是初步感知二次函數與實際應用的關系的鋪墊。

一、感知聯系

在二次函數與實際問題最明了的結合，已知解析式或是圖像，則不需要自己建立坐標系，是思維層次上升的基礎。

二、嘗試探究

若不已知解析式或者確定的函數圖像，則需要自行建立坐標系，把題目中的零散數據轉化為圖像上的點，抽象出二次函數模型進行解答。

從“橫斷面為拋物線形狀的拱橋”判斷該模型為二次函數，則可以類比例1的思路，建立適當的坐標系。

一般解法：通過解析式求出頂點坐標（1，6），還原圖像，再推出B的橫坐標為3，則CD=14-6=8;此時杯子的高CE=CD+DE=8+3=11。

優化解法：由y=2x2-4x+8可知，a=2函數圖像開口向上，形狀大小固定。若將函數圖像向下平移6個單位，向左平移1個單位后，解析式為y=2x2，此時，并未改變函數的形狀，僅僅只是A，B，C，D，E五個點的坐標發生了改變，而要求的CE的長度即C，E兩點縱坐標的差并未改變。此時D（0，0）， A、B關于y軸對稱且AB=4，則xA=-xB=-2，即A（-2，8）， B（2，8），C 的縱坐標為8，此時杯子的高CE=CD+DE=8+3=11。

五、整合提升

數學的問題來自于生活，數學模型是溝通實際問題與數學工具之間聯系的一座的橋梁，數學學習的目標始終指向于實際問題的答案，經過以上多角度的拓展，能更好地理解二次函數坐標系的建立，深刻體會到參數a的作用，理清知識的“來龍”與“去脈”，完成知識體系的整合與提升，也讓我們對函數在反應客觀世界的運動變化中的作用會有進一步的體會。

參考文獻

[1] 康笑嫻. 參數在二次函數圖像中的作用[J]. 政治思想史， 2002（7）：16-18.

[2] 任泓宇. 淺議形如“y=a（x+m）～2+k”的二次函數頂點式[J]. 中學教學參考（11）：25.