建模意識(shí)：通向數(shù)學(xué)素養(yǎng)的內(nèi)設(shè)橋梁

陸佳鳳

摘? 要：學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程，本質(zhì)上就是學(xué)生從已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，經(jīng)歷將現(xiàn)實(shí)原型抽象、概括成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋應(yīng)用的過(guò)程。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生的模型準(zhǔn)備、模型建構(gòu)和模型應(yīng)用。數(shù)學(xué)建模意識(shí)，是通向?qū)W生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育的內(nèi)設(shè)橋梁。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);建模意識(shí);數(shù)學(xué)素養(yǎng);內(nèi)設(shè)橋梁

數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)教學(xué)有著相互制約、相互促進(jìn)的關(guān)系。從某種意義上來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)教學(xué)就是數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)教學(xué)，一切的數(shù)學(xué)原理、法則、定律等都可以看成廣義的數(shù)學(xué)模型。學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程，本質(zhì)上就是學(xué)生從已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，經(jīng)歷將現(xiàn)實(shí)原型抽象、概括成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋應(yīng)用的過(guò)程。正如東北師范大學(xué)史寧中先生所說(shuō)的：“學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)主要有抽象、推理和模型。”培育學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識(shí)，是走向?qū)W生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育的內(nèi)設(shè)橋梁。

一、模型準(zhǔn)備，喚醒學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)

數(shù)學(xué)建模，從整體上看就是數(shù)學(xué)化的過(guò)程。數(shù)學(xué)化，包括橫向數(shù)學(xué)化和縱向數(shù)學(xué)化。所謂“橫向數(shù)學(xué)化”，就是從生活原型到數(shù)學(xué)符號(hào)的提煉、抽象過(guò)程;所謂“縱向數(shù)學(xué)化”，就是數(shù)學(xué)符號(hào)的模塑、生成和被使用。站在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“最近發(fā)展區(qū)”，教師首先需要提供貼合學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的背景，激活學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)儲(chǔ)備，引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行“橫向數(shù)學(xué)化”。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生需要將生活語(yǔ)言轉(zhuǎn)譯為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)譯為數(shù)學(xué)符號(hào)。

站在學(xué)生數(shù)學(xué)建模的“最近發(fā)展區(qū)”，教師要豐富建模內(nèi)容，激發(fā)建模興趣，指導(dǎo)建模方法。數(shù)學(xué)建模的基點(diǎn)是學(xué)生，根源在于生活原型。比如教學(xué)“乘法分配律”（蘇教版四下），教師就可以通過(guò)學(xué)生在生活世界中的問(wèn)題入手，引導(dǎo)學(xué)生從生活事理出發(fā)，通過(guò)去粗取精、去偽存真的提煉、抽象，運(yùn)用數(shù)學(xué)不完全歸納方法，合情合理地進(jìn)行數(shù)學(xué)猜想、驗(yàn)證，從而助推學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。如“一種童裝，上衣每件80元，褲子每條40元，學(xué)校某個(gè)班級(jí)一共購(gòu)買了50套，一共需要多少元？”“一名工人裝置一種模具，上午能裝置20個(gè)，下午能裝置30個(gè)，一周裝置5天，一共能裝置多少個(gè)？”等等。在解決問(wèn)題時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出列式的根據(jù)，也即生活事理。比如針對(duì)第一個(gè)生活實(shí)際問(wèn)題，可以先算一套童裝多少元，再算50套童裝多少元;也可以先算50件上衣多少元，50條褲子多少元，再計(jì)算50套童裝多少元，等等。通過(guò)生活事理的闡釋，引導(dǎo)學(xué)生從生活事理向數(shù)學(xué)算理嬗變，從而引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)乘法分配律。

培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識(shí)，關(guān)鍵在于教師要選取貼合學(xué)生生活的典型事例，這些事例要具有代表性、適切性，從而便于引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)化處理，即從學(xué)生的生活原型過(guò)渡、提升到數(shù)學(xué)模型。如此，既有利于促進(jìn)學(xué)生對(duì)生活事理的內(nèi)涵、屬性的理解，也有助于向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)的符號(hào)意識(shí)、代數(shù)思想。

二、模型建構(gòu)，豐富學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)離不開學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)，同時(shí)數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)又有利于積累學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。在數(shù)學(xué)模型建構(gòu)過(guò)程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生充分活動(dòng)，讓學(xué)生在活動(dòng)中建立表象。在這個(gè)過(guò)程中，要充分運(yùn)用學(xué)生的已有活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，引發(fā)學(xué)生積極遷移，促發(fā)學(xué)生自由聯(lián)想，從而積極建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。作為教師，要為學(xué)生打造活動(dòng)平臺(tái)，賦予學(xué)生充分的活動(dòng)時(shí)空、條件，助推學(xué)生的數(shù)學(xué)建模。

比如教學(xué)“長(zhǎng)方形的面積”，筆者就給學(xué)生提供了邊長(zhǎng)為1平方厘米的小正方形，引導(dǎo)學(xué)生拼擺指定規(guī)格的長(zhǎng)方形。學(xué)生自覺地展開活動(dòng)，他們或兩個(gè)一組，或三個(gè)一組，展開小組合作學(xué)習(xí)，有的小組成員負(fù)責(zé)拼擺，有的小組成員負(fù)責(zé)記錄，有的小組成員負(fù)責(zé)計(jì)算個(gè)數(shù)，等等。通過(guò)數(shù)學(xué)活動(dòng)，形成關(guān)于長(zhǎng)方形面積模型的猜想。在拼擺的過(guò)程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)有些規(guī)格的長(zhǎng)方形用小組中的小正方形塑料片不夠拼，但還是能夠拼一行、一列的，也就是說(shuō)，材料是“缺斤少兩”的。為此，學(xué)生就自覺地運(yùn)用數(shù)學(xué)猜想解決實(shí)際的操作問(wèn)題，同時(shí)借用其他小組的小正方形塑料片來(lái)拼擺，從而進(jìn)行有效驗(yàn)證。通過(guò)數(shù)學(xué)猜想、驗(yàn)證等活動(dòng)，學(xué)生就能擺脫物質(zhì)化的拼擺操作，建構(gòu)數(shù)學(xué)化、符號(hào)化的模型。學(xué)生經(jīng)歷了猜想、驗(yàn)證的數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，不僅能積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，還能感受、體驗(yàn)到數(shù)學(xué)建模方法，形成數(shù)學(xué)建模意識(shí)。

小學(xué)生數(shù)學(xué)思維以具體形象思維為主，兼具直觀動(dòng)作思維，而數(shù)學(xué)模型是理性的、抽象的。因此，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，逐步抽象概括，就能建構(gòu)起清晰的、準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型。

三、模型應(yīng)用，激活學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)

通過(guò)數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)，學(xué)生積累了豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，這些經(jīng)驗(yàn)逐步內(nèi)化，從而成為學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重要組成部分，這就是學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)。在經(jīng)歷了模型準(zhǔn)備、模型建構(gòu)的過(guò)程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生的模型的解釋、表達(dá)與應(yīng)用。在模型應(yīng)用中，激活學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)。這個(gè)過(guò)程，就是對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行意義賦予的過(guò)程。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生能感受、體驗(yàn)到數(shù)學(xué)模型的意義。

比如教學(xué)“解決問(wèn)題的策略——間隔排列”（蘇教版三上），當(dāng)學(xué)生建構(gòu)了數(shù)學(xué)模型之后，筆者出示問(wèn)題，讓學(xué)生運(yùn)用所建構(gòu)的數(shù)學(xué)模型去解決實(shí)際問(wèn)題。只有引導(dǎo)學(xué)生將抽象的數(shù)學(xué)模型通過(guò)解釋、表達(dá)與應(yīng)用，才能彰顯出數(shù)學(xué)模型的價(jià)值。通過(guò)模型的應(yīng)用，學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識(shí)能潛移默化地得到增強(qiáng)。比如“一串珠子一共有40顆，首端為黑色珠子，按照一一間隔的順序排列，末端為紅色珠子，一共有多少個(gè)黑珠子、有多少個(gè)紅珠子？”“一串珠子一共有40顆，首端為黑色珠子，按照一一間隔的順序排列，末端為黑色珠子，一共有多少個(gè)黑珠子、有多少個(gè)紅珠子？”“一串環(huán)形的珠子一共有40顆，按照黑珠子、紅珠子一一間隔順序排列，一共有多少個(gè)黑珠子、有多少個(gè)紅珠子？”等等。這樣的“一題多變”“一題多問(wèn)”，能讓學(xué)生明晰各種形式的間隔排列問(wèn)題。在模型的變式運(yùn)用之中，學(xué)生能體會(huì)到數(shù)學(xué)模型的本質(zhì)。

如果說(shuō)，從生活原型到數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)是數(shù)學(xué)化的過(guò)程，那么，從數(shù)學(xué)模型到生活原型就是生活化的過(guò)程。這兩個(gè)過(guò)程在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中是相輔相成、相得益彰的。從一類問(wèn)題拓展到另一類問(wèn)題，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型的理解更本質(zhì)、更全面、更深刻。從數(shù)學(xué)模型到現(xiàn)實(shí)原型，學(xué)生更能感受、體驗(yàn)到數(shù)學(xué)模型的功能、魅力。

培養(yǎng)學(xué)生的建模意識(shí)，就是要讓學(xué)生經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)建模過(guò)程。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生不僅經(jīng)歷了完整的行為操作，而且經(jīng)歷了充分的思維活動(dòng)過(guò)程。他們不斷地猜測(cè)、不斷地驗(yàn)證、不斷地探究，從而不斷地對(duì)模型進(jìn)行豐富、完善。培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模意識(shí)，不僅是為了獲得數(shù)學(xué)模型，更是要助推學(xué)生數(shù)學(xué)地把握、數(shù)學(xué)地處理現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，形成數(shù)學(xué)化處理問(wèn)題的觀念、習(xí)慣，這是真正的數(shù)學(xué)建模意識(shí)，也是數(shù)學(xué)建模教學(xué)的最高境界。