畫圖 轉化 討論

何華萍

[摘? 要] 動點問題具有復合性的特點，涵蓋多個知識點，在思維方面對學生的要求較高. 引導畫圖、動靜轉化、分類討論的策略，能讓學生找準解題“突破口”，切準解題“關鍵點”，提升解題“全面性”，從而高效地解決“動點問題”.

[關鍵詞] 初中數學;動點問題;解題指導

動點問題對于初中生而言，具有一定的難度. 該問題一方面考查了圖形變換中的知識點，另一方面涵蓋了三角函數等知識，題型較為復雜，因此大部分學生不能完整地進行解答. 教師應當結合學生的實際學習情況，對學生進行針對性的指導，排除學生解答過程中出現的問題，幫助學生在掌握相關知識的同時，鍛煉學生的解題能力. 動點問題具有復合性的特點，涵蓋了多方面的知識，在思維方面對學生的要求較高，所以教師在課堂上應當為學生制定與其學習水平及理解能力相適應的指導，幫助學生攻克這一難關.

引導畫圖——找準解題“突

破口”

初中數學中的動點問題均以幾何問題為基礎，因此面對這類問題時，應先將其化為幾何問題，降低題目難度，并根據題目條件畫出相應的幾何圖形，再以該圖形為基礎，有條理地想象動點的運動過程及圖形發生的變化，同時將相應的變化反映到圖形中. 這一過程鍛煉了學生的理解能力及思維能力. 教師應當注重對學生思維能力的培養，引導學生養成良好的解題習慣，通過不同的練習鍛煉學生的畫圖能力、抽象思維能力等，幫助學生有效地提升解題能力，使學生在解題時可以在較短的時間內找到突破口.

例如，有這樣一道題：“已知△ABC的三個頂點A，B，C均在同一個圓的圓周上，BC是該圓的直徑，A為動點，且在圓周上運動. 當點A運動到什么位置時，該三角形為等腰三角形？同時求出△ABC的面積隨著點A的運動而呈現的變化規律. ”對于這道題的解題指導，教師首先要讓學生以題目條件為基礎作圖，并引導學生探索點A的運動情況——當點A在哪些位置時存在特殊情況，并根據上述情況探求三角形面積存在的規律，同時在圖形中做出相應的變化，讓學生直觀地感受到隨著動點的運動而帶來的變化. 這樣做，一方面能細化學生的解題過程;另一方面，能提升學生的實踐動手操作能力.

引導學生畫圖，能讓學生有效地對“動點問題”進行正確審題，把抽象的“動點問題”形象化，這樣自然能讓他們快速地找到解決此類問題的突破口.

動靜轉化——切準解題“關

鍵點”

“動點問題”的特點是靜中有動、動中有靜，因此，解決動點問題時，要引導學生通過動靜結合的策略切準解題的關鍵點，以此達到高效解題之效.

1. 在動中尋靜，找到特殊點

動點問題區別于其他問題的最大特點為“動”，在平面的基礎上增添了變量，因此學生要隨著動點的變化在腦海中構建相應的思路，這一步對學生而言存在較高的難度. 初中數學中的許多幾何問題處于平面靜態維度，思考方式并不復雜，動點問題同樣以幾何為基礎，因此解決這類問題時應當參照普通幾何問題以靜制動，將不可控的動點問題轉化為可以進行直接思考的靜態問題. 教師要引導學生根據題目條件，在動點的變化中找到某一特殊位置，將看似復雜的動點問題轉化成學生更容易理解的普通問題，引導學生在練習中提升解決問題的能力.

例如，有這樣一道題：“在正方形ABCD中，E是BC邊上的一個動點，∠AEF是直角，正方形ABCD的外角∠DCG的平分線CF與EF交于點F，證明：AE=EF. ” 對于這道題，教師要引導學生先根據題意畫出圖形，并問學生：要如何證明無論E運動到哪一個位置，AE都與EF相等？學生結合過去所學的知識，想通過全等三角形的知識來證明，卻因為E是一個動點，不能直接將其所在的線段作為解題條件而不知所措. 此時，教師要引導學生思考“當E運動到哪一個特殊位置時，會出現能夠證明三角形全等的條件”. 學生收到提示后，很快便發現，當點E在BC的中點時，該動點將成為“靜點”. 并可以進一步對該問題進行解答：在AB上截取BM=BE，連接EM，證明△AEM≌△EFC，由此得到AE=EF.

可見，動中尋靜的策略能讓學生掌握解題思路，能幫助學生面對此類問題時可以切準解題的關鍵點，從而正確、快速地解題.

2. 在以靜制動中找到變量點

將動點問題化為靜態問題后，需要運用函數的圖像體現動點的運動變化，并探究該函數所具有的內涵，以圖形存在的變量為基礎，構建與之相對應的函數關系，運用動態的目光觀察相關變量的聯系，以此破解該類問題.

例如，有這樣一道題：“有一只螞蟻在扇形OAB（O為扇形所在圓的圓心）中從點O處開始，沿著整個扇形外沿移動，將螞蟻的爬行時間設為t，螞蟻與出發點的距離設為s，求s關于t的函數圖像. ”在這道題中，當螞蟻從點O運動到點A時，螞蟻與原點O的距離s越來越大;當螞蟻從點A運動到點B時，螞蟻與原點O的距離s并未發生變化;當螞蟻從點B運動到點O時，螞蟻與原點O的距離s越來越小.

從上述問題的分析過程中我們可以總結出相關規律，可以讓學生將其應用到其他相似的題型之中. 如：在邊長為4厘米的正方形ABCD中，P為動點，點P以每秒2厘米的速度從點A出發，沿A→B→C→D的方向，在正方形上運動，最終到達點D. 設點P運動了t秒時，△APD的面積為S，求S的變化規律.

3. 在動靜互換中找到隱含點

當遇到求最值或特殊幾何圖形的動點問題時，動點一般來說都存在特殊位置形成的特殊的數量關系或圖形當中. 所以解決此類動點問題，需要動靜相互轉換，這主要體現在要重點抓住圖形變化時隱含的靜止情況. 分析這一情況，能夠將一般的問題特殊化，進而幫助學生理清動和靜的內在關系. 除此之外，一些動點問題還可以利用理論逆推的方法來解決——理論逆推能夠有效地找到結論成立的條件，進而快速解決問題. 因此，解決動點問題時，要注重抓住動點運動的特殊位置，以掌握好其運動規律.

例如，有這樣一道題：“在邊長為2厘米的正方形ABCD中，對角線AC上有一動點P，BC的中點為Q，連接PQ與PB，在怎樣的情況下，△PBQ的周長最小？”在△PBQ中，因為P為動點，因此PQ與PB的長度不確定. B，Q位于AC的同側，所以可以以AC為對稱軸，作點Q的對稱點H（H與CD的中點重合），然后連接BH與AC交于點P，此時的點P就是滿足條件的位置. 可以得到PQ=PH，所以PQ+PB=PH+PB≥BH. 所以△PBQ的最小周長為BH+BQ的長.

在解決上述問題的過程中，也可以求出下面問題的具體答案：“如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=4■，另有一等腰梯形DEFG（GF∥DE）的底邊DE與BC重合，兩腰分別落在AB，AC上，且G，F分別是AB，AC的中點. 固定△ABC，將等腰梯形DEFG以每秒1個單位長度的速度沿BC方向運動（如圖2），直到點D與點C重合時停止. 設運動時間為x秒，運動后的等腰梯形為D′E′F′G′，在運動過程中，四邊形BD′G′G能否是菱形？若能，請求出此時x的值;若不能，請說明理由.”

可見，在解題的過程中，有效利用動靜互換的方式，可以較好地對初中數學中的動點問題進行解決.

分類討論——提升解題“全

面性”

分類討論是初中生在數學學習過程中經常用到的數學思想方法，這一數學思想方法在動點問題中同樣重要，其原因在于動點運動到不同位置時，呈現出來的圖形不一樣，所以存在多種情況，需要分類討論. 如動點運動到某個位置時，形成直角三角形，學生將分類討論動點運動到哪些位置時出現直角. 大部分學生可以很快地想到一種解決方案，便專注地將這一思路寫得盡善盡美，從而忽視了其他情況的存在. 因此，教師在課堂上應當潛移默化地讓學生養成分類討論的習慣，從而提升學生解題的完整度.

例如，有這樣一道題：“在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，DC=5，AB=4■，∠B=45°. M與N為動點，M從點B出發向點C勻速運動，運動速度為每秒2個單位長度;N從點C出發向點D勻速運動，運動速度為每秒1個單位長度. M，N同時運動，假設運動了t秒，那么當t為多少時，△MNC是等腰三角形？”對于這道題，單純地從圖形出發，可以看出MC與MN較為相似，可能距離相等，因此大部分學生會將MC與MN作為等腰三角形中兩條相等的邊. 教學中，教師可以利用電子白板演示動點在圖形中的運動路徑，并隨著動點的運動形成三種類型，引導學生對此展開討論. 同時著重提醒學生在面對動點問題時，應盡量做多種方案的假設，力求得到最詳盡的答案.

綜上所述，“動點問題”是初中數學中的重點問題，也是難點問題. 教學中，教師要基于學生的實際學習情況，找到最佳解決方法，讓學生可以有效地解決“動點問題”. 學生通過這一過程，可以學會如何解決重點問題，從而提升解決問題的信心，獲得更多直面中考的勇氣和能力.