基于模糊層次分析法和D數的決策方法研究

莫泓銘，徐建林

(1.四川民族學院 圖書館，四川 康定 626001；2.四川民族學院 人事處，四川 康定 626001)

決策在日常生活中無處不在[1]. 決策過程主要涉及決策目標、決策者和決策對象等，比較復雜. 決策者是指決策過程的參與者，由多位專家組成. 決策者根據具體的決策目標，從多角度評價決策對象，找出明確的決策目標，完成決策過程. 但決策者由于知識、經驗等主客觀因素的限制，有可能產生不同的評價結果. 同時，決策對象通常是多屬性的，不同屬性在決策過程中所扮演的角色或者說起到的作用是不同的，即權重信息不同. 如何對決策者、決策對象的屬性進行合理的權重分配及將決策信息有效融合一直以來都是決策方法研究領域的熱點話題之一.

近年來，針對決策方法中權重分配問題，專家們提出了許多有效的辦法，大致可以分為客觀權重分配法，如灰色度關聯法[2]、熵值法[3]、粗糙集法[4]；主觀權重分配法，如層次分析法(AHP)[5]、模糊層次分析法(FAHP)[6-7]、二項式系數法[8]等；還有一類是將主客觀權重分配方法按照某種運算規則合成，如基于離差平方和的集成法[9]等. 盡管權重分配方法眾多，但至今沒有一種普遍適用，都因其不同的原理與計算方式，適用于不同領域，并需結合實際采取不同的權重分配方法，提升決策的準確性與有效性.

層次分析法是20世紀70年代 Saaty教授提出的一種將定性與定量信息相結合的系統分析方法[10]，近年來被廣泛應用于污水處理技術優選[11]、教學評價[12]、產業戰略研究[13]等領域. 但存在諸多限制與不足，一是當矩陣的元素較多時，計算矩陣的最大特征根工作量大，檢驗判斷矩陣的一致性非常困難；二是當矩陣不一致時，需調整矩陣的元素，使其具有一致性，但可能需要反復調整、校驗多次才能滿足一致性要求；三是檢驗矩陣一致性的標準CR<0.1來源于經驗數據，缺乏必要的科學依據；四是當某一層次的評價指標多于4個時，判斷矩陣的一致性與人們的常規思維有顯著差距[14]. 基于此，模糊層次分析法[6-7]將模糊數學與層次分析法的優勢有機結合起來，采用三角模糊數取代精確評價，克服了層次分析法的上述限制和不足，簡化了決策過程，更加靈活可靠，結果更加科學、合理、貼近實際，并在生態脆弱性評價[15]、供應商可持續性評估[16]、高速公路路線優選[17]等領域得到了廣泛應用.

證據理論(Evidence theory)是Dempster于1967年提出[18]，由Shafer進一步推廣用于作為處理不確定信息的數學工具[19]. 與貝葉斯概率論相比，不需要先驗信息，并且將貝葉斯概率單子集的賦值空間推廣到冪集賦值空間. 由于其強大的不確定信息表達與處理能力，被廣泛應用于圖像融合[20]、故障診斷[21]等領域. 然而仍然存在諸多限制，如辨識框架上的元素之間必須兩兩互斥、信息必須完整，特別是著名的Zadeh悖論[22]，即“一票否決”制，進一步限制了其應用范圍等. 為此，D數理論應運而生[23]，基于證據理論框架，汲取其優點并克服不足，提供更為靈活的信息表達與處理方式. 目前已被廣泛應用于緊急決策研究[24]、環境影響評估[25]、災害評估[26]等領域.

目前，Deng等將AHP和D數的聚集屬性相結合，建立了D-AHP決策方法模型，并被應用于供應商選擇，取得了良好的效果[27]. 但鑒于AHP在權重分配方面的限制與不足，本文擬結合FAHP和D數，建立D-FAHP決策模型. 在該決策模型中，運用FAHP來獲取決策對象的屬性權重、決策者的決策權重等信息；決策者的評價信息采用D數的方式來表達，一方面可以使決策者更加切合實際做出相應的評價，另一方面D數的相關特性有利于信息的快速融合，簡化決策過程.

1 基礎知識

1.1 模糊層次分析法(FAHP)

圖1 三角模糊數

模糊層次分析法用三角模糊數的方式表達決策者的比較判斷信息.

定義1設論域R上的模糊集F，或稱三角模糊數F，可表示為(l，m，u)，如圖1所示. 則F的隸屬度函數μF：R→[0，1][28]表示為：

其中，l≤m，l≤u，l和u分別表示的下界和上界.u-l表示模糊集F的模糊程度，值越大，則模糊程度越高. 當該模糊數集F的隸屬度為1時，其值為m.

定義2假如有兩個模糊數F1=(l1，m1，u1)和F2=(l2，m2，u2)，其相關運算規則為

(2)

考慮到決策者的模糊與猶豫性，FAHP的兩兩比較矩陣采用三角模糊數F1、F3、F5、F7、F9來代替傳統的1、3、5、7、9等精準數據，用F2、F4、F6、F8表示中間數值(如表1所示).

表1 FAHP評價信息表

模糊層次分析法獲取權重的步驟如下：

第三步計算指標的綜合模糊值并歸一化. 即得到指標的初始權重為

(3)

其中，aij為矩陣中的元素，為模糊數形式.

第四步去模糊化，將矩陣中的模糊值轉化為常數值. 假設F1=(l1，m1，u1)和F2=(l2，m2，u2)是兩個三角模糊數，則F1>F2的可能度可定義為

(4)

那么，一個模糊數大于其他n-1個的可能度為

di=P(Fi≥F1，F2，…，Fj，…Fn)=minP(Fi≥Fn)，i，j=1,2,…,n，i≠j

(5)

其中，di代表第i個指標的初始權重. 將di歸一化，即得到指標的最終權重，即

(6)

wi代表第i個指標的初始權重.

1.2 D數理論

假設U是一個有限的非空集合，D數是一個映射，即D：U→[0，1]，滿足

(7)

其中，?是空集，A為集合U的任意子集. 與證據理論相比，在D數中，集合U中的元素不要求兩兩互斥，可以允許有交叉存在，如U={好，很好，一般，差，很差}，但彼此之間卻很難找到明確的界限. 同時，辨識框架可以不完整，即允許D數的映射之和小于等于1，而不必硬性要求等于1. 當小于1時，信息是不完整的；等于1時，信息是完整的. 基于D數理論，決策者可以根據實際情況，靈活地表達相應的評價信息，而不用考慮信息是否完備.

屬性1交換不變性假設D1={(d1，v1)，…(di，vi)，……(dn，vn)}和D2={(dn，vn)…(di，vi)…(d1，v1)}，其元素及對應的值完全一樣，只是順序不同，即順序無關的，那么D1和D2相等.

屬性2聚集性假設存在一個離散型D數，D={(d1，v1)…(di，vi)…(dn，vn)}，那么其聚集操作為

(8)

2 D-FAHP決策方法模型

本部分將建立D-FAHP決策方法模型，主要包括問題描述、權重信息(FAHP)、決策評價(D數)和信息融合(D數)等4部分(模型流程如圖2所示).

圖2 D-FAHP決策方法模型流程

問題描述 主要由決策組織者介紹決策問題的基本情況，含決策問題背景、決策對象、預期目標等，和如何合理選擇評估專家(決策者)進行評估決策.

權重信息(FAHP) 主要由3個階段構成. 首先，決策者群策群力等共同對決策對象進行層層分析，旨在確定其屬性集. 其次，各決策者根據自身知識能力水平、偏好等主客觀因素對屬性集的元素兩兩進行比較，比較結果即評價信息以三角模糊數的方式表示，并構建屬性指標權重信息評價矩陣. 最后，運用FAHP計算得到各屬性指標的權重值. 需要說明的是，各屬性指標有可能存在下一級指標，則重復上述步驟，進而得到各子屬性指標的最終權重值.

決策評價(D數) 首先由決策組織者向決策者提供一個公用語言評價標準集. 然后，決策者對各決策對象的各屬性進行評價，評價信息以D數的方式呈現. 最后，將評價信息進一步整理，構建基于決策者、決策對象及決策屬性的決策評估矩陣.

信息融合(D數) 首先提供一張語言評價信息量化表，旨在將相關的語言評價信息轉換成數值形式. 其次，基于D數的聚集屬性，結合決策評估矩陣引入決策對象的屬性權重信息. 再次，對各決策對象進行綜合評估，得到綜合評價信息. 最后，根據綜合評價信息對各決策對象進行排序，供決策組織者參考.

3 案例應用

圖3 汽車評估指標層次結構

某公司擬采購一批同型號的高級轎車，經初步調研，有同價位區間V1、V2、V3等三種品牌的某型號汽車滿足要求，進入候選. 為確保評估結果的客觀與公正性，公司邀請了資深汽車行業媒體人、具有二十余年駕齡的駕駛員以及大型汽車修理廠高級技工等三組專家(DM1、DM2、DM3)進行進行評估.

第一步確定屬性權重信息.

決策組討論并結合項目組織者需求，評估所涉及到的一級屬性指標主要由發動機、品牌溢價和駕乘感受等構成. 其中，發動機由反應能力、油耗、發動機聲音、加速效果等二級屬性指標衡量；品牌溢價由口碑、市場占有率、高科技配置、維修/保養成本等二級指標構成；駕乘感受可從減震效果、通過性、隔音效果等二級指標層面考量，如圖3所示.

本階段的主要任務在于確定各屬性指標的權重. 根據FAHP方法的流程步驟，組織三組決策者分別對相關屬性指標進行兩兩比較，并以三角模糊數的方式表示評價信息.

首先，三組決策者給出一級屬性指標比較評價矩陣(如表2所示).

表2 一級指標比較矩陣

由于涉及到三組決策者的評價信息，將其以算術平均的方式進行整合(見表3).

表3 一級指標權重信息評價矩陣

表4 一級指標(發動機)下屬二級指標權重信息評價矩陣

同理，三組決策者對二級指標的權重信息進行評估并整理(如表4-6所示).

表5 一級指標(品牌溢價)下屬二級指標權重信息評價矩陣

表6 一級指標權重信息評價矩陣

其次，根據式(2)和(3)計算一級指標的綜合模糊值并歸一化，即獲得一級指標的初始化權重.

∑E=(1,1,1)+(1,2,3)+(1/5,1/3,1)=(2.2, 3.3333, 5)；

∑B=(1/3,1/2,1)+(1,1,1)+(1/4,1/3,1/2)=(1.5833, 1.8333, 2.5)；

∑C=(1,3,5)+(2,3,4)+(1,1,1)=(4,7,10)；

∑E+∑B+∑C=(7.7833, 12.1667, 17.5)；

再次，將得到的一級指標的初始權重去模糊化得到

一級指標E相對于一級指標B、C更重要的可能度為

而指標B、C分別相對于其他一級指標更重要的可能度為

最后，將一級指標E、B、C的可能度歸一化，即得到一級指標E、B、C的權重為

將一級、二級指標權重整合，即得到二級指標的總權重，如表7所示：

表7 二級指標總權重

第二步決策評價.

決策組織者向決策組提供一個公用語言評價集，以便決策者在決策時采用. 本例采用五級制的公用語言評價集，即L={很好(E)，好(G)，一般(A)，將就(I)，差(P)}.

首先，決策組對在公用語言語言集框架下，以D數的方式對V1，V2，V3的各二級指標進行評價. 三組決策者的初步決策評估信息如表8-10所示.

表8 決策組DM1關于決策對象的評估決策矩陣

表9 決策組DM2關于決策對象的的評估決策矩陣

表10 決策組DM3關于決策對象的的評估決策矩陣

其次，采用語言評價信息量化表實現語言評價信息的數字化，如表11所示.

表11 語言評價信息量化表

再次，整理決策者評價信息表. 以決策組DM1關于決策對象V1的評價為例，據表8第2列可得

(9)

基于D數的聚集屬性，結合表11和公式(9)，決策組DM1針對決策對象V1的最終評價可表示為：

(10)

結合表7中各二級指標的權重信息，運用D數的聚集屬性，式(10)可簡化為：

(11)

同理，決策組關于決策對象V1，V2和V3的最終評價信息如表12所示.

表12 決策者評價信息

決策對象的綜合評價信息(如表12最后一列所示)，數值大小順序為10.7618>9.7847>9.6009，即汽車品牌的候選順序為V2>V1>V3，決策組應向決策組織者推薦采購V2汽車.

4 結語

汽車評估問題通過層次化建模的方式，將整體決策評估問題轉化為對決策對象的屬性評估. 基于FAHP法，構建汽車的一級指標兩兩評價矩陣，獲得一級指標權重，再運用遞歸方法，得到第二層指標權重. 決策者在對不同汽車進行評估時，采用D數表達其評價信息，結合語言量化表，運用D數的聚集屬性，最終得到各汽車的最終評價得分. 需要說明的是，傳統的AHP法無法處理應用于本例，因為對各屬性的權重評價模糊數不是對稱的，不能簡單取模糊數中值或將上下界值與中值的平均值來作為信息；即便模糊數是對稱的，也需考慮矩陣一致性校驗問題，如果不滿足校驗標準，也不能應用. 但可以將傳統AHP法中的值擴展成上下界及中值完全一樣的模糊數. 另外，雖然D數源于傳統的證據理論，但證據理論卻不能應用于本例，主要是因為存在信息不完整的情況，如表8中的第5行第2列.

本文將模糊層次分析法和D數理論相結合，構建了D-FAHP決策方法模型，實現了定量信息與定性信息的結合. 實例驗證表明該方法是科學有效的. 本決策模型充分利用了FAHP和D數的優點，將復雜問題層次化、條理化. 運用FAHP確定權重，基于三角模糊數的方式來表達評價信息，與層次分析法的精確值相比，更加靈活與人性化. 并且權重信息僅分配到決策對象屬性這一層面，可以進一步拓寬權重的分配范圍，例如可以為決策者分配不同的權重信息，以期使D-FAHP與實際情況結合得更加緊密. 由于D數具有允許信息不完整等特性，可以允許決策者少評價甚至不評價，不用考慮評價信息必須完整的約束，因而D-FAHP在信息的表達方面具有靈活性.