高中數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的學(xué)習(xí)研究

吳沛東 潘康林

【摘要】導(dǎo)數(shù)廣泛的應(yīng)用有助于高中生更好地掌握函數(shù)的形態(tài)等各方面知識(shí)，能夠?yàn)閷W(xué)生日后在高等數(shù)學(xué)中的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ).本文由導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的重要地位入手，通過(guò)對(duì)導(dǎo)數(shù)的概念教學(xué)、導(dǎo)數(shù)在解題過(guò)程中的應(yīng)用以及數(shù)學(xué)思想在導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用的探討，旨在探究幫助學(xué)生拓展思路、提高能力的有效方法.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)，導(dǎo)數(shù)問(wèn)題，學(xué)習(xí)研究，函數(shù)形態(tài)，數(shù)學(xué)思想

【基金項(xiàng)目】本文系：廣西教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2015年度C類(lèi)自籌經(jīng)費(fèi)一般課題“高中生在導(dǎo)數(shù)問(wèn)題解決中的學(xué)習(xí)研究——以廣西北海為例”（批準(zhǔn)文號(hào)：桂教科學(xué)【2015】11號(hào)，立項(xiàng)號(hào)：2015C114）的階段性成果.

現(xiàn)實(shí)教學(xué)中，很多學(xué)生都在私下跟教師反映導(dǎo)數(shù)太難學(xué)，感覺(jué)學(xué)不會(huì).導(dǎo)數(shù)不僅是高等數(shù)學(xué)和初等數(shù)學(xué)之間聯(lián)系的紐帶，而且在高中數(shù)學(xué)多個(gè)章節(jié)的內(nèi)容間建立了聯(lián)系，是許多重要知識(shí)的交匯點(diǎn)，也是學(xué)好高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要工具.因此，教師必須為學(xué)生解決“導(dǎo)數(shù)難學(xué)”的問(wèn)題.筆者結(jié)合自身在導(dǎo)數(shù)教學(xué)中的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，提出了以下幾點(diǎn)內(nèi)容，希望為廣大一線高中數(shù)學(xué)教師提供些許參考意見(jiàn).

一、導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的地位

（一）有助于學(xué)生理解函數(shù)性態(tài)

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中非常重要的組成部分，要學(xué)好函數(shù)知識(shí)，就要牢固掌握函數(shù)的形態(tài)，研究這些形態(tài)借助函數(shù)的圖像往往能夠起到事半功倍的效果.而導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)能夠幫助學(xué)生更好地繪制和分析函數(shù)圖像，對(duì)一些通過(guò)描點(diǎn)法、圖像變換規(guī)律難以做出的函數(shù)圖像，利用導(dǎo)數(shù)學(xué)生就能快速地判定函數(shù)的單調(diào)性，通過(guò)精確的函數(shù)極值點(diǎn)和最值點(diǎn)就能快速繪制函數(shù)圖像，為學(xué)生提供一個(gè)解決函數(shù)問(wèn)題的有效工具.

（二）有助于學(xué)生掌握函數(shù)思想

在解決復(fù)雜的函數(shù)問(wèn)題或是一些實(shí)際問(wèn)題時(shí)，往往會(huì)用數(shù)學(xué)建模的方法來(lái)分析問(wèn)題并建立函數(shù)關(guān)系，那么對(duì)所建立的函數(shù)關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)思想往往能夠有效快速地找到突破口.

（三）有助于學(xué)生解決切線問(wèn)題

高中教材上的導(dǎo)數(shù)知識(shí)是由“變化率”引入的，研究曲線的變化率是一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，而導(dǎo)數(shù)的幾何意義和曲線的變化率密切相關(guān)——f′（x0）正是曲線y=f（x）在點(diǎn)（x0，f（x0））處的切線斜率，這個(gè)知識(shí)點(diǎn)在高考中也是一個(gè)非常重要的考點(diǎn).

二、結(jié)合數(shù)學(xué)史進(jìn)行概念教學(xué)，幫助學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)概念

（一）引 入

現(xiàn)實(shí)世界中有許多運(yùn)動(dòng)、變化的過(guò)程，為了描述、研究這些過(guò)程，我們引入了函數(shù).在以往的學(xué)習(xí)中，我們大多時(shí)候都在探究靜態(tài)函數(shù)的形態(tài)，但動(dòng)態(tài)函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中也是非常重要的知識(shí)點(diǎn).那么我們?cè)撊绾窝芯縿?dòng)態(tài)函數(shù)呢？微積分的創(chuàng)立為函數(shù)的研究提供了非常有力的工具，它是牛頓和萊布尼茨站在巨人的肩膀上劃時(shí)代的偉大創(chuàng)造，是數(shù)學(xué)史上的里程碑，讓我們穿過(guò)歷史的長(zhǎng)河，來(lái)看看微積分是如何誕生的.

（二）情境創(chuàng)設(shè)

16世紀(jì)時(shí)，伽利略在比薩斜塔上做了轟動(dòng)一時(shí)的“自由落體實(shí)驗(yàn)”，發(fā)現(xiàn)了兩個(gè)不同質(zhì)量的鐵球是同時(shí)落地的，這個(gè)發(fā)現(xiàn)推翻了亞里士多德提出的“重量不同的物體落地速度不同”的理論，并在當(dāng)時(shí)引起了軒然大波，同時(shí)引發(fā)了大量科學(xué)家對(duì)速度問(wèn)題的思考和探究：自由落體運(yùn)動(dòng)明顯是變速運(yùn)動(dòng)，那么該如何求其在各個(gè)時(shí)刻的速度即瞬時(shí)速度呢？中國(guó)古代有祖沖之利用“割圓術(shù)”將圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后七位的故事，所謂“割圓術(shù)”，即是不斷增加圓的內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)，進(jìn)而近似求出圓的面積，古人認(rèn)為“天圓地方”正是因?yàn)槿藗兯幍牡赜蛎娣e相對(duì)整個(gè)地球面積小到可以忽略不計(jì)而產(chǎn)生“地是方的”的錯(cuò)誤認(rèn)知.因此，科學(xué)家們認(rèn)為，如果在極其短暫的瞬間，變速曲線運(yùn)動(dòng)也能夠近似看作勻速直線運(yùn)動(dòng)，所以只要所取的時(shí)間區(qū)間Δt非常非常小，并無(wú)限趨近于0，那么在這個(gè)時(shí)間區(qū)間內(nèi)物體的速度就可以看作是不變的.這個(gè)認(rèn)識(shí)是一個(gè)偉大的認(rèn)識(shí)，由此導(dǎo)致了微積分的誕生.

（三）引出導(dǎo)數(shù)概念

（三）構(gòu)造思想

構(gòu)造思想能夠?qū)⒁阎獥l件應(yīng)用到所求問(wèn)題中，使得問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一種更簡(jiǎn)單易解的新形式，簡(jiǎn)化解題過(guò)程.

例如，在問(wèn)題“已知函數(shù)f（x）=exlnx+2ex-1x（x>0），證明f（x）>1”中，直接去證明是非常困難的，此時(shí)觀察exlnx+2ex-1x>1這個(gè)式子，可以發(fā)現(xiàn)里面含有指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)，那么可以將指數(shù)函數(shù)放在一起，把對(duì)數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)放在一起，即構(gòu)造不等式xlnx>xe-x-2e，這樣只需去證明函數(shù)g（x）=xlnx是恒大于函數(shù)h（x）=xe-x-2e的即可.在利用構(gòu)造法轉(zhuǎn)化問(wèn)題之后，再利用導(dǎo)數(shù)在函數(shù)方面的應(yīng)用去分析g（x）和h（x）的函數(shù)關(guān)系，即通過(guò)g（x）的一階導(dǎo)g′（x）=1+lnx可得到g（x）在區(qū)間0，1e上單調(diào)遞減，在1e，+∞上單調(diào)遞增，因此，g（x）的最小值為f1e=-1e，同理可以求出函數(shù)h（x）的最大值為h（1）=-1e，所以，當(dāng)x>0時(shí)，f（x）>1.

總之，導(dǎo)數(shù)在高中階段占據(jù)著越來(lái)越重要的地位，教師必須高度重視學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)研究，精心備課，讓學(xué)生樂(lè)意將時(shí)間和精力用在其中，以不斷提高學(xué)生的數(shù)學(xué)水平.

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