讓學(xué)生經(jīng)歷知識的形成過程

陳京山 覃遠坤

數(shù)學(xué)知識的形成經(jīng)歷了從實際應(yīng)用到經(jīng)驗積累再到概念升華的過程。我們在教學(xué)中應(yīng)重視讓學(xué)生從已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進行解釋與應(yīng)用的過程，進而使學(xué)生更好地領(lǐng)悟數(shù)學(xué)概念和思想方法。

一、讓學(xué)生經(jīng)歷規(guī)律的探索過程

概念教學(xué)應(yīng)重視概念產(chǎn)生的背景和概括過程，學(xué)生經(jīng)歷規(guī)律的形成過程才能更好理解概念本質(zhì)和其所反映的思想方法。

學(xué)習(xí)“平方根”的概念時，教師通常是給出一些特殊的“純數(shù)學(xué)”材料，供學(xué)生觀察，如32=（ ?）、（-3）2=（ ?）、0.22=（ ?）、02=（ ?）等，再反問學(xué)生：（1）一個數(shù)的平方是9，求這個數(shù)？有幾個？（2）一個數(shù)的平方等于0.4，這個數(shù)是什么，有幾個？……由此引出“平方根”的概念。當教師詢問一名學(xué)過無理數(shù)，成績較好的學(xué)生：“[2]到底是什么？是一個數(shù)嗎？”時這名學(xué)生思考了一會才說：“[2]的平方根等于2，它不一定是一個數(shù)，不知道等于多少”。這個回答表明學(xué)生并沒有真正理解平方根和無理數(shù)的概念，只是從形式上、字面上理解和模仿并做題。對于這類抽象的概念，還要創(chuàng)設(shè)必要的情境，讓學(xué)生對新概念有一個體驗和感知的過程。教師可以這樣設(shè)問：“面積為2cm2的正方形，邊長是多少？如何表示？你能估算出[2]大致是多少嗎？”借助概念的引入，學(xué)生知道這個邊長可用[2]表示，但[2]是不是一個數(shù)呢？如果是一個數(shù)，到底是多少呢？這個時候讓學(xué)生進行研究思考，不到幾分鐘的時間，就有幾名學(xué)生在坐標上畫出[2]的長。當估算出[2]≈1.4（有的還推算得出[2]≈1.414）時，學(xué)生才知道，原來[2]也是一個實實在在的數(shù)。當然，±[2]、±[3]、±[5]也都是具體的數(shù)，一個非負數(shù)的平方根當然也是實實在在的數(shù)，也可用數(shù)軸上的數(shù)表示它們。有了這一個具體實際的體驗和直觀的驗證后，學(xué)生對新概念的理解也就更深刻了。

學(xué)習(xí)分母有理化時，教師先創(chuàng)設(shè)問題情境，讓學(xué)生計算[18]、[112]的近似值。有的學(xué)生通過查表得到[8]=2.828，所以[18]=0.3536。他們同樣得出[112]=0.2887。這時，學(xué)生已感覺到了多位除數(shù)帶來的麻煩。教師趁機啟發(fā)學(xué)生，問他們能否避免這種麻煩。學(xué)生的探究欲望被這個開放性問題喚醒，紛紛進行嘗試，經(jīng)討論后才知道，要避免麻煩的計算，應(yīng)設(shè)法使分母不帶根號。如何化去分母中的根號呢？有的學(xué)生想到平方，但此時分式的值變了;有的想到利用分式的性質(zhì)，把分子和分母都乘以相同的根式，則可使分母中的根號轉(zhuǎn)移到分子去，即[18]=[1·88·8]=[88];有的則先化簡分母，即[18]=[122]。對[112]，學(xué)生也作了類似的討論。這時，教師要進一步強化學(xué)生積極的學(xué)習(xí)體驗，引導(dǎo)學(xué)生找規(guī)律，找模式，形成表達式，使學(xué)生享受成功的喜悅。在獲得了[18]、[112]簡便計算后，教師啟發(fā)學(xué)生找這類問題的共性，即[1a]=[1·aa·a]=[aa]，然后再引入“分母有理化”和“有理化因式”這兩個概念就水到渠成了。

由此觀之，數(shù)學(xué)不能僅當“純數(shù)學(xué)”，要讓學(xué)生經(jīng)歷概念和數(shù)學(xué)思想等知識的形成過程，或者說學(xué)生有一個“領(lǐng)悟”的過程，這個過程可能是困難和緩慢的，但卻是不可缺少的。

二、注重學(xué)生對問題進行的探究過程

教師要創(chuàng)造性地使用教材，設(shè)計適合學(xué)生發(fā)展的教學(xué)過程，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的形成與應(yīng)用過程。教師還要改變傳統(tǒng)教學(xué)中的教師講，學(xué)生聽，教師先操作示范，學(xué)生再模仿練習(xí)的做法。

教學(xué)中對某些抽象的公式定理可以創(chuàng)設(shè)由特殊到一般的問題系列，讓學(xué)生觀察、思考和猜測。如學(xué)習(xí)互余的兩個銳角的正、余弦的關(guān)系時，可設(shè)計成如下的系列問題，讓學(xué)生猜測：

（1）你能比較sin30°、cos309°、sin45°、cos459°、sin60°、cos60°之間的大小嗎？

（2）你能比較sin15°、cos15°、sin75°、cos75°之間的大小嗎？結(jié)合直角三角形圖形進行觀察、分析，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

（3）利用上面發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，你能很快判斷出sin75°與哪個銳角的余弦值相等嗎？你能畫一個圖來說明這一現(xiàn)象嗎？

（4）你能把你的發(fā)現(xiàn)用數(shù)學(xué)語言概括嗎？你能證明嗎？

課本上是先讓學(xué)生計算sin30°、cos30°、sin45°、cos45°、sin60°、cos60°，引導(dǎo)學(xué)生由sin30°=cos60°、cos30°=sin60°等式中推測出一般結(jié)果。這樣的教學(xué)設(shè)計由于問題的指向性太強，具有明顯的暗示，使“發(fā)現(xiàn)”變得輕而易舉，因而缺乏探究性，學(xué)生并沒有體會真正的知識發(fā)生過程。前面的問題系列具有較強的問題意識和探究性，對學(xué)生很有吸引力，學(xué)生從中可體驗到合情推理這種非邏輯方式的奇妙威力，不僅能發(fā)現(xiàn)互余的兩個銳角的正、余弦的關(guān)系，而且對正弦函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)也有所體會，學(xué)生興趣濃厚，受到了數(shù)學(xué)智慧的熏陶。

借助現(xiàn)代教育技術(shù)，數(shù)學(xué)已同物理、化學(xué)一樣，正在成為一門實驗性學(xué)科。如學(xué)習(xí)圓周角時，教師讓學(xué)生準備好直尺、量角器等工具，給每位學(xué)生一張印有局部航海圖的練習(xí)紙，并在航海圖旁提出問題：“A、B是兩座燈塔，在弓形AMB內(nèi)有暗礁（圖略），游艇C在附近海面游弋，游艇上的導(dǎo)航員如何通過觀測才能知道游艇有沒有觸礁的危險？”這是一個富有挑戰(zhàn)性的實踐問題，學(xué)生很有興趣地開始測量探究、討論，發(fā)現(xiàn)盡管在圖紙上量出游艇C與圓心O的距離，就可知道是否有危險，但在情況復(fù)雜的海面上難以觀測出圓心O的位置。到底如何確定游艇C在圓O外呢？在合作實驗中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)在航海中測量角比測量距離更方便。由于∠ACB易測，當游艇C靠近暗礁區(qū)域時，∠ACB越來越大，頂點C由圓外到圓內(nèi)。角C的頂點在圓周上，這樣的角有特殊性嗎？教師組織學(xué)生動手測量，并嘗試把問題抽象出來，看看能否從測量或特例中提出自己的猜測。實踐證明，數(shù)學(xué)操作課深受學(xué)生歡迎，圓周角的特性和圓周角定理完全可以由學(xué)生自己探究出來。

（作者單位：長陽土家族自治縣第二高級中學(xué)）

責任編輯 ?張敏