深究雞兔同籠中蘊含的數學思想，助力思維發展

陳彩琴

摘? 要：在教學過程中滲透數學思想方法，是新時代數學教育的歷史使命，也是有序發展學生數學思維和解決問題能力的重要抓手。在此，結合雞兔同籠問題的研究思考，簡要地闡述這類問題中所蘊含的各種數學思想方法，以及應用不同的思想方法對孩子們學習的影響。

關鍵詞：雞兔同籠;小學數學;數學思想;數學思維;解決問題

雞兔同籠問題是一個非常經典的問題，也是流傳極廣的問題。它最早記載于《孫子算經》之中，是一道圖文并茂的趣題，旨在讓學生掌握算法規律，促進學習思維的穩步發展。雞兔同籠問題在日本數學史話中也有類似的呈現，它就是龜鶴同池問題。結合數學史話的學習，筆者認為，雞兔同籠問題具有深遠的教育意義，尤其表現在它能夠運用不同的數學思想去分析、思考，從而能綜合性地培育學生的數學素養，促進學生更全面地發展。

一、運用數形結合，圖解更直觀

數形結合思想是一個重要的數學思想方法，它以形表數，能夠讓問題更直觀，更形象，也更具體;它以數顯形，能夠把隱晦的關系明朗化，也能夠把抽象內容的直觀化 [1]。為此，在雞兔同籠問題的教學中，教師就得用好數形結合這根拐杖，努力使復雜的、隱晦的數量關系直觀化，把抽象的數學問題情景化、形象化，從而助力學生的學習思考，造就快樂的數學學習，使得數學課堂教學充滿魅力，意蘊綿長。

1. 采用假設策略，為抽象做鋪墊

雞兔同籠問題通常采用的策略取決于學生的認知水平。如果是六年級的孩子，列表法是可行的，假設法是最直接的，設定一個未知數，列出方程，解一下方程就能輕松得到答案。

但是，如果引導一個二年級的孩子去思考這個問題，列方程解答肯定是行不通的，學生沒有知識積累，更沒有那份思維支持。有什么辦法也能讓二年級的小朋友學習解決雞兔同籠問題呢？

答案很顯然，那就是運用數形結合思想，把復雜的問題形象化、直觀化。可以引導學生用拼圖法去嘗試、去探索。用圓片代表雞兔的頭，用小棒代表雞兔的腳，再根據雞兔各自腿的條數特征去分析思考，從而實現學習視野的有效拓展，讓數學學習更有理性。

還可以采用畫圖的策略，也運用上面的假設方法，實現問題信息具體化、直觀化的目的。讓學生在真切的圖畫中感悟到雞兔同籠問題的本質，找尋解決問題的方式，最終實現學習的有效突破。

2. 引導爭辯質疑，為內化做準備

盡管我們能夠引導二年級的小朋友采用拼圖、畫圖方法，把問題中晦澀的關系具體化、形象化。但是要讓更多的孩子明晰算法，感悟規律的存在，教師就得在學生學習困頓處引發新一輪的學習爭議，從而使雞兔同籠的原理在質疑中更趨明朗化，其本質屬性也在爭辯中逐漸被抽離出來。

比如，學生解讀自己的拼圖：“我把籠子中的雞兔8個頭擺上8個圓片，然后再給他們安上腿，一條一條地安裝。”“不對！你這樣做會鬧笑話的，不會有3條腿的雞或者兔子的。”“是的！因為雞有2條腿，兔子有4條腿，所以給頭安上腿的時候不是一條腿一條腿地安裝的，而是先給8個頭下面都裝上2條腿。”“又不對了！二八十六，才16條腿，而題目中是26條腿，還有10條去哪里了啊？”“噢！我知道了，剩下的這10條腿，不能一條一條去裝，而是要兩條一塊兒裝，這樣它們就由原來的雞變成了兔子了。”

爭論讓雞兔同籠問題的實質變得愈加清晰了，逐步讓學生明白在拼圖、畫圖中安裝腿的原理，也讓學生在學習討論中逐步抽象出雞兔同籠問題的基本算法。孩子們的腦海中已有一個清晰的思路：因為雞是2條腿，兔子是4條腿，所以先給8個頭配上2條腿，多余的腿必定是兔子的，而要把多余的腿分配完，就得2條2條去安裝，這樣才能把雞轉化成兔子。

直觀的活動，既能促進學習思考的深入，又能讓學生更有興趣地參與到討論之中，同時，也讓學生在學習爭辯中更好地感知和理解假設法的原理，并在嘗試計算中更好地掌握對應的算理，實現問題的有效解決，從而讓學生體驗到學習成功的喜悅。

二、運用轉化策略，變身更直接

解決雞兔同籠問題，數形結合策略對于低年級小朋友來說是適合的，但是到了中高年級就顯得略為幼稚了。為此，在這個階段孩子的學習引導中，教師就得有機滲透轉化思想，采用變身策略，化難為易，助推學習的深入，加速思考的進程，從而幫助學生更好地提煉知識，抽象出概念，使問題得以解決。同時，也讓孩子們在學習中的認知獲得建構，核心素養得到發展。

1. 巧引入，激發探究興趣

教學之初，教師就利用多媒體教學輔助技術，動畫展播《孫子算經》中的原題，并寫出原題中的核心信息：籠子中裝有雞和兔，不知道各有多少只。從上面看有35個模糊的頭像，從籠子下面看隱隱約約有腿94條。你知道籠子里的雞和兔各有多少只嗎？

問題情境，旨在給學生一種信息，“這是一道千百年前的難題，今天我們一起來研究它、解決它”，從而激發他們內心的那份欲望，樹立解決問題的信心。同時，也讓學生感覺到，古題中數據偏大，畫圖、拼圖都難以完好地實施，這就需要用新的思路、新的策略去研究它，從而為孩子們努力探究、創新學習注入強有力的信念支撐。

2. 編兒歌，助推探究引入

針對古題數據大，難以找到突破口的特點，在實際教學中教師就得引導學生把復雜的問題簡單化，進而嘗試改編原題，使之更有利于學生進行實驗、探索等，從而打開學習研究的新局面，也為他們提煉規律、抽象概念提供智力支持。

比如，結合學生的生活實際采取編造兒歌的方式，讓古題變身成為一個新的探究點，使之成為樂學的情境。

“養殖場里真熱鬧，雞兔同籠喔喔叫，數數頭兒有8個，數數腿兒26條，試問雞兔各幾何？”將復雜的、生硬的古題，以兒歌的形式展現出來，使得問題更接近學生的生活場景，給學生一種熟悉的感觸。這樣的改編，能更有效地激發學生的學習興趣，提增探究的活性，讓孩子們的數學學習熱情滂湃，活力四射。

從上述教學實踐能夠看出，教師要善于解讀學生，精準把脈學生的知識現狀和生活實際，采取最為靈活的策略讓教學內容變變身，從而給學生最自然的感觸，也讓知識學習有那股更為熟悉的味道，讓他們的學習更有信心，也更有勁頭。

三、運用列舉策略，逐個更精細

數學模型化，是小學生研究問題集約化的典型標志，也是學生思維發展的根本表現。為此，在雞兔同籠問題的研究中，教師要有意識地強化學習引領，讓學生在問題研究中建構相應的思維模型、解決問題模型等，從而實現高效學習的目標 [2]。在雞兔同籠問題解決中，教師應重視對學生運用列舉策略去分析、比較等方面的指導，并以此為基礎幫助學生建構列舉策略的模型，促進孩子們數學學習的順利開展，也使得創新學習成為一種必然的結果。

1. 完成填表，促進思考

教學中，教師應緊扣兒歌內容，指導學生多讀、多分析，使問題的信息一目了然且基本爛熟于心。

此時，教師就得引導學生深究信息，找到隱藏的信息：1只雞有2條腿，1只兔子是4條腿。這個隱藏的信息，看似不起眼，但它在調整雞兔個數的過程中卻是最為關鍵的條件。

緊接著，指導學生抓牢8個頭去思考，聯想8 的組成，從而知道表格中雞的數量的可能性有9種，分別是0、1、2……7、8，并給雞配上合適數量的腳，從而找到最科學的答案，使得問題在列舉中順利突破。

當然，這個看似簡單的舉例子活動，卻隱藏著很多數學奧秘。比如雞兔列表中的分布規律要從0開始，到8結束，一個不漏，一個也不重復。這樣的學習活動，不僅能加速學習感悟的進程，還能促進學生有序思考能力的發展。

2. 探討交流，豐富思考

自主學習是孩子們數學學習的根本，但合作學習更是學習的制勝法寶。它能拓展學習的視野，使學習實現互惠互補。為此，在教學中教師不僅要重視自主學習的開展，更要重視合作學習的引導，讓學生在合作探討交流中實現成果共享，也促進思想碰撞，從而讓孩子們的感悟更深刻，理解更透徹，學習建構更有效。

如，在上述列舉學習后，教師就得引導學生展示學習成果。有的學生是從雞的數量為0開始的，有的學生則是從兔子的數量為0開始的。不同的聲音，會讓學生的學習視角得到拓展，讓他們真正做到一個不遺漏，一個不重復地列舉，使他們的數學學習更加智慧，也更有魅力。

總之，在小學數學教學中滲透數學思想方法是一項艱巨且長期的任務。所以在教學中，教師要審時度勢、因地制宜，科學地滲透各種數學思想方法，讓學生在學習中接受數學思想方法的熏陶，從而使他們的數學思維和解決問題的能力等穩健有序地持續發展。

參考文獻：

[1]? 中華人民共和國教育部. 全日制義務教育數學課程標準（2011版）[M]. 北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]? 華敏芳. 滲透數學思想方法，優化小學數學教學[J]. 數學教學通訊，2018（01）：60-61.