尊重學生認知規律 突出幾何思維梯度
——范希爾幾何思維層次理論對“豐富的圖形世界”的教學啟示

(江蘇省太倉市沙溪第一中學 215421)

幾何歷來是初中數學學習的難點，也是學生兩極分化的起點．筆者近期參與了區域公開課的評審活動，參評的題目為七年級“豐富的圖形世界”．筆者發現，三位選手在處理這節可稱為是初中幾何第一課的課時，都存在對學生的認知層次定位不準、提出的問題高于學生認知水平的問題，設計了思維梯度跳躍的活動環節．因此，本文以范希爾(Van Hiele)幾何思維層次理論為依據，通過對這三節課教學設計的對比，來揭示范希爾幾何思維層次理論在幾何入門教學中的作用．

1 范希爾幾何思維層次理論

范希爾幾何思維層次理論符合中學生學習幾何的認知特點，在中學數學教育教學中具有重大的作用．20世紀50年代末，范希爾夫婦提出幾何思維發展水平的理論，認為學生的幾何思維發展可以劃分為五個水平：視覺層次(visual)、分析層次(analysis)、非形式演繹層次(informal deduction)、形式邏輯層次(formal deduction)以及嚴密性層次(rigor)．

根據范希爾幾何思維層次理論，我們將學生的幾何思維發展劃分為五個階段：①可視化階段，即學生能夠描摹和區分圖形，但還不知道圖形的性質和名稱；②分析階段，即能判斷圖形中的邊角性質，但無法理解性質內的關系；③非形式化推理階段，即能夠對幾何命題進行描述性的非演繹推理；④演繹推理階段，即能夠用幾何符號語言進行嚴格推理和邏輯證明；⑤精確嚴密階段，即學生能夠對幾何命題和推理過程進行整合、反思和拓展，形成知識體系．

另外，范希爾幾何思維層次理論還認為，這些不同的層級是不連續的，但是順次的．因此，我們在教學中還要設計一些“思維的危機(crisis of thinking)”，使學生從低一級認知水平跳躍到高一級認知水平，從而使學生的幾何學習能力得到提升．我們在進行幾何教學時，必須要考慮學生所處的思維水平，也就是說，如果教師的教學期望值過高于學生的思維水平，那么就不可能取得預期的教學效果．

2 本課例的教學背景

學生在小學已經認識了一些基本的立體圖形(球、圓柱、長方體、正方體等)，“豐富的圖形世界”要求學生在正確識別柱體和錐體、棱柱和棱錐的基礎上，能夠從各立體圖形的頂點、棱和面的結構特點上進行精確的判斷和精準的定義．

本節課的學習能夠使學生感受到幾何圖形和生活實際是息息相關的，并為后續立體圖形與平面圖形的轉化打好基礎，初步建立起空間觀念，發展幾何直觀．

3 三個教學設計的對比分析

本次評比活動中的三位教師都能夠從學生的最近發展區出發導入新課、激發興趣，能夠自覺地將范希爾幾何思維層次理論應用于課堂教學，但是在處理過程中還存在某些不足和值得商榷的地方．

3.1 J教師的教學設計

J教師基本上按如下的環節進行教學：情境引入→認識立體圖形→分類識別→點線面的關系→明確圓柱的構成→探究歐拉公式→明確圓錐的構成．

J教師首先出示了北京、上海等地的標志性建筑，讓學生從實物中找出幾何圖形；然后和學生一起對涉及的圖形進行分類，最終得到了柱體、錐體和球體這三種立體圖形，并對柱體和錐體進行了細分，得到了圓柱、棱柱和圓錐、棱錐．接著，教師引導學生從點線面關系的角度對上述幾何圖形進行了分析，得到了面面相交得線、線線相交得點，并以相關的圖片進行佐證.然后，教師通過gif動畫、幾何畫板演示等教學手段，引導學生得到點動成線、線動成面、面動成體的規律．在得到點、線、面關系之后，教師以棱柱為例，具體指明了各點、線、面的名稱和特點，要求學生通過點、線、面的關系來辨別棱柱．接著，教師讓學生數各個棱柱模型的頂點、棱和面，完成表格后引導學生猜想得到歐拉公式．最后，教師以棱錐為例，引導學生找出棱錐的頂點、棱和面．

3.2 T教師的教學設計

T教師設計的教學環節是：情境引入→認識立體圖形→點線面的關系→辨析棱錐與棱柱的關系→辨析圓柱與棱柱的關系→對立體圖形進行分類→探究歐拉公式→解決正方體表面上螞蟻路線最短問題．

T教師用承辦學校的校園圖片引入新課，讓學生從圖片中尋找立體圖形，并要求說出各立體圖形的名稱；然后，學生在教師的引導下將棱柱和棱錐按側棱數進行了細分；接著，教師借助PPT演示了點動成線、線動成面和面動成體的動畫，并引導學生反向思考線與線相交、面與面相交得到的圖形；然后從點、線、面的角度去研究棱柱與棱錐的區別、圓柱與棱柱的區別，并對常見的立體圖形進行分類；最后，學生在教師的引導下，通過完成表格來歸納歐拉公式，并就正方體表面上的螞蟻從一個頂點爬到另一個頂點的最短距離問題，探索了正方體的多種表面展開圖．

3.3 S教師的教學設計

S教師設計的教學環節是：情境引入→對立體圖形起名字→點線面的關系→認識棱柱的棱、面和頂點→認識棱錐的棱、面和頂點→對常見的立體圖形進行分類．

S教師先從金字塔等建筑圖片中引導學生找到立體圖形，并對找到的圖形進行命名；然后在教師的引導下，學生研究了點線面的關系，其間教師穿插了PPT制作的動畫演示；接著，教師分別以棱柱和棱錐為例，引導學生識別組成圖形的各個元素，還介紹了直棱柱與斜棱柱的區別和聯系；最后，師生一起對常見的立體圖形進行了分類．

縱觀三位教師的設計，有差異也有類似之處．例如，三位教師都是從生活實例出發，讓學生從生活場景中認識幾何圖形，這符合學生的認知規律，從這一環節學生的參與度可以看到，這樣的設計符合學生的認知層次，是有效的．在這之后三位教師的處理方式截然不同：J教師要求學生對立體圖形進行分類，T教師嘗試從點線面的關系對立體圖形的本質特征進行歸納，S教師要求學生給這些見過和沒見過的幾何圖形命名．很明顯，到了這個環節，學生的思維出現了較大的斷層，可以覺察到學生已經存在了分化．這種分化說明學生在幾何思維層次上并不都處于同一個水平，而我們需要找到學生目前的層次，通過設計問題和活動來促進其思維向更高層次發展．

4 基于范希爾理論改進的教學設計

課堂教學講究低起點、多臺階，要從學生的最近發展區入手搭建思維的腳手架，范希爾幾何思維層次理論正為我們提供了這樣的依據．

學生在小學六年的數學學習中，接觸最多的是運算，而對幾何圖形的接觸較少，且大都只是一些簡單的基本圖形，很少涉及對圖形性質的研究，更談不上幾何推理和證明．從范希爾幾何思維層次理論來看，剛升入初中的學生，其幾何思維層次基本處于可視化階段和分析階段之間，少數學生能夠達到非形式化推理階段．此時的學生能夠區分不同的圖形(例如小學已經學習的柱體、球等)，但還不知道圖形的命名規則和性質．因此，我們應該注意順應學生的認知規律和特點，在各個層級之間設計腳手架，構建循序漸進的學習環節，引導學生完成思維的發展．

4.1 層次1：直觀——感受幾何圖形

通過典型的建筑圖片和生活實例，引導學生從圖片中歸納和概括出幾何圖形，并能從提供的幾何模型中找到與圖片相對應的幾何圖形．在這個環節，要求學生將學過和沒學過的幾何圖形進行區分，為后續的教學提供思維的起點，不必強求學生都能夠說出各幾何圖形的名稱，尊重學生的認知規律．

4.2 層次2：分析——認識幾何圖形

對于小學已經學過的幾何圖形(如球體、柱體等)，要求學生能夠說出它們的區別與聯系．例如，學生知道球由曲面組成，圓柱由兩個平面和一個曲面組成，棱柱由若干個平面組成，即學生能夠正確區別球體、圓柱和棱柱，并能說明理由．學生還要能夠歸納出“柱體的兩個底面完全一樣”的規律．對于棱柱，學生要能夠歸納出面、棱和頂點的個數的規律，并能按此規律對棱柱進行命名．在這個過程中，學生通過實例了解面與面相交得線、線與線相交得點的道理．

通過對柱體的研究，歸納出初中幾何研究的主要方法，目的是運用類比來研究錐體，即學生能夠自主地探究圓錐與棱錐的區別，以及按面、棱和頂點個數的規律對棱錐進行命名．如此，學生的思維自然而然地得到了提升．

最后，設計將幾何圖形分類的教學環節，考查學生是否掌握對立體圖形進行命名的規則，并能形成常見立體圖形的知識結構框架．

4.3 層次3：說理——幾何圖形的再認識

根據范希爾幾何思維層次理論，這一層次的幾何思維特征還沒有到達嚴密的邏輯推理層面，學生能夠用非演繹的方式，通過對圖形特點的描述，或者借助數學實驗等輔助手段發現一些幾何性質．因此，本環節設計為幾何圖形的再認識，目的是引導學生感悟初中幾何學習的方法，即研究幾何圖形的邊、角的位置關系和數量關系等．例如，在棱柱的再認識環節，引導學生探究各側棱之間的關系、側棱和底面各棱的關系等，并通過幾何畫板的動態演示，了解直棱柱與斜棱柱的各邊、角關系的變化，以及棱柱與棱錐的本質關系(將棱柱的一個底面縮為一點)等．

本節課的教學目標并不需要學生達到范希爾幾何思維層次理論的層次4和層次5，因此本節課不必設計過難的幾何推理問題．

5 范希爾理論運用的反思

5.1 找準思維的起點

大衛·奧蘇貝爾(David Ausubel)曾說：“影響學生學習的唯一最重要的因素是學習者已經知道了什么，要先探明這一點，然后再進行相應的教學．”范希爾幾何思維層次理論恰恰是對學生的思維進行了合理分層，也告訴教師要了解學情、了解學生現有的思維層次、了解學生之間的差異性，從而設計更有針對性的問題、活動和更科學合理的方案以應對學生個性化的學習需求，幫助他們更好地學習數學、更好地發展幾何思維．

5.2 定位真實的學力

數學課程標準中指出：“數學教學是數學活動的教學，教師要從學生的經驗和已有的知識出發，創設生動的數學情境……”但是，受一些傳統觀念和分數至上觀念的影響，在教學中，教師常常因“應試學力”的成功而忽略了對學生“真實學力”的追求．學生的“真實學力”是一種“發展性的學力”，是在原有思維層次基礎上主動建構的學習過程．范希爾幾何思維層次理論定位學生從不會到會、從不能到能的轉化，實現知識獲得、技能形成、經驗積累、思想領悟和品格塑造，進而培養學生良好的學力．

總之，范希爾幾何思維層次理論的五個思維水平清楚地說明學生的不同學習階段、不同學習過程和不同學習方法的幾何思維差異，從而有效地幫助教師判斷學生所能達到的幾何思維層次，較容易地實現對學生思維發展質性影響的量化分析，為教學設計的針對性、有效性及個性化教學提供了理論支撐和實踐經驗．