三類求橢圓與雙曲線離心率的題型

■甘肅省白銀市第一中學

離心率可以刻畫橢圓的扁平程度,也能刻畫雙曲線的開口大小,在圓錐曲線的學習中有很重要的作用。那么如何求解離心率呢? 我們從命題角度入手歸納出三類常考題型。

類型一 應用圖形幾何性質求離心率

例1橢圓=1(a＞b＞0)的兩個焦點是F1、F2,若以兩個焦點為頂點作正三角形,橢圓恰好平分正三角形的另兩條邊,則橢圓的離心率為______。

解析：(方法一)如圖1,因為△DF1F2為正三角形,N為DF2的中點,所以F1N⊥F2N。

因為|NF2|=|OF2|=c,所以|NF1|=。

由橢圓的定義可知|NF1|+|NF2|=2a,故+c=2a,e=。

(方法二)注意到焦點△NF1F2中,∠NF1F2=30°,∠NF2F1=60°,∠F1NF2=90°。

則由離心率的三角形式,可得：

反思：利用數形結合思想,挖掘幾何特征,可借助于a2=b2+c2,找到a與c的關系或求出a與c,代入求解。

例2雙曲線=1(a＞0,b＞0)的右焦點是F2,若過點F2且傾斜角為60°的直線l與雙曲線的右支有且只有一個交點,則雙曲線的離心率的范圍是______。

解析：由題意知。

則e=≥2。

故離心率e的取值范圍是[2,+∞)。

反思：(1)雙曲線的離心率與漸近線方程之間有著密切的聯系,可以借助進行互求。一般地,如果已知雙曲線離心率的值求漸近線方程,或者已知漸近線方程求離心率的值,都會有兩解(有焦點在x軸上和焦點在y軸上兩種情況),不能忘記分類討論。

(2)當直線與雙曲線有一個公共點時,利用數形結合思想得到已知直線與漸近線斜率的關系,得到的范圍,再利用e=得到離心率的取值范圍。

例3如圖2,雙曲線=1(a＞0,b＞0)的左右焦點分別是F1、F2,A和B是以O為圓心、|OF1|為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點,且△F2AB是等邊三角形,則雙曲線的離心率是______。

解析：連接AF1,在△F1AF2中利用雙曲線的定義可求解。

(方法一)如圖3,連接AF1,由△F2AB是等邊三角形,知∠AF2F1=30°。

易知△AF1F2為直角三角形,則|AF1|==c,|AF2|=。

(方法二)如圖3,連接AF1,易得∠F1AF2=90°,β=∠F1F2A=30°,α=∠F2F1A=60°。

于是離心率e=。

反思：涉及焦點三角形的題目往往利用圓錐曲線的定義求的值。

類型二 構建齊次方程或者不等式求解

例4已知橢圓=1(a＞b＞0)的兩個焦點是F1、F2,橢圓上總存在點P使得PF1⊥PF2,則橢圓的離心率的范圍為_______。

解析：由PF1⊥PF2,知△F1PF2是直角三角形,所以|OP|=c≥b,即c2≥a2-c2,a≤。

因為e=,0＜e＜1,所以≤e＜1。

反思：若橢圓中a,c的值不可求,則可根據條件建立a,b,c的關系式,借助于a2=b2+c2轉化為關于a,c的齊次方程或不等式,再將方程或不等式兩邊同除以a的最高次冪,得到關于e的方程或不等式,即可求得e的值或范圍。

例5已知雙曲線=1(a＞0,b＞0),若矩形ABCD的四個頂點在雙曲線上,AB,CD的中點為雙曲線的兩個焦點,且2|AB|=3|BC|,雙曲線的離心率的是______。

解析：如圖4,由題意知|AB|=,|BC|=2c。

又2|AB|=3|BC|,故2×=3×2c,即2b2=3ac,2(c2-a2)=3ac。

兩邊同除以a2并整理得：

2e2-3e-2=0,解得e=2。

反思：求圓錐曲線的離心率,就是求a和c的值或a和c的關系,然后根據離心率的定義求解。但在多數情況下,由于受到題目已知條件的限制,很難或不可能求出a和c的值,只能將條件整理成關于a和c的關系式,進而求得的值,其關鍵是善于利用定義以及圖形中的幾何關系來建立關于參數a,b,c的關系式,結合c2=a2+b2(或a2=c2+b2),化簡為參數a,c的關系式進行求解。

類型三 利用圓錐曲線的取值范圍求離心率的范圍

例6已知橢圓=1(a＞b＞0),F1,F2為其左右焦點,P為橢圓上一點,且=c2,則橢圓的離心率的范圍是_______。

解析：設P(x,y),則=(-c-x,-y)·(c-x,-y)=x2-c2+y2=c2。

將y2=,代入上式,整理得：

又x2∈[0,a2],所以2c2≤a2≤3c2,即。

反思：一是通過設點的坐標,利用圓錐曲線上點的坐標的范圍,轉化為離心率的取值范圍。二是利用焦半徑的范圍得到a與c的不等式從而求得離心率的范圍。

(1)橢圓焦半徑的取值范圍為[a-c,a+c]。(2)雙曲線的焦半徑：①點P與焦點F同側時,其取值范圍為[c-a,+∞);②點P與焦點F異側時,其取值范圍為[c+a,+∞)。