核心素養下提升高中生運算能力的幾個策略

■河南省長葛市第一高級中學

運算能力是當下高中生的六大核心素養之一,運算是一種演繹推理,運算求解能力是思維能力和運算技能的結合。在綜合情景中,能夠把試題轉化為運算問題,確定運算對象和運算法則,明確運算方向,構造運算程序,解決問題。運算的簡捷是指運算過程中所選擇的運算路徑短,運算步驟少,運算時間短,同時也體現在概念的靈活運用,公式的恰當選擇,數學思想方法的合理使用。

一、整體思想

整體思想就是從問題的整體出發,突出對問題的整體結構的分析和改造,發現問題的整體結構特征,進行有目的、有意識地整體處理。

例1已知△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,sinB=。

解析：先觀察代數式結構特點,然后利用對偶式解題。

因為sinB=,所以(sinB)2=3(sinA)2。

故(cosB)2=1-(sinB)2=1-3(sinA)2。

當且僅當B-A=時,原式取得最大值。

點評：利用整體思想,觀察代數式的整體結構,發現對偶式特征,從而簡潔明快地得到結果。

二、轉化與化歸思想

例2如圖1,已知橢圓=1(a＞b＞0)的離心率為,點M(0,)在橢圓C上,焦點為F1,F2,圓O的直徑為F1F2。

(1)求橢圓C及圓O的標準方程。

(2)設直線l與圓O相切于第一象限內的點P,且直線l與橢圓C交于A,B兩點。記△OAB的面積為S,證明：S＜。

解析：(1)由題意知,橢圓C的方程為=1(a＞b＞0)。

所以橢圓C的方程為=1。

因為焦點在x軸上,所以橢圓C的焦點為。

所以以F1F2為直徑的圓O的方程為x2+y2=6。

(2)由題意知,直線l與圓O相切于第一象限內的點P,設直線l的斜截式為y=kx+m(k＜0,m＞0)。

因為直線l與圓O相切,所以點O到直線l的距離為,即m2=6k2+6。

直線l與橢圓C相交于A,B兩點,由整理得：

設A(x1,y1),B(x2,y2),則：

故Δ=(8km)2-4×(1+4k2)(4m2-8)=16×(8k2-m2+2)。

又m2=6k2+6,故Δ=32(k2-2)＞0,k2＞2。

因為k＜0,所以k＜。

設1+4k2=t,則t＞9。

令u=,則0＜u＜。

則S△OAB=。

設h(u)=-27u2-6u+1=。

因h(u)在上單調遞減,故h(u)＜1。

因此,S△OAB＜。

點評：圓錐曲線中求三角形面積最大值時,往往要首先用函數表示出面積,然后轉化為求函數的最值問題。

例3已知拋物線C：y2=3x的焦點為F,斜率為的直線l與拋物線C的交點為A,B,與x軸的交點為P。

(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;

解析：設直線l：y=+t,A(x1,y1),B(x2,y2)。

設AB的中點M(x3,y3),由得到點P為線段BM的中點,故y3+y2=0。

則x1+x2=。

則x3=。

因為y3=+t=1,所以y2=-y3=-1,x2=,x1=3,y1=3。

故|AB|=。

三、設而不求思想

在點參數型的直線與圓錐曲線相交問題中,交點的橫、縱坐標與中點坐標有約束關系,所以交點的橫、縱坐標可以用其他坐標表示,通過整體約分達到簡化運算。圓錐曲線很多問題都遵循“設—列—解”的程序化運算,突出了解析幾何的設而不求特點。

例4(選修2-1課本第62頁)已知雙曲線x2-=1,過點P(1,1)能否作一條直線l,與雙曲線交于A、B兩點,且點P是線段AB的中點?

解析：設A,B兩點坐標為A(x1,y1),B(x2,y2),點P是線段AB的中點。

AB直線方程為y=2x-1,代入x2-=1得到2x2-4x+3=0。

則Δ=(-4)2-4×2×3=-8＜0,故不存在AB直線,使得點P為AB的中點。

點評：解決本題的關鍵是求斜率,若直接設斜率,首先要分類討論斜率存在與不存在兩種情況,然后與曲線方程聯立方程,根據韋達定理求解,因而運算量較大,可通過設而不求、邊化簡邊運算、數形結合等方法簡化運算。最后一定要檢驗直線是否存在,這一點同學們最易忽略。