高中數學課時目標的定位與分析
——以“任意角、弧度”為例

(江蘇省張家港市外國語學校 215600)

文[1]認為數學教學目標可分為課程目標、單元目標和課時目標三個不同層次(其中課程目標是宏觀的，單元目標是具體的，課時目標是微觀的)，并指出課時目標存在缺乏個人思考、描述模糊籠統、行為主體錯位等不良現象，應該予以糾正．文[2]認為數學教學目標應該可控、可測、可操作，而不應該是模糊、籠統、不易操作的．文[3]認為高中代數的主線就是函數:指數函數與對數函數是單調性的典型代表，冪函數是奇偶性的典型代表，而三角函數是周期性的典型代表；各類函數的學習側重點不一樣，課時目標的制定要將其側重點凸現出來．文[4]認為“弧度制”教學應該注重概念生成，凸顯概念本質．本文擬以蘇教版必修4“任意角、弧度”為例，分析高中數學課時目標的定位、測控與操作，以提高課堂教學的針對性和有效性．不當之處，敬請各位同行指正．

1 課時教學目標的含義及制約因素

課時教學目標,是指通過該課課堂教學活動要求學生達成的學習結果．它的顯著特征是微小，是對課程目標的細化、對單元目標的分解．它是課堂教學的第一要素，統領整節課的全局，具有可控制性、可操作性和可預見性的特點．它是教學設計的起點和歸宿，對教學活動起著引領和約束作用．合理的課時教學目標是有效教學順利展開的保障．

課時教學目標的制約因素有：課標，教材和學情．首先，課程標準明確了學科性質、知識架構、課程目標、能力目標、情意目標，是教師實施教學的綱領性文件，也是課時教學目標的方向標．教師教什么、怎么教，學生通過學習應該達到怎樣的標準，都有明確的規定．因此，以課標為依據，保證了課時目標設計的準確性．

其次，在制定課時目標前先要精心研讀教材，要一字一句地讀，準確理解教材編寫者的意圖、遣詞造句的用意，關注文本特點，明確本節課所要學習的知識內容、達成的能力目標和情意目標，明確本節課在本單元甚至是整個知識體系中的位置，厘清它與前面知識的相互關系以及它對后續知識所起的作用．這樣，才能明確課堂教學結構，明確課堂教學流程，做到突出重點、分散難點、合理布局、掌控講與練的時機．因此，以教材為依據，保證了課時目標設計的兼顧性．

最后，在制定課時目標前必須要對學情有明確的認識，對學生已有的知識結構、生活經驗、學習能力、思維特點、興趣愛好等特質要了然于胸．只有了解了學生的已知是什么、能知多少、想知是什么、他們以為是怎么知的、本課的未知是什么，才能使課時目標設計更有明確的指向性，才能更好地選擇教學策略和設計教學活動，預測可能會碰到什么困難、會生成哪些資源．以學情為基礎，保證了課時目標設計的針對性．

2 課時目標案例分析

課例：任意角、弧度(蘇教版必修4三角函數第1、2課時)．

2.1 課程目標分析

任意角、弧度所在的“三角函數”的課程目標是：三角函數是描述周期函數的數學模型，也是一種基本初等函數，在數學和其他領域中具有重要作用;三角函數既是解決生產實際問題的工具，又是進一步學習其他知識的基礎．通過本章學習，能使學生認識到三角函數與實際生活緊密聯系，從中感受數學價值，學會用數學的眼光觀察世界、用數學的思維分析世界、用數學的語言表達世界、用數學的工具改造(服務)世界．增強學生的問題意識和數學應用意識，使學生在今后的學習和生活中碰到周期現象能用恰當的三角函數分析和解決問題．

2.2 單元目標分析

任意角、弧度所在的“三角函數”的單元目標是：

(1) 了解任意角的概念和弧度制，能進行角度弧度互化．

(2) 掌握任意角三角函數的定義，并能借助單位圓理解同角三角函數基本關系，能借助單位圓中的三角函數線推導出誘導公式．

(3) 了解三角函數的周期性，能畫出正弦、余弦、正切函數的圖象，并能研究其性質．

(4) 了解y=Asin(ωx+φ)的實際意義，理解各參數的變化對函數圖象的影響，能應用三角函數解決一些簡單的實際問題，體會三角函數是描述周期變化現象的重要數學模型．

落實本單元教學目標需要16課時，任意角、弧度是第1、第2課時，完成目標(1)．但目標(1)還是太寬泛，需要細分．任意角的單元目標可細分為：

(1) 理解任意角的概念，學會在平面內建立適當的坐標系來討論任意角．

(2) 能在0°～360°范圍內，找出一個與已知角終邊相同的角，并判定其為第幾象限角．

(3) 能寫出與任意已知角終邊相同的角的集合．

對以上單元目標，進一步的解讀為：目標(1)的關鍵詞是“理解、學會”，行為指向的目標均為任意角，理解的是它的概念，學會的是它的幾何表示．理解和學會均為內在心理動詞，刻畫的是信息內部加工的過程，有必要將它們改寫成外顯的行為動詞(如解釋、說明、分類、推測、比較、總結、抽象等)去探測內部心理活動過程．因此,能找到確切的例子來解釋說明任意角，能自然地找到坐標系來刻畫角的幾何意義．對于目標(2)(3)能解釋說明引入終邊相同角概念的必要性，能識別象限角、軸線角，能用集合語言表述上述概念．

弧度制的單元目標可細分為：

(1) 理解弧度的意義，能正確進行弧度與角度的互化，熟記特殊角的弧度數．

(2) 了解角的集合與實數集之間可以建立起一一對應關系．

(3) 掌握弧度制下的弧長公式，會利用弧度制解決某些簡單的實際問題．

對于上述單元目標，進一步的解讀為：目標(1)的關鍵詞是“理解、互化、熟記”，行為指向的目標是弧度制；理解的是弧度的意義，能清晰地認識到引入弧度的必要性，能認清弧度和角度的關系和換算方法，能熟記特殊角的弧度數——這一點實際上也告訴學生數學同樣需要記憶和背誦．數學其實也是一門語言，掌握它的語法規則除了理解，就是要強記了．

就像根式和分數指數冪之于指數函數、對數的概念以及其運算性質之于對數函數，任意角、弧度是三角函數的預備知識，學好這部分知識對三角函數的學習大有裨益．因此，讓學生學好這部分內容，其課時目標必須具體細致，指向明確．

2.3 教材內容分析

本章的所有內容都是圍繞三角函數這一核心展開的．是函數就要有定義域、對應法則和值域三要素，還可能要研究函數的各種性質，單調性(增減性)、奇偶性(對稱性)以及周期性(循環性)．但我們常規認識的角與函數的要求相去甚遠．為了迎合函數的要求，首先要對角進行改造，使它符合函數的各項要求．

本節課是三角函數的章節起始課，是三角函數的預備知識，是后繼三角函數的基礎和鋪墊．由于函數是建立在兩個非空實數集上的單值對應，而平常認識的角作為函數自變量有兩個致命缺陷：一是角的范圍狹窄．一般認識的角為0°～180°內的角，更狹義一點是0°～90°這個范圍，由于研究扇形的需要，擴充到了0°～360°，其中180°～360°的角理解成常規意義的角也很牽強．但實數是(-∞,+∞)上的連續數集，兩者的范圍嚴重不一致．二是角度進制與實數進制不同．角度是六十進制的，而實數是十進制的，兩者不能互容．另外，傳統意義上的角是靜止的，是不連續的、零散的，而實數是連續的、稠密的，可以用運動的觀點來刻畫實數，這其實也是傳統意義上角的又一個缺陷．因此，這兩節課的主要功能就是彌補這三個缺陷，讓角與實數一樣，取值范圍也能是從負無窮大到正無窮大的連續范圍，能作為函數的自變量而不別扭．為了達到這一目的，教材用旋轉來重新定義角，并且規定逆時針方向為正方向、順時針方向為負方向，不作轉動為零角．為了與平時認知的角不發生沖突，就借助坐標系這個工具，用終邊相同角來刻畫角的幾何意義(實數是用數軸來刻畫其幾何意義的)．為了能讓角也成為十進制的實數，所以引入圓中弧長和半徑的比例來刻畫角的大小．因為圓的一周與圓的半徑的比例是2π，所以2π=360°，這樣，角就是實數，實數也可以表示角．一切都那么合情、合法、合理．

2.4 學生情況分析

學生對三角函數是有一定認知基礎的．蘇科版初中階段對三角函數的認識是通過直角三角形獲得的．學生明白一個角的三角函數值就是一組比值，其中正弦值是對邊比斜邊、余弦值是鄰邊比斜邊、正切值是對邊比鄰邊，并熟記了特殊角的三角函數值．確切地說，初中所學的三角函數用三角比來定義可能更為貼切．

進入高中后，學生對函數有了更深刻的認識，通過集合語言來理解函數概念．學生知道研究函數首先研究函數三要素，尤其是定義域,其次要研究函數性質;將三要素和三性質都研究透后，一個函數就算研究完成．在學習三角函數之前學生已經學習了三個重要函數：指數函數、對數函數和冪函數,學生對函數的研究流程有所了解：先是預備知識，而后步入正題，最后是函數應用．

任意角實質是角的概念的推廣．對于概念的推廣，學生也有一定的認識．這種認識主要來自于數的推廣；數的推廣的主要動力來自于某些運算結果在原數集中沒有對應的數．推廣的主要目的是解決原來不能解決的問題，但推廣要注意必須涵蓋已有的內容，更不能與已有的有矛盾．角的概念的推廣也是解決原有的角概念不能描述周期這一新現象的問題，更是為了迎合函數定義域是個連續且無限的范圍的要求．

弧度制是角的一個全新概念．定義新概念的目的也是要解決原先不能解決的問題．由于進制不同，角的概念即使推廣后還是無法作為函數自變量融入函數定義域的大家庭，因此必須改變原有度量方式．一個對象、兩種度量方式，新定義的度量方式首先必須有必要，其次必須合乎情理，與已有知識沒有相悖的地方，而且兩種不同方式之間必須有相互轉化的規則．對于新定義概念，學生的最初認識就是根式和分數指數冪，也是一個對象、兩種不同的表現形式，而且也有互化的規則．

2.5 課時目標設計

基于以上分析，這兩節課的課時教學目標可以這樣設計：

任意角的課時目標設計：

(1)觀察與比較生活中的實例(體操中的轉體、跳水中的空中翻騰、鐘表的時針、自行車輪子、螺絲扳手、曲柄連桿等),從中認識到角概念推廣的必要性；用旋轉定義角的必然性，概括出任意角的基本模型及其基本特征，并能發現新定義的任意角與圓及圓周運動的相關性，能用坐標系來表示任意角的幾何意義．

(2)能清晰認識到在旋轉定義下，角的始邊放在x軸非負半軸的合理性、角的終邊重合的可能性，理解引入終邊相同角的必要性，能在0°～360°范圍內找出一個與已知角終邊相同的角，并判定為第幾象限角或哪條軸線角．

(3)能用集合語言來表述任意角的概念，能寫出與任意已知角終邊相同的角的集合．

(4)能找出與已知角關于原點、軸線對稱的角的終邊相同的角的集合．

弧度制的課時教學目標：

(1)理解角的大小與圓弧長和圓半徑本身的大小無關，而與它們的比例有關，并能認清π是個實數而不僅僅是個符號．理解弧度的意義，能找到溝通弧度與角度的橋梁，從而正確進行弧度與角度的互化，熟記特殊角的弧度數，會用弧度制書寫終邊相同角的集合，會用弧度制表示與已知角關于軸線、原點對稱的角的集合．

(2)了解角用弧度制表示的必要性，能在角的集合與實數集之間建立起一一對應關系，認清任意角的本源就是一個實數．

(3)掌握弧度制下的弧長公式，會利用弧度制解決某些簡單的實際問題(主要是與扇形有關的問題)．

2.6 課時目標設計的評析

(1) 目標依據的科學化

上述課時教學目標的設計綜合考慮了課程標準、教材表述、學生學情三個教學關鍵因素；在解讀清楚課程標準、分析清楚教材文本、定位清楚學生情況的基礎上進行詳細分解，將每個目標進一步細化，并明確用行為動詞描述目標，讓課時目標真正成為可控、可測、可操作、可完成的實在目標，使目標變得科學、合理和可行．

(2)目標指向的準確化

用動詞來描述課時教學目標使目標指向更明確，行動方向更準確．上述各條教學目標所用的動詞(觀察、比較、聯想、概括、抽象、體會、經歷、發現等)清楚地反映了學生通過學習后所呈現的行為反應，讓其內部心理過程全部暴露出來，便于教師清楚觀察、及時調控、及時修正教學偏差以及進行課堂教學效果的有效檢查和及時反饋．

(3)目標主體的明確化

傳統教學目標的行為主體是教師，立足于教師怎樣教，并不關注(或者很少關注)學生怎么學．上述課時教學目標的設計摒棄了傳統教學目標的主體錯位現象，每一條目標的陳述均立足于學生的學，站在學生的角度闡述學習應該經歷怎樣的過程、學習成功之后行為上會有怎樣的變化，對于教師的教只是兼顧而已．以學生為本的課堂是高效課堂的基本特征之一．當然，突出學生主體的同時，教師的主導作用也不能忽略．

(4)目標條件的清晰化

不管哪一堂數學課，一節課下來應該是讓學生“清清楚楚幾條線”，而不該是“模模糊糊一大片”．因此，上述課時教學目標的設計都遵循了從生活中的實際情境出發，抽象出圓模型來刻畫任意角，并借助坐標系來表示其幾何意義．為了滿足函數的各項要求，對任意角的度量作出了相應改變．這些都清晰地描述了學生在怎樣的情境下完成規定的學習活動．每一條目標都起到了導學、導教以及監控的作用．

(5)目標標準的素養化

數學核心素養著眼于學生當前的能力和今后的發展．課時教學目標闡述了學生的學習表現或學習結果應該達成的能力和水平．上述課時教學目標整合了多個維度的教學目標，各條目標都明確指向數學核心素養，讓學生在知識發生、發展的過程中提升自己的數學能力和思維品質，體會數學學習的快樂，真正把數學核心素養的培養落實到平時的每一節課．

3 結語

精準的課時教學目標設計是提高教學質量的先決條件．有了明確可行的目標，才能設置恰當的問題情境，調整教學方案，優化教學環節，制定合理的評價方案，改進各種教學不足，轉變我們的教學觀念和課程觀念，進而提高每節課的課堂教學效益．每一節課的教學質量提高了，那么整個教學質量也就水漲船高了．