義務教育階段學生理性思維的培養

王永春

2019年11月22日上午，我在《湖北教育》第一屆“教研名師”觀摩課暨中小學生發展核心素養研討會上做了題為《義務教育階段學生理性思維的培養》的報告，主要從數學學科的角度思考義務教育階段學生理性思維的培養問題。

一、問題的提出

中國學生發展核心素養以培養“全面發展的人”為核心，分為文化基礎、自主發展、社會參與三個方面，綜合表現為人文底蘊、科學精神等六大素養，其中科學精神分為理性思維、批判質疑、勇于探究三個基本要點。理性思維的培養是理科落實核心素養的重要方面。

義務教育階段各學科的課程理念和性質、教學目標具有系統性和連貫性，因此理性思維的培養也應通盤考慮，加強研究小學如何為初中階段的學習打好理性思維的基礎。特別是數學學科，從小學到初中，是從算術到代數、從常量到變量、從實驗幾何和直觀幾何到抽象邏輯推理的論證幾何的發展過程，無論是知識還是思維、思想方法，都是一個質的飛躍。因此，如果小學階段不加強學生理性思維的培養，勢必影響初中的學習。

二、理性思維的解讀

思維有三種最基本的方式：概念、判斷和推理。概念既是思維的基本形式，也是判斷（命題）和推理的基礎。命題是表達判斷的陳述句，數學命題是在數學概念和邏輯推理基礎上形成的對數學對象進行判斷的陳述句。命題分真命題和假命題，本文所討論的數學命題是指真命題。數學命題是數學運算和推理的依據。概念是判斷的基礎，判斷（命題）是推理的基礎，推理是數學中最重要的思維方式或者思想方法。概念、判斷和推理之間層層遞進。通俗地說：如果概念不清，那么判斷不明，繼而推理不靈。

根據中國學生發展核心素養研究報告的解釋，理性思維主要包含三個方面：①崇尚真知，能理解和掌握基本的科學原理和方法;②尊重事實和證據，有實證意識和嚴謹的求知態度;③邏輯清晰，能運用科學的思維方式認識事物、解決問題、指導行為。根據思維的三個最基本的形式，理性思維的培養，要求學生在理解概念和命題的基礎上，掌握科學的原理和思想方法，有追求科學真理的精神和實事求是的態度，能夠根據事實和原理進行邏輯思考，通過推理和建立模型解決問題。

三、理性思維的培養

（一）概念的教學

概念是反映事物本質屬性的最基本的思維方式。事物一旦被抽象概括成概念，就已經不是事物的現象和局部，而是抓住了事物的本質和全體。本文特別強調一個基本觀點：無論是教科書的編寫還是課堂教學，不要因為學生認知水平的局限性和概念的抽象性而有意回避概念的清晰表達和理解，不要繞著困難走，而應該采取各種辦法，努力使學生理解概念。每次學習遇到困難就回避，就像行進中遇到石頭繞著走而不是跨越過去。這樣做，久而久之，困難積累多了，學生的面前就會形成一堵墻或者一座山，難以逾越，從而導致很多學生的學習只能死記硬背。

概念具有四個方面的特性或者構成要素，即概念的名稱、定義、例子和屬性。例如，鳥是體表被覆羽毛的卵生脊椎動物，這個概念中能反映鳥的內涵的本質屬性的是“體表被覆羽毛”“卵生的脊椎動物”，那么，會飛就不是反映鳥的內涵的本質特征。因此，判斷一個動物是不是鳥，不能以會不會飛為標準。但是我們可以按會不會飛為標準對鳥進行分類，即鳥可以分為兩類——會飛的和不會飛的，會飛的如麻雀、喜鵲、大雁、丹頂鶴等，不會飛的如鴕鳥等。蝙蝠和蜻蜓等雖然會飛，但沒有羽毛，所以不是鳥;鴕鳥等雖然不會飛，但是符合鳥的本質特征，即體表被覆羽毛、卵生脊椎動物，所以是鳥。可見，理解概念的內涵和外延非常重要。

小學數學中的十進位值制計數法有幾個重要的概念，十進制、數位、計數單位、0～9這10個數字。十進位值制意味著把0到9放在不同的數位上就能夠表達所有的數。無論是寫數、讀數、比較數的大小、計算等都要根據計數單位和數位進行。例如，認識10的時候，常常用數小棒的方式計數，我們習以為常地讓學生從1根數到10根捆成1捆，可是我們讓學生思考過為什么嗎，讓學生思考過1是什么嗎。學生認識了0～9這10個數字，我們讓學生思考過為什么自然數10的表達沒有用新的數字，而是從0～9中選擇0和1這兩個數字表達嗎？學生認識了100以內的數，我們讓學生思考過什么是一位數、兩位數的本質嗎？也許有老師說低年級學生理解不到這么深刻，到四年級大數的認識時再總結。然而，學生在第一學段學習了三年的數的認識和計算，有很多學生只知其然不知其所以然，主要原因是對十進位值制計數法的本質不理解。因此，我再次重申我的基本觀點和做法：高水平教學，標準化考試。高水平教學是為了抽象地理解和運用數學，標準化考試是為了不增加學生的負擔，因為學生的負擔主要來自考試。再如，100以內數的認識，學生數數的難點之一是數到幾十九，不知道接下來怎么數，實際上學生產生學習障礙的最根本原因是對十進位值制計數法沒有進行抽象。沒有抽象就沒有本質的理解，如果學生理解了十進位值制計數法，學生就知道一個一個地數，每個數位上的最大數字是9，那么個位滿十應該向十位進一，比如，數到29，再數一個，個位滿十應該向十位進一，個位變成0，十位變成3，29的下一個數是30，而不是20。只要學生掌握了這個抽象的位值思想方法，就可以以此類推，順利地數到99。99是最大的兩位數，如果再增加1，兩位數已經不能表示了，就需要再增加一個更高級的數位——百位，于是產生了100。其他自然數的學習，可以此類推。

另外，自然數10的認識非常重要，10的出現是自然數乃至數學發展史上的第一個里程碑。教學10的認識，可以啟發學生進行時光穿越，回想我們的祖先是如何數數和計數的。至少在3300年前的商朝，中國人使用的甲骨文就有大量的數字符號，已經使用了十進制;2500年前的春秋戰國時期，用算籌計數，1個物體用“ ”表示，2個物體用“”表示，3個物體用“ ”，……9個物體用“ ”表示（阿拉伯數字在我國推廣使用才100多年）。那么比9個多1個，用什么表示呢？教師引導學生想象：可以繼續用不同的符號表示，但是這樣下去，有很多物體時，就得使用更多的符號或小棒，很麻煩，也不容易記憶。怎么辦才能解決用比較少的符號表示很多數呢？教師請學生開動腦筋，想出好辦法。勤勞智慧的中國人受個、十、百、千、萬等計數單位的啟發，創造了數位（位值制），只用0～9（剛開始還沒有0這個符號，用空一位表示0，后來到了宋朝才出現用“○”表示0）10個符號就能夠表示所有的數。把數字放在不同的位置上，可以表示不同的值，例如把1放在個位上表示一，放在十位上就表示一個十（10）;把1放在十位上、0放在個位上就表示10，10是最小的兩位數……可別小瞧這個發明，古代中國人從3300年前發明十進制，到2500年前發明十進位值制居然用了至少800年，所以這個發明完全可以與中國古代四大發明相提并論。

初中物理有電壓的概念，怎么理解電壓呢？教科書只給出了名稱，沒有涉及概念的定義及本質屬性。學生對電壓的認識沒有達到抽象的水平，勢必影響后續知識的學習，尤其是歐姆定律等模型的建構和應用。我們打個比方，水一般往低處流，是因為高處的水具有重力勢能。假設一座樓房最高有五層，自來水怎么從一樓流到五樓呢？它需要克服水的重力，也就是說一定有力的作用，即水泵施加的力有了水壓，水壓越大水流越大。同理，電壓越大電流越大。

此次活動的觀摩課“百分數的意義”是一節概念課，很好地體現了百分數概念的四個要素。教師通過師生互動交流，探究了幾個核心問題：為什么要用百分數？百分數是什么意思？百分數與分數有什么聯系？在什么情況下用百分數？這樣的探究，使得課堂教學達到了深度學習狀態。

（二）結構的教學

我們至少應從兩個方面理解結構：學科知識結構和個體的學科認知結構。個體的認知結構來源于學科知識結構，個體的認知結構是不同的。學科知識結構是概念和命題的關聯所形成的結構，是全體學科工作者研究的成果和智慧結晶，是一種普遍性的客觀存在，它不依個人的意志而改變。學生的認知結構來源于知識結構，是學生個體對學科理解的智慧結晶，它屬于學生個體，存在于學生個體的頭腦中，是個性化的主觀存在，是一個復雜的多要素系統，個體之間的認知結構和水平是有差異的。學習有困難的學生的認知結構是不完善的，可能的原因是對一些概念和命題沒有掌握，或者是掌握了概念和命題，但對于知識的掌握是碎片化的、支離破碎的，沒有形成網狀結構。沒有結構化的知識無法使學生形成良好的認知結構。

學科知識結構是一個完整的、縱向和橫向連接的網狀結構，是古今中外廣大學科工作者集體智慧的結晶。無論是教材還是教學，都不能把這個完整的知識結構直接呈現給學生，而是通過一本一本的教科書呈現給學生。教科書根據學生的認知水平和規律，把這座高樓大廈拆散、碎片化，進行螺旋上升式的編排。學生從小學一年級到高三，在12年的時間里一課時一課時地學習，就像一磚一瓦地把自己的認知大廈重新蓋起來，形成自己的認知結構。教師的任務就是指導學生填好自己的一磚一瓦，把頭腦里的這座大廈蓋得結構完整、結實美觀。

關于結構的重要性，美國心理學家布魯納有過精辟論述：

一門學科的課程應該決定于對能達到的給那門學科以結構的根本原理的最基本的理解。教專門的課題或技能而沒有把他們在知識領域更廣博的基本結構中的脈絡弄清楚，這在幾個深遠的意義上，是不經濟的。第一，這樣的教學使學生要從已學得的知識推廣到他后來將碰到的問題，就非常困難。第二，陷于缺乏掌握一般原理的學習，從激發智慧來說，不大有收獲。使學生對一個學科有興趣的最好辦法，是使這個學科值得學習，也就是使獲得的知識能在超越原來學習情境的思維中運用。第三，獲得的知識，如果沒有完滿的結構把它連在一起，那是一種多半會被遺忘的知識。一串不連貫的論據在記憶中僅有短促得可憐的壽命。根據可借以推斷出論據的那些原理和觀念來組織論據，是降低人類記憶喪失的速率唯一的已知方法。

從中可以看出，布魯納非常注重學科課程的原理、觀念和結構。這不但有利于學習和掌握學科知識，還有利于記憶、技能和方法的遷移。本文所提出的在概念、命題基礎上形成的結構，與布魯納的觀點有許多相似之處。

認知結構的教學，其過程是復雜的、個性化的。特別需要強調的是，教師首先要有知識關聯結構化的思想和意識。每節課，新知識的學習都要進行關聯。一般情況下，課始直接呈現主題，進行新舊知識的自主關聯，啟發學生類比思考：這個新知識點與哪些學過的舊知識有關系？如何把新知識轉化成舊知識？能不能用學過的知識和方法理解新知識、解決新問題？每堂課的小結階段，也應進行關聯和結構化，使新知識通過同化或者順應納入已有的認知結構當中。另外，即使教師每堂課把知識結構完整地呈現在黑板上，也并不表明每個學生都把知識結構轉化為了自己認知結構中的一部分。教師要讓學生經歷知識結構的形成過程，這個過程要體現思想方法、元認知和非智力因素等整體認知結構的協調發展。

（三）邏輯推理的教學

推理一般分為合情推理和演繹推理。合情推理主要有歸納推理、類比推理、統計推斷;演繹推理主要有三段論、選言推理、關系推理等。

1.歸納推理的教學

歸納推理是從特殊到一般的推理方法，即依據一類事物中部分對象的相同性質推出該類事物都具有這種性質的一般性結論的推理方法。歸納推理往往是在人們實踐經驗的基礎上得出結論的，如通過觀察、實驗、比較、分析、綜合、抽象、概括，形成對思維對象的共性認識，最后歸納結論。

歸納法分為完全歸納法和不完全歸納法。完全歸納法是根據某類事物中的每個事物或每個子類事物都具有某種性質，推出該類事物具有這種性質的一般性結論的推理方法。如自然數、小數、分數的乘法滿足交換律，有理數、實數、復數的乘法也滿足交換律，所以關于數的乘法都滿足交換律，就運用了完全歸納法。完全歸納法考察了所有特殊對象，所得出的結論是可靠的。不完全歸納法得到的結論可能為真也可能為假，需要進一步證明結論的可靠性。歸納法有助于發現并提出問題，進行大膽猜想。數學史上有很多著名的問題都是這樣被提出來的，如哥德巴赫猜想、費馬猜想等。哥德巴赫通過觀察幾組加法算式，發現這些大于或等于6的偶數等于兩個奇素數之和：6=3+3，8=3+5，10=3+7，12=5+7，14=7+7，…于是，他大膽猜想：任何一個不小于6的偶數都等于兩個奇素數之和。

這個猜想是否正確呢？兩百多年來很多數學家進行了不懈的努力，而且取得了很大進展。最著名的就是我國數學家陳景潤已經證明了“任何一個大偶數都可表示成一個素數與另一個不超過2個素數的乘積之和”，創造了距離摘取這顆數論皇冠上的明珠只有一步之遙的輝煌成果。

歸納推理在教學中有廣泛的應用，如物理教學中，通過實驗發現銅可以導電，鉛可以導電，鋁可以導電，于是可以初步歸納出一個猜想：金屬都可以導電。

2.類比推理的教學

類比推理是從特殊到特殊的推理方法，即依據兩類事物的相似性，用一類事物的性質去推測另一類事物也具有該性質，也叫類比法。依據該方法得到的結論可能為真也可能為假，需要進一步證明結論的可靠性，如根據整數的運算律，得出小數具有同樣的運算性質。

類比不同于比較，是在比較的基礎上進行的推理。類比法與歸納法也有不同之處，類比法是從特殊到特殊的推理，歸納法是從特殊到一般的推理。它們也有相同之處，它們的結論都是或然的，即正確與否都是不確定的，有待證明。

無論是學習新知識，還是利用已有知識解決新問題，如果能夠把新知識和新問題與已有的相類似的知識進行類比，進而找到解決問題的方法，這樣就實現了知識和方法的正遷移。因此，教師要引導學生在學習數學的過程中利用類比思想，提高解決問題的能力。有些類比比較直接，如由整數的運算定律遷移到小數、分數的運算定律等;而有些類比比較隱蔽，需要在分析的基礎上才能實現，如抽屜原理，變式練習有很多，難度較大，解決此類問題的關鍵是通過類比找到抽屜和物品的數量，然后運用模型思想和演繹推理思想解決問題。應用類比的思想方法，關鍵在于發現兩類事物相似的性質，因此，觀察、比較與聯想是類比的基礎。中學數學與小學數學可以類比的知識有很多，打好小學數學的知識基礎和掌握類比思想，對于中學數學的學習會有較大益處。代數與算術、空間與平面的類比，高維與低維的類比，無限與有限、曲與直的類比等，都是常用的類比形式。如：在代數中，與整數的運算順序和運算定律相類比，可以推導出有理數和整式的運算順序和運算定律;與分數的基本性質相類比，可以導出分式也具有類似的性質，并且可以推出它和分數一樣能夠進行化簡和運算。

3.演繹推理的教學

我們主要討論常用的三段論和關系推理。

（1）直言三段論。有兩個前提（直言命題）和一個結論（直言命題）的演繹推理，叫直言三段論，簡稱“三段論”。三段論是演繹推理的一般模式，包括：大前提——已知的一般原理，小前提——所研究的特殊情況，結論——根據一般原理，對特殊情況做出的判斷。例如：長方形的面積等于長乘寬，正方形是特殊的長方形，所以正方形的面積也等于長乘寬，即邊長乘邊長。

三段論一般要借助于一個共同的詞（項）把兩個命題聯系起來，然后推出一個新的命題（結論）。兩個前提包含的共同項稱為“中項”，上述例子的“長方形”就是中項;大前提與結論包含的共同項是大項，上述例子的“長乘寬”就是大項;小前提與結論包含的共同項是小項，上述例子的“正方形”就是小項。我們用字母S表示小項，M表示中項，P表示大項，一般的推理形式可概括如下：

所有M都是P

S是M

所以，S是P

三段論的核心思想是：一類對象的全部具有或不具有某屬性，那么該類對象的部分也具有或不具有某屬性。第一種情況見上例，第二種情況見下例：一切奇數都不是2的倍數，4的倍數加1的和是奇數，所以4的倍數加1的和不是2的倍數。

兩種情況的推理可以用下圖表示：

在小學數學教材和教學中，如果兩個前提中的某一個不言自明，有時可能會省略一個前提。如：這個圖形是三角形，它的內角和是180°，這個推理省略了大前提“三角形的內角和是180°”。

三段論通過大前提、小前提推出特殊結論。在小學數學中雖然很少有類似于初中數學證明等嚴密規范的演繹推理，但是在很多結論的推導過程中應用了三段論推理的省略形式。例如，根據平行四邊形的面積公式推出三角形的面積公式，就是一個三段論推理：

平行四邊形的面積等于底乘高 （大前提）

兩個同樣（全等）的三角形的面積等于平行四邊形的面積 （小前提）

兩個同樣（全等）的三角形的面積等于底乘高 （結論）

最后根據等式的性質，推出一個三角形的面積等于底乘高的積除以2。

（2）關系推理。關系推理是前提中至少有一個是關系命題的推理。下面簡單舉例說明幾種常用的關系推理：①對稱性關系推理，如1米=100厘米，所以100厘米=1米。②反對稱性關系推理，如a大于b，所以b不大于a。③傳遞性關系推理，分為相等關系與不等關系的傳遞，相等關系如a=b，b=c，所以a=c，不等關系如a>b，b>c，所以a>c。關系推理在數學學習中應用比較普遍，如在一年級學習數的大小比較時，把一些數按從小到大或從大到小的順序排列，實際上都用到了關系推理。

此次活動的觀摩課“平行四邊形的面積”公式的推導過程，就很好地體現了轉化和推理思想：

長方形的面積等于長乘寬

平行四邊形的面積等于長方形的面積

平行四邊形的底等于長方形的長、高等于寬

所以平行四邊形的面積等于底乘高

此次活動的觀摩課“探究四點共圓的條件”也非常好地體現了轉化和推理思想。

（作者單位：人民教育出版社課程教材研究所）