滲透核心素養，巧解中考數學壓軸題

摘 要：良好的數學核心素養，體現在學生能綜合運用推理、抽象、分析等各種思維能力，活學活用數學知識，化解各類題型。而作為中考數學高分關鍵的“壓軸題”，對學生核心素養提出了更高的要求。筆者以2019年福建中考壓軸題為例，淺析其對核心素養的考察。

關鍵詞：核心素養;中考;壓軸題

數學核心素養是學生數學能力的深層次概括，不僅意味著學生能“活學”課堂知識，還能對其“活用”，通過綜合運用推理、抽象、分析等各種思維能力，快速化解各類題型。而作為中考數學高分關鍵的“壓軸題”，更是考驗學生核心素養的一道“大菜”。筆者以2019年福建省數學中考試題第24題的幾何壓軸題為例，談談其對學生數學核心素養的考查要求。

（2019年福建中考）如圖1，四邊形ABCD內接于⊙O，AB=AC，BD⊥AC，垂足為E，點F在BD的延長線上，且DF=DC，連接AF、CF。

（1）求證：∠BAC=2∠DAC;

（2）若AF=10，BC=45，求tan∠BAD的值。

分析：

1. 考查內容：圓的有關性質、等腰三角形的判定與性質，線段垂直平分線的判定與性質，解直角三角形、相似三角形判定與性質，三角形的等面積等初中幾何的許多方面，等腰三角形性質，特別是角的關系，在本題中發揮了相當關鍵的作用，所以我們老師在教學中復習等腰三角形的過程中一定要注意，不能讓學生對等腰三角形的認識就是看到等腰只能想到等邊對等角這樣的程度，應該從勾股定理，全等，相似，面積等各個層面充分發掘其性質，并且配合好的題目進行訓練，才能有效提高學生的幾何解題能力。

2. 解題思路：問題（1）在考查兩個角度的關系，但這兩個角不在同一個三角形，所以我們需要去尋找過渡的角，把這兩個角串起來。首先∠DAC根據同弧所對的圓周角相等轉化成∠CBF，然后不難發現：是直角三角形，是等腰三角形，而且這兩個三角形都包含∠ACB，假設∠ACB=，∠BAC=180°-2∠DAC=∠CBF=90°-，所以∠BAC=2∠DAC。

問題（2）求一個銳角三角形函數，那要在直角三角形中，沒有直角三角形，可以構造垂線段等手段構造直角三角形，或者通過等角轉換，轉化到能夠方便求三角函數的其他三角形當中去。本題是直接構造直角三角形，如圖2，作⊥AB交AB于點H，則tan∠BAD=DHAH，接下來只要把DH和AH的長度算出來就可以解決問題了，但我們無法找到這兩個線段和已知長度的線段之間的聯系，主要原因我們對這個圖形中的線段之間關系了解得太少。一般多數情況下，一道好的中考幾何壓軸題，第一問做出的結論或者方法應該能夠給第二問的解決提供幫助，于是我們就把目光放到題目中還沒用到的條件DF=DC，并結合問題（1）解題的過程，爭取對整個圖形的信息多了解一些，假設∠DAC，則∠CDA=∠BAC=2β。又因為DF=DC，所以∠CFD=∠CDF，所以CF=CB。題目又告訴我們BD⊥AC，根據等腰三角形的三線合一和垂直平行線的性質，可得AC=AB=AF=10。我們把線已知線段標上去，發現在RT和RT中，利用設元和勾股定理，可求得AE，CE，BE的長度。

設AE=a，則CE=10-a，102-a2=（45）2-（10-a）2，所以a=6，所以AE=6，CE=4，BE=8。再根據圓的內接四邊形典型反X相似模型，三角形相似的比例性質，可得DE=AE·CEBE=3。最后求DH長度，給出兩種方法，方法一利用等面積法，求出DH=BD·AEAB=335，再用勾股定理求出BH=445，AH=65，tan∠BAD=DHAH=112;方法二利用三角形函數，DH=BD·sin∠ABD=11×35=335，BH=BD·cos∠ABD=11×45=445，也可解得。

3. 考查思想方法：問題（1）通過直觀想象，設元，數學推理來解決;問題（2）這一難題通過直觀想象，數學運算，數學建模，數學推理，化歸與轉化思想、方程的思想，數形結合思想，設元法等數學思想方法得到了解決。

該題以圓的知識考察為基礎，融入了對等腰三角形、相似三角形、勾股定理、三角函數、垂直平分線、等面積等多個考點的測試;想要順利地拿到該題得分，要求考生擁有較為完備的數學核心能力，能巧用建模、轉化、方程、數形結合等思維概念。如果把數學核心素養比作一把利刃，那這類“燒腦題”就好比是磨刀石。因此初中教師必須充分利用數學課堂，引導學生真正消化和吸收數學知識，掌握數學技能，形成良好的核心素養，使他們在未來的學業里“披荊斬棘”，一往無前。

作者簡介：

黃小萍，中學一級，福建省泉州市，泉州市第一中學。