放縮法在數列不等式中的應用

■浙江省杭州市塘棲中學

在數列與不等式綜合性問題中數列不等式的證明最為常見,這類問題既考查了數列知識,又考查了不等式的證明方法,集知識與能力于一題,這類問題一般與數列求和有關,具有一定的靈活性,難度較大。放縮法是破解這類問題最常用的方法之一,下面舉例說明。

一、先求和后放縮

例1正項數列{an}的前n項和Sn滿足：-(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0。

(1)求數列{an}的通項公式an;

(2)令bn=,數列{bn}的前n項和為Tn,證明：對于任意的n∈N*,都有Tn＜。

解析：(1)由-(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0,得[Sn-(n2+n)](Sn+1)=0。

由于{an}是正項數列,所以Sn＞0,Sn=n2+n。

當n=1時,a1=S1=2。

當n≥2時,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n。

綜上,數列{an}的通項公式為an=2n。

(2)由(1)知an=2n,故：

說明：本題中的數列{bn}的前n項和為Tn,結合式中結構,可用裂項相消法求和。當數列的前n項和可以求得時,一般先求和后放縮證明數列不等式,即求和后恰當放縮成欲證的不等式,這種放縮法在高考中最為常見。

二、先放縮再求和

例2已知各項均為正數的數列{an}的前n項和為Sn,且+an=2aSn。

證明：(1)在條件中,令n=1,得+a1=2S1=2a1。又a1＞0,故a1=1。

上述兩式相減整理得：

(an+1+an)(an+1-an-1)=0。

因an＞0,an+1+an＞0,故an+1-an=1。

所以,an=1+1×(n-1)=n,Sn=。

因此,Sn=。

(2)因為n＜＜n+1,所以。

綜上,于是原不等式獲證。

說明：本題巧妙地利用了進行放縮,從而使原問題輕松獲解。

例3已知an=2n-1(n∈N*),求證：。

說明：根據證明不等式的需要,有時需要舍去或添加一些項,使不等式一邊放大或縮小,利用不等式的傳遞性,達到證明的目的。