因惑施教

屈婷 袁凌云

面積是對一個平面（物體或圖形）表面多少的測量，其本質是某個單位量的數值化表示。這個“單位量”是什么樣的？面積與周長有什么本質區別？什么時候要求周長，什么時候又該求面積？這些都是學生認識面積概念時的難點。如何因“惑”施教，實現對面積的真正理解？

一、動作表征，建立表象

在教學中，教師可以先引導學生了解周長與面積的動作表征是有本質區別的。

師（多媒體出示兩個面積差距較大的正方形及兩種不同型號的排筆）：如果要給這兩個圖形涂色，你準備選擇哪支筆？

生1：選大號的排筆，涂得快。

生2：大的要用大排筆，小的要用小排筆，因為小的也選大排筆，容易“涂過”。

師：你說的“大小”是指什么？

生2：“大小”是指它們的面積。

師：“涂過”是什么意思？

生2：就像我們用水彩筆涂色一樣，超過小正方形的四條邊，就會涂過。

師：看來面積也是有邊界的。摸一摸，哪里是它們的面積？（大部分學生用整個手掌來摸大正方形的面積，用一根指頭來摸小正方形的面積）為什么不用手指摸大正方形？

生3：手指頭太小了，需要摸很多次。手掌大一些，摸一次就夠了。

師：長方形和正方形都是平面圖形，其他平面圖形有面積嗎？

生4：三角形、圓形、平行四邊形、梯形等都有面積。

生5：線段、角沒有面積。

學生在摸的過程中，不僅將面積的動作表征和表象建立起聯系，而且意識到排筆刷、手掌、手指都是描述面積的間接單位，從而積累了以面量面的經驗。

二、細分圖形，觸摸本質

教師課前為學生準備了如下材料：剪刀，長5厘米、寬2厘米和長4厘米、寬3厘米的長方形實物卡片，畫在練習紙上的與實物卡片一樣大的長方形（圖1、圖2）。

師：上面這兩個長方形，哪個面積大？

生1：看不出來。

生2：圖1又細又長，圖2又短又寬，用重疊的方法也比較不出來。

師：重疊一次不能比出誰大誰小，這可怎么辦？

生3：多重疊幾次。

學生操作之后，有兩種典型方法：一是將圖1和圖2多次重疊，依次剪掉重疊部分，比出大小;二是利用兩種不同材料的重疊（如長5厘米、寬2厘米的卡片和練習紙上長4厘米、寬3厘米的長方形重疊產生區域A）在練習紙的兩個長方形內部進行分割，細分為不同的小長方形，再比出大小（如下圖）。

師：這樣重疊后，能比較出面積的大小了嗎？

生1：圖2面積大一些。

師：你更欣賞哪種剪法？

生2：方法1把長方形剪開了，但是要想讓別人看清楚，還要把零碎的圖形拼起來。

生3：剪開再復原太麻煩，很容易弄錯。

生4：方法2沒有剪開，看得更清楚。

師：圖2比圖1大多少？

生5（指著區域C比畫）：大這么多。

師：如果用它作單位，圖1可以分割成多少個這樣的小長方形？老師為每個同學都準備了一個這樣的小長方形，咱們用它作單位來分分看。

師（展示學生的作品）：有了單位，我們就可以數了。現在可以怎樣描述圖1長方形的大小？

生6：圖1里有5個這樣的小長方形。

師：有一個同學是下圖這樣分的，你有什么想法？

生7：有個小長方形畫“分家”了。

師：是呀，分割時，要保證每個圖形大小完全一樣。

生8：正方形也可以作為標準來數出長方形的大小。

師：你能具體說說嗎？

生8：把每個小長方形都一分為二，這樣長方形1里就有10個小正方形。

師：你的想法真是太巧妙了。平面圖形那么多，還有哪些平面圖形可以作為標準？

生9：所有的平面圖形都可以。

生10：線段不行，角也不行。

師：為什么？

生10：線段只能量長度，鋪再多也鋪不滿;角不封口，也不行。

師：選擇一個標準鋪一鋪，想一想：哪個平面圖形作面積單位最合適？

數學上對面的研究，不僅關注它的形狀，還關注它的大小，即面積。在用不同平面圖形密鋪長方形的過程中，學生體會到：測量物體的面積要盡可能“量盡”，等腰三角形、圓形無法鋪滿，等邊三角形和長方形都可以轉化為正方形，正方形長和寬相等，二維度量單位統一，不需考慮擺放問題，優越性顯而易見。

三、鏈接生活，深化感知

教師出示以下題目。說一說：下面所需材料是指圖形的周長還是面積？（1）在釘子板上圍四邊形;（2）用卡紙做長方形卡片;（3）用鐵絲做正方形;（4）用鐵皮做正方形;（5）粉刷正方形墻壁;（6）給長方形地鋪地板;（7）給長方形板報貼花邊。

學生遇到單純的求圖形的周長和面積問題時，一般不會把“線”“面”混淆，但一涉及解決生活中周長與面積的實際問題時就理不清思路。因此，筆者設計了思考所求問題到底與周長有關、還是與面積有關的練習，讓學生將制作圖形所需原材料的特點與周長或面積進行匹配，將學生對“面積”的生活經驗轉化為數學經驗。

經歷上面的練習題后，教師還可以將習題變一變：提供軟鐵絲做的長方形框架、長方形紙片兩種材料。①要改變圖形的面積，你準備選擇哪種材料進行操作？學生充分操作后，引導學生發現：不管怎樣裁剪，只要紙片沒有遺失，面積之和就不會發生變化。②為什么軟鐵絲做成的圖形的面積會發生變化？學生通過操作又得出軟鐵絲可以做成不同的形狀，形狀不同，面積也不相等的結論。③軟鐵絲并沒有變長也沒有變短，為什么圍成的圖形面積發生了變化？學生又發現軟鐵絲是圖形的周長，這個材料不管做成什么形狀，原材料沒有變化，周長就不會發生變化。④誰能用軟鐵絲做成面積更小的形狀？學生得到鐵絲盡量往里縮，面積就越小，盡量往外放，面積就越大的結論。

圖形的周長與面積雖沒有本質聯系，但某個因素一變化，就會有無數種可能。長方形紙片的面積看得見、摸得著，學生認為便于操作，要改變面積極其容易。可是長方形紙片的面積一旦固定好了，無論剪掉哪一塊，再填補到其他地方，面積之和都沒有增加或減少。軟鐵絲做的框架，看似摸不著面積，但這樣的軟鐵絲可以因物賦形，它圍成的面積大小取決于圍成的形狀。

（作者單位：宜城市窯灣小學）

責任編輯? 張敏