提高解決數(shù)列問題能力的幾個對策

■福建省龍巖市永定區(qū)城關中學 (特級教師)

一、重視基本量解題意識，厘清知識網(wǎng)絡，切實掌握數(shù)列的概念與性質

在高考試題中,選擇題和填空題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質,解答題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項與前n項和公式及簡單的遞推關系(主要是Sn與an的關系),一般是中檔題,注重通性通法。而等差、等比數(shù)列常涉及a1,an,n,d(q),Sn五個量和兩組基本公式,而這兩組公式可看作多元方程,利用這些方程可將等差、等比數(shù)列中的運算問題轉化為解關于基本量的方程(組),所以加強用基本量法解題是一種常用且行之有效的方法。

例1(2019年福建省高三畢業(yè)班質量檢測卷文科第3題)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a8-a5=9,S8-S5=66,則a33=( )。

A.82 B.97 C.100 D.115

解法1：設等差數(shù)列{an}的公差為d。

所以a33=a1+32d=100,選C。

解法2：設等差數(shù)列{an}的公差為d。

因為a8-a5=3d,S8-S5=3a7,依題意解得d=3,a7=22。

所以a33=a7+26d=22+26×3=100,選C。

點評：先根據(jù)等差數(shù)列的定義,再利用已知條件列出首項和公差滿足的方程組并求解,即可解決問題;或者根據(jù)等差數(shù)列的性質,分別求出公差和a7,即可迅速求解。

二、重視公式的應用

數(shù)列的運算,高考中常見的是用有關公式和性質求解一些基本量的問題,an與Sn的關系也是高考考查的熱點。

例2已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a2=2,S5=15。數(shù)列{bn}的前n項和Tn滿足Tn=(n+5)an。

(1)求an;

解析：(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d,依題意知。

解得a1=d=1。因此,an=n。

(2)由(1)得an=n,所以Tn=n(n+5)。

當n≥2 時,Tn-Tn-1=n(n+5)-(n-1)(n+4)=2n+4;

當n=1時,b1=T1=6也滿足上式。

所以bn=2n+4(n∈N*)。

當n=1時,P1=,也滿足上式。

綜上可得Pn=。

例3已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2),求{an}的通項公式。

解析：因為an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2),所以an-1=a1+2a2+3a3+…+(n-2)·an-2(n≥3)。

兩式相減得an-an-1=(n-1)an-1,即=n(n≥3)。

因為a2=a1=1,所以an=n=。

又因為a1=1不適合上式,a2=1適合上式,所以an=。

三、合理選擇運算途徑

從多年高考對數(shù)列考查的趨勢看,兩類特殊數(shù)列基本量的計算、兩類特殊數(shù)列的定義與通項an的求法及數(shù)列求和方法等是考查的重點。同學們解題時只有合理選擇運算方法才能簡化運算過程(如,經(jīng)常要把作為整體代換)。

例4(2019年福建省高三畢業(yè)班質量檢查測卷文科第12 題)數(shù)列{an}中,a1=2,且an+an-1=+2(n≥2),則數(shù)列的前2 019項和為( )。

解析：由題意得=n+2(anan-1),即。

兩邊配方整理得(an-1)2-(an-1-1)2=n。

由累加法可得(an-1)2-(a1-1)2=2+3+…+n(n≥2)。因為(a1-1)2=1,所以(an-1)2=(n≥2)。

又a1=2 也滿足上式,所以(an-1)2=(n∈N*)。

點評：只要通過去分母、配方將條件中的遞推關系轉化為(an-1)2與(an-1-1)2間的關系,用“累加法”求出(an-1)2的表達式,再利用“裂項相消法”即可求解。

四、強化合情推理的訓練

數(shù)列是按一定次序排列的一列數(shù),這決定了數(shù)列解題中離不開規(guī)律性和技巧性的探究,故靈活應用合情推理方法解決數(shù)列問題就顯得尤為重要。

例5無窮數(shù)列{an}由k個不同的數(shù)組成,Sn為{an}的前n項和。若對任意n∈N*,Sn∈{2,3},則k的最大值為______。

解析：當n=1時,a1=2或a1=3。當n≥2時,若Sn=2,則Sn-1=2,于是an=0;若Sn=3,則Sn-1=3,于是an=0。從而存在k∈N*,當n≥k時,ak=0。其中數(shù)列{an}：2,1,-1,0,0,0,…,滿足條件,所以kmax=4。

點評：本題主要考查同學們的邏輯推理能力。從研究Sn與an的關系入手,推斷數(shù)列的構成特點,解題時應特別注意對“數(shù)列{an}由k個不同的數(shù)組成”和“k的最大值”的理解。

例6若a,b是函數(shù)f(x)=x2-px+q(p＞0,q＞0)的兩個不同的零點,且a,b,-2這三個數(shù)適當排序后可成等差數(shù)列,適當排序后也可成等比數(shù)列,則p+q的值等于_____。

解析：由韋達定理得a+b=p,a·b=q,則a＞0,b＞0。當a,b,-2適當排序后成等比數(shù)列時,-2必為等比中項,故a·b=q=4,b=。當適當排序后成等差數(shù)列時,-2必不是等差中項,當a是等差中項時,2a=-2,解得a=1,b=4;當是等差中項時,=a-2,解得a=4,b=1。

綜上所述,a+b=p=5,p+q=9。

點評：本題以零點為載體考查等比中項和等差中項等基礎知識,考查分類討論思想,也考查了邏輯推理能力。

五、關注數(shù)列的簡單應用

新定義題型是高考試題永不過時的創(chuàng)新題型,也是傳承高考試題革新的重要途徑和手段。在近幾年高考中以數(shù)列知識為背景滲透數(shù)學優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的題型經(jīng)常出現(xiàn),這類題以新課標教材內容為背景,給出某種新概念、新公式或新符號等,要求同學們在理解相關新概念、新公式或新符號之后,運用所學知識,結合已掌握的技能,通過推理、運算等尋求問題解決。

例7艾薩克·牛頓(1643 年1 月4日—1727年3月31日)英國皇家學會會長,英國著名物理學家,同時在數(shù)學上也有很多杰出的貢獻。牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)f(x)零點時給出一個數(shù)列{xn},滿足xn+1=,把該數(shù)列稱為牛頓數(shù)列。如果函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a＞0)有兩個零點1,2,數(shù)列{xn}為牛頓數(shù)列,設an=,已知a1=2,xn＞2,則數(shù)列{an}的通項公式an=______

解析：因為函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a＞0)有兩個零點1,2,所以：

又因為an=,且a1=2,所以an+1=2an,即數(shù)列{an}為等比數(shù)列,且{an}的通項公式an=2n。

點評：本題的難點在于得到xn+1=后如何繼續(xù)下去。需要對問題有整體性的理解與把握,與后面的an=建立聯(lián)系,即可想到要計算xn+1-2和xn+1-1的值,體現(xiàn)了綜合法與分析法的結合。