探討高中數(shù)學(xué)圓錐曲線解題中構(gòu)造法的應(yīng)用

林春花

[摘 要]高中數(shù)學(xué)圓錐曲線試題計(jì)算繁瑣，難度較大，是各類(lèi)測(cè)試中失分較為嚴(yán)重的題型。部分圓錐曲線試題技巧性較強(qiáng)，需要學(xué)生掌握靈活的解題方法。其中，構(gòu)造法是一種常用的解題方法，在圓錐曲線解題中的應(yīng)用往往獲得意想不到的效果。因此，在教學(xué)中，應(yīng)做好構(gòu)造法相關(guān)知識(shí)講解，并結(jié)合自身經(jīng)驗(yàn)，優(yōu)選經(jīng)典例題，為學(xué)生詳細(xì)講解每種構(gòu)造法的具體應(yīng)用，使學(xué)生熟練掌握不同構(gòu)造法，明確構(gòu)造法的應(yīng)用技巧，不斷提高圓錐曲線解題水平與解題能力，在測(cè)試中獲得理想分值。

[關(guān)鍵詞]高中數(shù)學(xué);圓錐曲線;構(gòu)造法;應(yīng)用

應(yīng)用構(gòu)造法時(shí)需要學(xué)生深入理解題設(shè)條件，迅速調(diào)動(dòng)頭腦中相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，構(gòu)建參數(shù)間的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)順利解題的目的。構(gòu)造法對(duì)學(xué)生的解題經(jīng)驗(yàn)、分析、解答問(wèn)題的能力要求較高，因此，要想熟練掌握并非易事。教學(xué)中，應(yīng)充分了解學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，將構(gòu)造法知識(shí)滲透至教學(xué)中，結(jié)合圓錐曲線試題講解各種構(gòu)造法的應(yīng)用，使學(xué)生了解構(gòu)造法的具體應(yīng)用過(guò)程，以拓展其解題思路，啟發(fā)其更好地解答圓錐曲線試題。

一、構(gòu)造圖形在解題中的應(yīng)用

所謂構(gòu)造圖形指結(jié)合題干描述，通過(guò)靈活運(yùn)用所學(xué)繪制相關(guān)的數(shù)學(xué)圖形，將一些參數(shù)或隱含的參數(shù)關(guān)系直觀地加以展現(xiàn)，以找到解題突破口的解題方法。實(shí)踐表明，將構(gòu)造圖形應(yīng)用在圓錐曲線解題中，可簡(jiǎn)化解題步驟，提高解題效率，因此，掌握這一構(gòu)造方法，對(duì)提高學(xué)生的解題能力具有良好的促進(jìn)意義。為使學(xué)生掌握這一構(gòu)造法，教師在教學(xué)中，一方面要為學(xué)生講解圓錐曲線試題中常用的構(gòu)造方法，包括構(gòu)造圓形、直角三角形以及添加各種輔助線等。同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)構(gòu)造圖形時(shí)的相關(guān)結(jié)論，在解答圓錐曲線的選擇題或填空題時(shí)直接應(yīng)用，提高解題效率。另一方面，除講解構(gòu)造圖形理論知識(shí)外，還應(yīng)注重優(yōu)選經(jīng)典例題，講解構(gòu)造圖形的具體應(yīng)用，使學(xué)生感受構(gòu)造圖形給解題帶來(lái)的便利，掌握構(gòu)造圖形的方法，為其靈活應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。

分析：該題目以橢圓為背景出題，考查的知識(shí)點(diǎn)較多，包括橢圓的定義、離心率以及點(diǎn)與點(diǎn)的對(duì)稱等知識(shí)。解答該題目時(shí)如不構(gòu)造圖形，不少學(xué)生感覺(jué)一頭霧水，無(wú)從下手。事實(shí)上，根據(jù)題意通過(guò)構(gòu)造對(duì)應(yīng)的圖形，根據(jù)學(xué)生所學(xué)的橢圓知識(shí)以及題干給出的等式關(guān)系，并不難求解。

二、構(gòu)造命題在解題中的應(yīng)用

構(gòu)造命題是指：在解答圓錐曲線試題時(shí)，題中沒(méi)有明確的依據(jù)，需要通過(guò)推導(dǎo)、總結(jié)相關(guān)命題，而后運(yùn)用命題進(jìn)行解題的一種構(gòu)造方法。采用構(gòu)造命題法解答圓錐曲線試題時(shí)，保證命題的正確性尤為關(guān)鍵，需要學(xué)生在日常學(xué)習(xí)注重推導(dǎo)與積累相關(guān)命題。為使學(xué)生能夠靈活運(yùn)用該種方法解答圓錐曲線試題，教師在教學(xué)中，一方面要結(jié)合圓錐曲線教學(xué)內(nèi)容，與學(xué)生一起推導(dǎo)相關(guān)的命題，使學(xué)生掌握研究圓錐曲線的方法，鼓勵(lì)學(xué)生多進(jìn)行思考，課下嘗試著進(jìn)行推導(dǎo)，積累更多正確、有用的結(jié)論。另一方面，為了提高學(xué)生運(yùn)用構(gòu)造命題解答圓錐曲線試題的能力，教師要圍繞具體例題進(jìn)行講解，使學(xué)生體會(huì)構(gòu)造命題法的應(yīng)用，提高學(xué)生運(yùn)用構(gòu)造命題解題的意識(shí)，使學(xué)生逐漸養(yǎng)成運(yùn)用構(gòu)造命題解答圓錐曲線試題的習(xí)慣。

三、構(gòu)造方程在解題中的應(yīng)用

構(gòu)造方程指通過(guò)認(rèn)真讀題，找到題干中已知參數(shù)與未知參數(shù)之間的關(guān)系，構(gòu)造對(duì)應(yīng)方程已達(dá)到解題目的的構(gòu)造方法。學(xué)生對(duì)方程并不陌生，但在圓錐曲線試題中，構(gòu)造合理的方法難度較大，需要學(xué)生認(rèn)真學(xué)習(xí)相關(guān)技巧，并加強(qiáng)訓(xùn)練，逐漸積累構(gòu)造方程的方法與技巧。為提高學(xué)生構(gòu)造方法解答圓錐曲線試題的能力，教學(xué)中一方面，由于圓錐曲線中構(gòu)造方程一般需要進(jìn)行較為繁瑣的計(jì)算，因此，為提高學(xué)生計(jì)算的正確性，應(yīng)注重多對(duì)學(xué)生進(jìn)行訓(xùn)練。如計(jì)算直線與橢圓、雙曲線、拋物線聯(lián)立后的方程，要求學(xué)生認(rèn)真觀察，掌握相關(guān)的規(guī)律，做到高效、正確計(jì)算。另一方面，優(yōu)選、精講代表性較強(qiáng)的題型，為學(xué)生進(jìn)行深入分析，認(rèn)真板書(shū)構(gòu)造方程的具體過(guò)程，鼓勵(lì)學(xué)生多進(jìn)行反思，總結(jié)構(gòu)造方程時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題，如明確定義域范圍。

四、構(gòu)造函數(shù)在解題中的應(yīng)用

學(xué)生對(duì)函數(shù)并不陌生，尤其在高中階段進(jìn)行了較為系統(tǒng)的學(xué)習(xí)。在解答圓錐曲線試題時(shí)，注重構(gòu)造函數(shù)法的應(yīng)用，尤其借助函數(shù)的性質(zhì)研究參數(shù)的最大值、最小值，是最為常用的方法。因此，使學(xué)生掌握這一重要的構(gòu)造方法尤為重要。教學(xué)中，一方面，教師要為學(xué)生深入講解圓錐曲線中常用的函數(shù)以及函數(shù)性質(zhì)，包括函數(shù)的求導(dǎo)、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)最值的求解等，讓學(xué)生練好基本功，為在解題中順利構(gòu)造出所需函數(shù)做好鋪墊。另一方面，構(gòu)造函數(shù)解答圓錐曲線具有一定技巧性，為使學(xué)生切實(shí)掌握這一方法，樹(shù)立解題的自信，教學(xué)中仍應(yīng)注重講解相關(guān)例題，與學(xué)生一起分析，并給學(xué)生做好指引，幫助學(xué)生尋找解題的突破口，使學(xué)生都能順利解題，獲得構(gòu)造函數(shù)解答圓錐曲線的成就感，更加積極、主動(dòng)地投入到圓錐曲線知識(shí)學(xué)習(xí)中。

五、構(gòu)造不等關(guān)系在解題中的應(yīng)用

不等式是高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)點(diǎn)，不僅較為抽象，而且涉及較多知識(shí)點(diǎn)，常作為解答大題的工具。眾所周知，圓錐曲線試題中，部分試題需要求解參數(shù)的取值范圍，運(yùn)用不等式知識(shí)可獲得事半功倍的良好效果，因此，教學(xué)中應(yīng)注重構(gòu)造不等式在解圓錐曲線試題中的應(yīng)用。一方面，教師為學(xué)生系統(tǒng)、深入地講解圓錐曲線試題中常用的不等式關(guān)系，包括基本不等式以及相關(guān)的不等式結(jié)論，尤其應(yīng)用基本不等式知識(shí)時(shí)，要求學(xué)生認(rèn)識(shí)參數(shù)范圍，保證等號(hào)成立的條件在取值范圍內(nèi)。另外，解題中無(wú)法使用基本不等式知識(shí)時(shí)，可考慮使用函數(shù)知識(shí)進(jìn)行討論。另一方面，由于構(gòu)造不等式較為靈活，因此，教師在教學(xué)中做好所講例題的篩選，講解優(yōu)秀、經(jīng)典題目， 詳解介紹每一步的推導(dǎo)依據(jù)，啟發(fā)學(xué)生通過(guò)構(gòu)造不等式解答圓錐曲線題目時(shí)應(yīng)保證推導(dǎo)的合理性、嚴(yán)謹(jǐn)性。

分析：（1）中橢圓方程已經(jīng)給出，根據(jù)所學(xué)的知識(shí)不難求解出橢圓離心率，這里不再贅述。（2）因?yàn)轭}干中給出的A點(diǎn)的坐標(biāo)比較特殊，而且B點(diǎn)在方程已知的橢圓C上，因此，可通過(guò)設(shè)出兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)OA⊥OB，找到兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，而后根據(jù)直線長(zhǎng)度的坐標(biāo)計(jì)算方法進(jìn)行化簡(jiǎn)，構(gòu)造不等式關(guān)系，即可求解出其AB長(zhǎng)度的最小值。

總之，構(gòu)造法是解答高中數(shù)學(xué)試題的常用方法，應(yīng)用于解題中可明顯提高解題效率。但其對(duì)學(xué)生各項(xiàng)能力要求較高，因此，要想使學(xué)生牢固掌握，靈活運(yùn)用并不容易，尤其將構(gòu)造法應(yīng)用于解答圓錐曲線題目中，難度進(jìn)一步增加。為使學(xué)生切實(shí)掌握這一解題方法，教學(xué)中教師要多下功夫，做好構(gòu)造法在解答圓錐曲線試題中的應(yīng)用研究。本文通過(guò)研究得出以下結(jié)論：

1.構(gòu)造法的應(yīng)用基于對(duì)高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的牢固掌握，因此，教學(xué)中應(yīng)做好基礎(chǔ)知識(shí)講解，嚴(yán)把學(xué)生理解關(guān)。同時(shí)，向?qū)W生講解構(gòu)造法相關(guān)知識(shí)，加深學(xué)生對(duì)構(gòu)造法的認(rèn)識(shí)，以便更好地應(yīng)用于圓錐曲線解題中。

2.結(jié)合圓錐曲線解題教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，做好常用構(gòu)造法的總結(jié)，尤其針對(duì)每一種構(gòu)造法通過(guò)具體例題講解其具體應(yīng)用，使學(xué)生總結(jié)相關(guān)圓錐曲線特點(diǎn)，掌握不同構(gòu)造法的應(yīng)用規(guī)律，尤其通過(guò)鼓勵(lì)學(xué)生在課下加強(qiáng)訓(xùn)練，及時(shí)鞏固所學(xué)知識(shí)，牢固掌握，不斷提高圓錐曲線試題的解題水平與能力。

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（責(zé)任編輯 陳始雨）