“圖解數學”助力課堂生長

陳云

“圖解數學”指的是運用圖形、表格、公式等可視的方式把學生本來不可視的思維（思考方法和思考路徑）呈現出來，使其清晰可見，它是“思維可視化”在小學數學課堂中的主要運用方式。“圖解數學”不要求用專業的“可視化”工具，也不像“思維導圖”那樣要求圖文并茂地把各級主題的關系用相互隸屬與相關的層級圖規范地表現出來。相反，我們只是尊重兒童生來喜歡涂鴉的天性，尊重兒童喜歡并善于用畫圖表達自己感覺、感受的特點，引導學生用自己喜歡的方式去展開數學的表達。“圖解數學”的方式更加符合小學生的年齡特點和理解水平，帶有比較多的隨意性和隨機性，更具個性特色，能讓不同層次的學生都能帶著自己的理解參與到交流、互動中，為學生提供直觀形象的理解工具，也為創新意識的培養提供更多的可能。

一、“圖解數學”助力學困生搭建通向理解的階梯

我們從不愿意給學生分出三六九等，但不可否認，在任何一個班級里，學生都會存在差異，這種差異的形成原因是多方面的，而且比較難以改變。所以，我們的課堂教學總是會面臨這樣的兩難境地：一個知識學習結束，一部分學生已經心領神會，可以做到觸類旁通、輕松應對，卻還有一部分學生依然懵懵懂懂，做題時無從下手。即便后期有老師、家長提供“小灶”支持，這部分學生也不過是“照葫蘆畫瓢”、熟能生巧罷了。雖然“學困生”的產生原因是多元的，但有些數學知識本身的抽象、嚴謹、碎片化、難以理解等也一定是困住學生的原因之一。針對這樣的情況，教師運用好“圖解數學”就可以幫助學生突破“理解”這道坎，豐厚學生的感性認知，緩解學生的焦慮感和無力感。

如“比賽場次”問題的學習：“5支隊伍參加，每兩支隊伍之間要進行一場比賽，一共要進行幾場比賽？”有的學生可以很快想到4+3+2+1=10（場），但總有學生怎么都弄不明白這個算式背后的道理，我們嘗試讓學生用自己所能理解的方式記錄比賽場次，有的學生從最原始的匹配狀態進行“圖解”，排列出每一場賽事，剔除其中重復計算的賽事（圖1），這樣就能比較直觀地解釋算式的由來了。但很顯然，最原始的排列圖不足以讓學生感悟這一類問題的研究方法，我們繼續引導學生把隊伍逐漸增加的過程“圖解”出來（圖2），這樣的解釋更容易發現每增加一支隊伍會增加幾場比賽，以及為什么會增加這些場次，從而進一步感知比賽場次中的規律。在此基礎上再啟發學生把一一列舉逐步抽象成點和線的表達方式（圖3），數學抽象和模型意識就在不經意間得到提升。最終再用數字、圖示和算式的相互結合來梳理其中的數量結構（圖4）。至此，學生就可以很直觀、很輕松、很透徹地理解這一類問題的解決方法和解答原理了，“學”因此不再被“困”。

如上所述，圖形是一種奇妙的數學語言，可以從最簡單、最直觀的排列開始，一步一步地幫助學困生體會和理解數量關系的產生原因、發展過程和變化規律，讓抽象的、碎片化的、難以理解的數學知識顯性化、可視化。

二、“圖解數學”助力中等生發現突破瓶頸的鑰匙

小學數學知識基礎性較強，解決一道題的難度往往不會太大，但基于小學生的理解能力和智力發展的情況，想要達到舉一反三、觸類旁通，恐怕也是我們教學中難以突破的瓶頸。這樣的瓶頸若能突破，則曲徑通幽，收獲的不僅是知識，更是能力、是數學的思想方法;倘若不能突破這個瓶頸，就會對知識一知半解。而不少教師在教學設計時也容易受限于“這個內容我怎么教”的慣性思考，較少關注“這個內容學生是怎么學的”，這就導致就題論題的現象比較突出，不利于學生養成從不同的問題情境中找出同一結構關系的數量關系模型的思維習慣。解決這一問題，我們不妨讓學生先學，然后把自己學的過程“圖解”出來，或許這些“圖解”會成為解決一類問題的模式，或許學生能在“畫圖”“析圖”的過程中自己“破繭”，也或者教師們能從中得到些許提示，助力學生突破瓶頸。

如“雞兔同籠”問題的學習：“雞兔同籠，頭有8個，腳26條，問雞、兔各有幾只？”除了“推算”外，教師再讓學生選擇自己喜歡的方式“圖解”出自己的思考過程，學生有了不同的表達（圖5），不妨比較一下，這幾種畫法的不同點在哪里？有相同的地方嗎？在對直觀圖示的解讀中，學生發現：先假設都是雞或都是兔，然后把多出的（或少的）數量分配掉。這就取得了與“推算法”原理上的聯系，使推算過程中每一步都更有說服力。再來看列表枚舉（圖6），方式也很多，但我們的目標一定不是找到更多列表的方式，只是利用這些表格展開橫向、縱向的比較：每一種列表方法的優勢、劣勢在哪里？為什么有的列表可以很簡單？列表、畫圖、推算等不同方式，其本質的思想都是什么？這樣的方法還可以用來解決哪些問題？很顯然，“圖”“表”“推算”的思路都是符合“假設—比較—調整”的過程。那么對于“8桌球賽，有26人參賽，單打、雙打各有幾桌球賽？”這樣的問題我們就可以假設都是單打，再對不足的人數進行調整;對于“8枚硬幣，共3元2角，5角、2角各幾枚？”這樣的問題我們就可以假設都是5角，再對多出的部分進行調整。可以看出，借助多重“圖解”的比較，學生輕松掌握了分析解決這一類問題的工具，數學思維也得到發展。

如上所述，學生嘗試把自己認為很亂、很復雜、很麻煩的各種情況進行梳理時，就已經慢慢學會透過形式走向實質了，原來種種變式都萬變不離其宗，這個“宗”就是同一結構關系的數量關系模型。這樣的“圖解數學”能幫助中等學生更深層地領悟到數學的內在聯系，追溯本節課“知識目標之上的目標”。

三、“圖解數學”助力優等生打開創新意識的大門

在今天這樣一個復雜而多變的世界，努力培養學生的好奇心，啟迪學生的創新意識顯得尤為重要。如何培養學生的創新意識呢？首先要讓學生投入積極探索、主動思考的狀態中去，只有學會了獨立思考才有可能創新。但是需要注意的是，獨立思考不等同于一個人孤立地冥思苦想，學生獨立思考之后還應該經歷與他人合作交流解決問題的過程，從不同的思考路徑和思考成果中歸納概括，得到猜想，并加以驗證，這才是創新的重要方法。那么，獨立思考的成果如何表達？合作交流中如何分享？概括歸納時如何改進？……要解決這些問題，那就要引導學生寫出來、畫出來，以“圖”記錄思路，借“圖”表達想法，憑“圖”交流碰撞，用“圖”展示成果，讓學生的獨立思考、合作交流、歸納概括有底氣、有工具、有抓手。

如“倍增問題”的學習時有這樣一個問題：“老師有一個重要的消息需要在最短的時間通知到全班31個同學，每通知一個同學需要1分鐘，已經接到消息的同學可以幫忙通知下一個同學，最少多長時間可以讓全部同學得知消息？”在教師對學生最初始的做法進行梳理后，學生開始獨自修改方案，運用到有序思考的策略，小組內同學將最優化和最有序的作品推薦出來（圖7），小組作業的集中展示，有些同學理解了“倍增”的過程，也有同學并不滿足于發現了“倍增”的規律，嘗試用更簡易的線性圖（圖8）概括人數的發展變化。線性的結構更容易突出主干上倍增的數據，這種方便、容易上手的可視模型出現后，一部分學生迅速內化知識，并開始“浮想聯翩”：有同學想到了加上老師其實就是32個人，可以從32人入手，倒推出時間（圖9）……最后，教師給學生一張只涂了一格的密密麻麻的方格圖，按照“倍增”的方法動手圈一圈看看幾次能涂滿。直觀圖示帶來的震撼，再配合“在棋盤中放米”和“荷葉多長時間長滿池塘”這樣有趣的“倍增”問題，有助于培養學生的數學核心素養。

如上所述，學生利用知識結構圖構建起思考路徑的網絡，既能使已有知識條理化、系統化，又能對未來的知識有合理猜想，這樣的學習過程中學生不僅眼中有數學知識，心中還有數學思想。這樣帶著創新思考的數學學習才會改變學生單向接收知識的學習狀態，變為自主體驗知識、樂于展示知識、敢于創新知識的學習狀態，是真正有價值、有遠見的學習。

“讓不同的人在數學上得到不同的發展”，這是我們的課堂得以良性生長必須達到的目標，“圖解數學”恰好可以引導學生真實參與數學知識的發現和創造過程，使得不同需求的學生都能在數學學習中獲得智慧的啟蒙，這種生長的力量能賦予課堂更多的魅力。

（作者單位：南京師范大學蘇州實驗學校）

責任編輯 周瑜芽

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