高職考試排列組合應用問題常見分類及解題技巧

石斌

【摘要】排列組合問題是高職數學的重要內容，也是難點之一，是進一步學習概率、統計的基礎，高職考試歷來是重點考查內容.由于解題方法獨特，思維抽象靈活，計算結果數值大、不易驗證，學生面對這類問題往往缺乏自信.如果能在解答中，分清不同類別，從而尋求一定的策略與方法技巧，將考試中常見問題歸納、類比為學生能熟悉并掌握的常見類型上，使問題迎刃而解.正確分類，是解決問題的有效途徑.本文主要對常見帶有限制條件的題目類型加以分析，有效提高學生解題能力.

【關鍵詞】高職考試，排列組合，分類，解題技巧

排列組合問題是高職數學的重要內容，也是難點之一，是進一步學習概率、統計的基礎，是高職考試歷來重點考查內容.由于解題方法獨特，思維抽象靈活，計算結果數值大、不易驗證，學生面對這類問題時往往缺乏自信.如果能在解答中分清不同類別，從而尋求一定的策略與方法技巧，將考試中常見問題歸納、類比為學生能熟悉并掌握的常見類型上，使問題迎刃而解.正確分類，是解決問題的有效途徑.

高職考試出現的題目常有相鄰不相鄰問題、球與盒問題、數字問題、互不相關問題、特殊元素特殊位置問題、分配問題、枚舉問題、間接法問題、至多至少問題等，本文主要對常見帶有限制條件的題目類型加以分析.

一、特殊元素、特殊位置分析法

方法：特殊則優先.將有特殊要求的元素或位置優先考慮，然后再考慮其他元素或位置.題目中有多個約束條件時，往往要考慮一個約束條件的同時還要兼顧其他條件.

例1 （2000年高職考題）5個人排成一列，甲必須站在排頭或排尾，乙不能站在排頭或排尾，有多少種不同排法？

本題中甲、乙都是特殊元素，要優先考慮.先考慮甲，只能排在首或尾兩個位置之一，為A12，再考慮乙，能排在除去甲的其他三個位置，為A13，最后考慮其他三個元素，都沒有限制了，就是A33.因此，本題結果是A12A13A33=36（種）.

例2 （2007年高職考題）由數1，2，3，4組成沒有重復數字的四位數，其中小于4 000的奇數有多少個？

本題中個位和千位是特殊位置，要優先考慮.是否是奇數由個位數字確定，只能從1，3中選擇一個，是A12，然后看千位不能是4，個位又已選走了一個數，因此，千位只能從余下的兩個數中選一個，是A12，最后再看百位和十位，都沒有限制了，可以一起考慮，從剩余的兩個數中（個位用去一個，千位用去一個）選兩個就行，是A22.因此，本題結果是A12A12A22=8（種）.

二、相鄰問題

方法：捆綁法，先捆后松.即要求相鄰的幾個元素捆成一個整體，與其他元素做全排列，然后再將這幾個要求相鄰的元素松開，相鄰元素自身再做全排列.

例3 （2008年高職考題）6名學生排成一排，甲、乙必須相鄰，有多少種不同排法？

先捆甲、乙為一體，和其余4人做5個人的全排列，為A55，再將甲、乙松開，甲、乙自身再排順序（仍能保證甲、乙相鄰），為A22.結果為A55A22=240（種）.

例4 7本不同的圖書排成一排放在書架上，要求甲、乙兩本書之間恰好間隔2本書，最多有多少種排法？

本題結合了特殊位置分析和相鄰問題.首先，甲、乙之間是特殊位置，要優先考慮，從其余5本書中選出2本放入甲、乙之間，為A25，然后使用捆綁法，將這4本書看成一體，同其他3本書排列，為A44，最后將甲乙松綁，為A22.因此，本題結果是A25A44A22=960（種）.

三、不相鄰問題

方法：

插空法：將沒有限制條件的元素先行排列，做樁子，再找出有幾個符合要求的空當，插入要求不相鄰的元素即可.

間接法：用總量減去相鄰的個數.

例5 要排一張有5個獨唱節目和3個合唱節目的節目表，如果合唱節目不排頭，并且任何兩個合唱節目不相鄰，有多少種不同排法？

5個獨唱節目沒有特殊要求，可以先排好做樁子，為A55，形成6個空當√1√1√1√1√1√，又因為合唱節目不能排頭，所以3個獨唱節目只能在另外5個空當中進行插空排列1√1√1√1√1√，為A35.因此，本題結果是A55A35=7 200（種）.

例6 馬路上有1，…，10號路燈，為節約用電，可以關掉其中3盞，保證安全，不能關相鄰的兩盞，兩端路燈也不能關，有多少種不同關燈方法？

有7盞不關的燈∟∟∟∟∟∟∟直接做固定樁（因為路燈固定不能移動，所以不需也不能移動），又因為兩端路燈不能關，所以只有中間的6個空∟√∟√∟√∟√∟√∟√∟，從這6個空中可以任選3個關燈（插空），一定滿足題目條件，因此，本題結果是C36=20（種）.

四、相鄰不相鄰綜合

方法：相鄰捆綁、不相鄰插空綜合使用.

例7 書架上原來排放著6本不同的書，現在要再插入另2本不同的書（插入的書可以放在最前也可以放在最后），求不同插法的總數？

解法1：（按相鄰與不相鄰分類）

（1）插入的兩本書不相鄰，由于原來6本書已放好，直接出現7個空當√∟√∟√∟√∟√∟√∟√，將2本書插入即可，是A27，

（2）還可以插入相鄰的2本書，則先捆，是A17，后松，是A22.

根據分類原理，本題結果是A27+A17A22=56（種）.

解法2：（按分步插空）

先插入1本，是A17，此時已放好了7本書，再插入1本，是A18，分兩步完成，應用分步原理，得到A17A18=56（種）.

例8 商品A，B，C，D，E在貨架排一列，A，B要排在一起，C，D不能排在一起，共有多少種不同排法？

先考慮A，B，由于A，B要排在一起，用相鄰捆綁法，先將A，B捆上，與E做排列，為A22，此時AB與E共有3個空當，√AB√E√，將要求不相鄰的C，D插入空當，即A23，最后再將AB松開，為A22.因此，本題結果是A22A23A22=24（種）.

五、至多至少問題

方法：題目中通常帶有“至多”“至少”“恰好”這些文字，用組合數、分類原理完成，也常使用間接法.是近幾年必考題目.

例9 （2002年高職考題）一小組中有男生2人，女生3人，從小組中選出三人參加勞動，要求這3人中至少有1人是男生，一共有多少種不同的選法？

方法1：條件要求選出的3人中至少有1人是男生，包括兩類情況：

（1）1男2女，為C12C23，（2）2男1女，為C22C13.所以本題結果是C12C23+C22C13=9（種）.

方法2：也可用間接法，不受限制時總數是C35，去掉不符合條件的，即都選女生而沒有男生的C33，所以本題結果是C35-C33=9（種）.

例10 （2010年高職考題）一名學生要從10門不同的課程中至少選取8門課程學習，一共有多少種不同的選法？

至少選取8門，包括3類情況：

（1）選8門，為C810，（2）選9門，為C910，（3）選10門，為C1010.運用分類原理，本題結果是C810+C910+C1010=56（種）.

本文歸納了高職考試中常見的帶有限制條件的幾種問題的解題分類與技巧，排列組合問題題目靈活、解法多樣，在解題中需要不斷積累、分析歸類，才能掌握更多更好的解題技巧，這條探索的路是永無止境的.

【參考文獻】

[1]高等職業院校升學指導編寫組.高等職業院校招生考試指導·數學[M].北京：首都師范大學出版社，2005：150-155.