淺談小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的認(rèn)知升級

摘 要：針對當(dāng)前小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究中，存在只注重研究教師授課行為的片面現(xiàn)象，對學(xué)生個體的認(rèn)知心理、認(rèn)知規(guī)律缺少關(guān)注以及忽視選擇適合學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的方式設(shè)計(jì)教學(xué)等問題，本文從布魯納的認(rèn)知心理學(xué)教學(xué)理論出發(fā)，結(jié)合認(rèn)知心理學(xué)領(lǐng)域中羅迪格教授等結(jié)合腦神經(jīng)科學(xué)研究成果發(fā)現(xiàn)的關(guān)于人類普遍的學(xué)習(xí)規(guī)律，重新設(shè)計(jì)小學(xué)數(shù)學(xué)的教與學(xué)，對于目前的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中一些重點(diǎn)、難點(diǎn)問題研究以及提升小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)效性有著重要的意義。本文提出小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)注重數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)特點(diǎn)，從數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)出發(fā)，利用學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)以及認(rèn)知規(guī)律，對數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)進(jìn)行再解讀，再設(shè)計(jì)，以“除法豎式”的教學(xué)為例，指出可以從三個方面著手改變小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)，從而改善小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)效性，分別是熟練舊知識，擴(kuò)容記憶空間;化簡工作步驟，提升認(rèn)知效率;妙用符號工具，搭建思維腳手架。通過對學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)特點(diǎn)規(guī)律，數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)特點(diǎn)以及數(shù)學(xué)知識模型建立要素的分析，提出小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)再設(shè)計(jì)的行動策略。

關(guān)鍵詞：認(rèn)知心理學(xué);小學(xué);數(shù)學(xué)教學(xué)

教育是一門科學(xué)，然而目前大部分的小學(xué)教育研究中，對于教學(xué)方面的研究卻往往采用比較傳統(tǒng)的方式。人們常常在研究課堂教學(xué)時，更注重針對授課教師的授課行為進(jìn)行研究，而容易忽略了作為研究對象的學(xué)生學(xué)習(xí)行為的研究。課堂教學(xué)中的關(guān)鍵研究對象是學(xué)生，學(xué)生學(xué)習(xí)時大腦是如何運(yùn)作的？如何設(shè)計(jì)教學(xué)行為才能讓大腦有效運(yùn)作？20世紀(jì)50年代，布魯納認(rèn)知心理學(xué)的教學(xué)理論研究指出，充分運(yùn)用學(xué)生認(rèn)知的規(guī)律學(xué)習(xí)知識才能促進(jìn)兒童心智的發(fā)展。但是由于當(dāng)時的腦科學(xué)等研究限制，布魯納的理論缺乏有效的實(shí)驗(yàn)論證。如今，羅迪格教授等認(rèn)知心理學(xué)家以腦神經(jīng)科學(xué)研究成果為基礎(chǔ)，通過10年科研，發(fā)現(xiàn)了人類認(rèn)知規(guī)律與學(xué)習(xí)之間的緊密聯(lián)系，這將成為當(dāng)代教育研究重要的科學(xué)基礎(chǔ)。因此，利用當(dāng)代認(rèn)知心理學(xué)的研究成果，對教師的教學(xué)進(jìn)行有效設(shè)計(jì)，以達(dá)到對學(xué)生的學(xué)習(xí)行為進(jìn)行有效改善，也就成了教育研究的一個新課題。筆者以兩三位數(shù)除以一位數(shù)（首位能整除）的教學(xué)為例，談?wù)劺谜J(rèn)知心理學(xué)研究成果，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐應(yīng)用中的一些體會。

一、 熟練舊知識，擴(kuò)容記憶空間

《為什么學(xué)生不喜歡上學(xué)》一書中指出：“沒有人可以把新的概念灌輸給學(xué)生，任何新的概念都應(yīng)該建立在已有的知識基礎(chǔ)上。”以認(rèn)知心理學(xué)的研究成果為基礎(chǔ)的心智教育倡導(dǎo)：學(xué)習(xí)新知識要有牢固的前置知識作為認(rèn)知基礎(chǔ)。人們熟練掌握一個知識后，這個知識在腦子記憶中可以占最小的容量，從而將記憶容量的大部分位置用來學(xué)習(xí)新知識。所以，所學(xué)新知的必備基礎(chǔ)知識是什么，學(xué)生是否已經(jīng)熟練掌握，這對于后續(xù)的學(xué)習(xí)是否高效起到重要的作用。

學(xué)習(xí)筆算兩三位數(shù)除以一位數(shù)的知識，需要能熟練口算、筆算表內(nèi)除法這部分前置知識。而這部分知識中，筆算表內(nèi)除法是理解新內(nèi)容的關(guān)鍵。口算整十?dāng)?shù)除以一位數(shù)可以轉(zhuǎn)化為口算表內(nèi)除法，而表內(nèi)除法的口算在表內(nèi)除法的筆算過程中已經(jīng)內(nèi)化，所以，筆算表內(nèi)除法的計(jì)算過程是理解新內(nèi)容的關(guān)鍵。學(xué)生如果能熟練筆算表內(nèi)除法，一除二乘三減，這樣的計(jì)算知識就進(jìn)入學(xué)生的長期記憶，封裝起來，現(xiàn)在進(jìn)一步的學(xué)習(xí)研究，就可以將這一前置背景知識拿來就用。

由此可見，學(xué)習(xí)兩三位數(shù)除以一位數(shù)，對表內(nèi)除法的筆算知識的熟練程度至關(guān)重要。教師需要先對這一部分知識進(jìn)行復(fù)習(xí)，確保學(xué)生對表內(nèi)除法滾瓜爛熟。學(xué)生只有計(jì)算表內(nèi)除法輕車熟路，自動化，才能在自己的長期記憶空間減少位置存放這部分知識，從而有更大的空間接納新知。據(jù)此分析，教學(xué)46÷2這道例題時，先復(fù)習(xí)表內(nèi)除法口算，再復(fù)習(xí)筆算4÷2，6÷2，注重通過這兩道題的筆算過程的反饋過程中，小結(jié)出計(jì)算除法豎式的三步驟，一除二乘三減。

二、 化簡工作步驟，提升認(rèn)知效率

認(rèn)知心理學(xué)研究指出：學(xué)習(xí)新知識所需的工作步驟越少，大腦越容易吸收記憶。因此，教學(xué)新的數(shù)學(xué)知識時，要想辦法盡量減少搭建新知識需要的工作步驟。然而，一個數(shù)學(xué)知識的建模步驟并不是刻意隨意增減的。筆者從挖掘數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)入手，尋找化簡知識結(jié)構(gòu)的突破口。

斯根普數(shù)學(xué)教育研究指出：了解數(shù)學(xué)知識的由來，理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)即其內(nèi)含邏輯，學(xué)生才能對知識產(chǎn)生因果式學(xué)習(xí)，從而認(rèn)知中數(shù)學(xué)知識的建模過程才能圓滿的完成。人們通過研究豎式的發(fā)展歷史，發(fā)現(xiàn)豎式的本質(zhì)是過程性、普適性、簡便性。人們希望豎式能體現(xiàn)計(jì)算的順序及過程，計(jì)算方法能適用于一般的數(shù)，而且盡量使計(jì)算書寫或算法簡便。

例如：兩三位數(shù)除以一位數(shù)（首位能整除）的內(nèi)容是蘇教課三年級上冊第四單元的內(nèi)容，它以表內(nèi)除法知識為基礎(chǔ)，既是學(xué)習(xí)兩三位數(shù)除以一位數(shù)知識的起始，也是學(xué)習(xí)多位數(shù)除以多位數(shù)除法的基礎(chǔ)，這部分知識的理解和數(shù)學(xué)模型的建立對于后續(xù)學(xué)習(xí)的重要性不言而喻。由于除法表示的是“平均分”，而“平均分”的結(jié)果存在兩種情況：一種是正好分完，沒有剩余;另一種是：分到最后無法滿足平均分的要求，出現(xiàn)剩余。但無論有無剩余，都需要將平均分部分的總量（商乘除數(shù)）與被分的總量（被除數(shù)）進(jìn)行比較。這個“平均分”的過程，在計(jì)算多位數(shù)除以一位數(shù)時，每一個數(shù)位的除法計(jì)算中都要重復(fù)。因此，除法豎式雖然展現(xiàn)了被除數(shù)每個數(shù)位上的數(shù)除以除數(shù)的詳細(xì)計(jì)算過程，但是被除數(shù)數(shù)位越多，計(jì)算過程越繁瑣，步驟越冗長。當(dāng)然，也可以運(yùn)用口算的方法，但是口算的步驟也多，而豎式可以將每一步口算的過程納入整合。

以此來看，兩三位數(shù)除以一位數(shù)（首位能整除）的除法，以蘇教版三年級上冊這一課的例題為例，46÷2，豎式的計(jì)算過程是：

從計(jì)算的過程可以看出，十位上是筆算4÷2的過程，個位上是筆算6÷2的過程。基于學(xué)生對于表內(nèi)除法的熟練掌握，46÷2的計(jì)算過程可以簡化為十位4÷2和個位6÷2兩個部分的疊加，而4÷2和6÷2的豎式計(jì)算都是已知基礎(chǔ)知識。由此，相較于表內(nèi)除法的豎式計(jì)算，46÷2的豎式計(jì)算，只是多出了兩條計(jì)算規(guī)則：1. 從被除數(shù)的高位除起;2. 除到哪一位，商就寫在那一位上。而計(jì)算過程的書寫步驟即為4÷2和6÷2的計(jì)算過程的疊加，就像樂高玩具的層層疊加。由于學(xué)習(xí)新知前，學(xué)生已經(jīng)熟練了一位數(shù)除以一位數(shù)的口算方法及豎式的計(jì)算過程和書寫方式，因此，這樣的疊加對于學(xué)生來說，認(rèn)知難度低，易納入大腦的工作記憶。這樣梳理兩位數(shù)除以一位數(shù)的認(rèn)知程序，打通了新舊知識的聯(lián)系，以學(xué)生認(rèn)知中的舊知作為基石，搭建新知，學(xué)生學(xué)習(xí)新知所需的工作步驟大大減少。

三、 妙用符號工具，搭建思維腳手架

斯根普明確指出：就數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)知識而言，學(xué)生對知識的理解應(yīng)當(dāng)更多定位于“關(guān)系性理解”。關(guān)系性理解對于除法豎式而言，即是通過理解算法中所蘊(yùn)含的算理，進(jìn)而掌握由此而生的算法。只有理解了算法規(guī)則本身所具有的邏輯依據(jù)即算理，學(xué)生才會更容易記憶，更有益于在新問題中遷移，更有助于形成高質(zhì)量的知識結(jié)構(gòu)。由此可知除法豎式的教學(xué)中，算理算法的梳理聯(lián)結(jié)是建立除法豎式模型的理解關(guān)鍵。而認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，當(dāng)一個新知識的學(xué)習(xí)需要超過兩三步的邏輯思維時，容易造成大腦的記憶過量，此時需要提供方法為學(xué)生的記憶減負(fù)。為了給學(xué)生的抽象思維減負(fù)，筆者發(fā)現(xiàn)書寫數(shù)學(xué)語言記錄實(shí)物圖或?qū)嵨锊僮鬟^程，往往是引導(dǎo)學(xué)生思維由直觀轉(zhuǎn)為抽象數(shù)學(xué)語言的一個有效手段。

例如：理解46÷2的算理，教材中呈現(xiàn)的是用小棒4捆和6根小棒平均分成兩份的情境圖。三年級的學(xué)生已經(jīng)有豐富的平均分的經(jīng)驗(yàn)，對于算理的梳理，更為重要的是將平均分的操作經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)化的語言表達(dá)，故而在這部分的學(xué)習(xí)中，可以設(shè)計(jì)以下學(xué)習(xí)單：

用小棒圈一圈、連一連。

先以圖式呈現(xiàn)分小棒情境，通過學(xué)生動手連線分，感受分的步驟、過程，再轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)語言：除法算式。這樣，口算46÷2的數(shù)學(xué)表達(dá)就水到渠成了，豎式的算理也就有了依據(jù)。

如何由理到法？可以通過問題設(shè)置，層層遞進(jìn)，逐漸過渡：（1）口算46÷2的過程需要三道算式，有沒有一種式子，可以把這三道算式整合成一道？可以試試寫除法豎式。（2）為什么要算十位上的4÷2，能從學(xué)習(xí)單上找到證據(jù)嗎？（與口算過程對應(yīng)）得到的商該寫在哪？為什么要算個位6÷2？得到的商又該寫哪？（3）筆算46÷2與復(fù)習(xí)的筆算4÷2和6÷2的豎式相比，你發(fā)現(xiàn)了什么？豎式計(jì)算46÷2的方法是什么？

在豎式的教學(xué)中，教師應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生分析豎式每一步的算理，進(jìn)而梳理出豎式的算法，這樣由理得法，學(xué)生印象深刻，更能理解知識的深層結(jié)構(gòu)。除此之外，注重勾連豎式知識的前世今生，確保前世能正確熟練掌握，將今生化繁為簡，將知識的結(jié)構(gòu)剖析以符合學(xué)生學(xué)習(xí)心理的方式呈現(xiàn)，學(xué)生更容易接受數(shù)學(xué)知識，整個數(shù)學(xué)知識的教學(xué)也就富有實(shí)效。

從兩三位數(shù)除以一位數(shù)（首位能整除）一課的教學(xué)設(shè)計(jì)中，不難看出，教學(xué)設(shè)計(jì)運(yùn)用了認(rèn)知心理學(xué)的研究成果，從大腦認(rèn)知的有效方式入手設(shè)計(jì)，同時依據(jù)數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)解讀，讓數(shù)學(xué)課依然姓“數(shù)”，但是教學(xué)更便捷有效。而筆者分別運(yùn)用常規(guī)教學(xué)設(shè)計(jì)和運(yùn)用本文中利用認(rèn)知心理學(xué)理論的二次設(shè)計(jì)，在對照班和實(shí)驗(yàn)班中進(jìn)行教學(xué)過程、效果的比對，發(fā)現(xiàn)利用認(rèn)知心理學(xué)理論的二次設(shè)計(jì)，學(xué)生對于這部分知識接受更快，并且隨后的練習(xí)中錯誤率有較大幅度降低。認(rèn)知心理學(xué)理論為基礎(chǔ)的教育研究，為我們小學(xué)教育的研究開辟了一個新的方向。教學(xué)研究也是科學(xué)研究，科學(xué)的研究不僅要依靠多年來口耳相傳的經(jīng)驗(yàn)，更要有科學(xué)研究的方式方法。而利用認(rèn)知心理學(xué)的理論，我們可以不斷摸索學(xué)生學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)、易錯點(diǎn)，尋找更容易、有效的、學(xué)生更喜歡的學(xué)習(xí)方法，讓學(xué)生愛上數(shù)學(xué)，輕松學(xué)數(shù)學(xué)。

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作者簡介：馮平，一級教師，福建省寧德市，福建寧德師范學(xué)院第二附屬小學(xué)。