考查基礎知識 發展核心素養

范家琪

[摘? 要] 函數是研究現實世界變化規律的重要模型，一直是初中數學學習的重要內容，而函數表達式的求解是中考最為常見的考點之一. 文章結合2019年杭州中考數學卷第15題的問題設計、學生的答題情況及失分原因，對函數相關內容的教學進行思考.

[關鍵詞] 中考試題;函數;抽象;建模

試題呈現

試題？搖 （2019杭州中考第15題）某函數滿足當自變量x=1時，函數值y=0;當自變量x=0時，函數值y=1. 寫出一個滿足條件的函數表達式：______.

試題辨析

1. 就題論題

本題考查的知識點是函數的表達式，掌握程度要求為“B理解·體驗”. 考查知識點比較單一，問題設置也比較直白，作為第15題，難度偏易. 但近幾年中考整體難度呈下降趨勢，且2018年中考填空題難度設置也較低，因此本題的安排算是意料之外、情理之中.

2. 價值探析

本題粗看難度不大，但依然凸顯了對學生數學核心素養的考查.

題面簡約，指向明確，簡潔的字眼直達解題的關鍵，讓學生把思考的力氣用在“刀刃上”，不人為地制造障礙、設置陷阱.

選擇多樣，解題視角的多維性：對應的函數可以是一次函數、二次函數、分段函數等，最終答案也不唯一，甚至無限. 解題方法的多樣性：本題解答的方法可以通過函數圖像直接獲得相應的函數表達式，也可以通過待定系數法求出相應的函數表達式. 每位學生都可以用自己的思維習慣和方式進行思考與創新.

重點突出，考查素養. 本題雖然考查的知識點是函數表達式，但核心素養是數學建模——從兩個變量的兩組對應數據中確定這兩個變量之間的函數關系. 從學生分析與解決問題的過程和結果中反映學生的數學素養.

答題情況

1. 參考答案及評分標準

初中階段學生主要學習的函數有三種，即一次函數、反比例函數、二次函數. 若該函數為一次函數，則答案為y=-x+1;若該函數為二次函數，則有一系列函數符合要求，即y=mx2-（m+1）x+1（m≠0）;該函數不可能為反比例函數，但可在反比例函數的形式上做些變形，如y=■-1;還有求自變量取值范圍時會接觸到的無理函數，如y=-■+1，以及函數應用時會接觸到的分段函數，如y=x-1等. 評分時，只要所答的函數表達式滿足題目要求，即滿足“當自變量x=1時，函數值y=0;當自變量x=0時，函數值y=1”，便得滿分4分，其余均不得分. 故本題得分只有0分和4分.

2. 失分原因

本題不得分的答卷中除去空白和完全不著邊際的亂寫外，主要有以下兩方面的原因.

（1）是代數式而不是函數表達式，如-x+1. 這部分學生對函數的定義并沒有做到真正的理解，自然也意識不到y=-x+1和-x+1之間的本質區別，總覺得自己只是粗心筆誤，少寫了一個“y=”就一分不得，委屈得很.

（2）函數表達式不滿足題目要求，如y=x+1. 這類學生可能是因為算錯，甚至可能是從草稿紙到答題紙的抄錯. 看似特別可惜，但實質是學生缺少建模得出表達式后的一個“檢驗驗證”過程，是數學素養的不足.

教學思考

1. 對失分原因的思考

基于學生在考試中出現以上兩方面的失分原因，筆者有以下思考.

對于函數的定義，浙教版八年級上冊第144頁給出：“一般地，在某個變化過程中，設有兩個變量x，y，如果對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值，那么就說y是x的函數. ”有些學生能一字不差地說出，但未必真理解.

如果問八、九年級的學生“什么是函數”，回答往往是“函數是變量”“y=x+1是函數”“函數是圖像”，他們只是大體地描述函數的外在特征，很少深入到抽象層面：函數是兩個變量之間的對應關系.

原因主要在于：（1）學生對對應關系認識不足. （2）后期一直在學習與研究具體的一次函數、二次函數的性質與圖像等，函數解析式的表達方式更加深入人心. （3）從變量到函數關系，跨了多個抽象層次，學生理解時產生了障礙.

如果這個問題沒有解決，那么到了高中，教材中對函數的定義則為：“設A，B都是非空的數的集合，f：x→y是從A到B的一個對應法則，那么從A到B的映射f：A→B就叫函數，記作y=f（x），其中x∈A，y∈B. ”學生會更加難以理解和接受.

2. 對平時教學的思考

理解需要一個過程，因此在初中階段的函數內容教學中，我們應當引導學生經歷如下過程.

（1）理解變量. 很多學生其實不理解變量，函數y=-x+1中的自變量x會被說成未知數x，表達式變形一下改成x+y=1，他們就會認為兩個定數相加等于1，很難想象兩個量之間此消彼長的內在聯系. 本學期蕭山區八年級數學期末卷中一道難度不大的函數題，卻因為兩個變量換了字母，學生倒下一大片：

22. （本題滿分8分）已知一次函數y■=3x-3的圖像與反比例函數y■=■的圖像交于點A（a，3），B（-1，b）.

（1）求a，b的值和反比例函數的表達式.

（2）設點P（h，y■），Q（h，y■）分別是兩函數圖像上的點.

①試直接寫出當y■>y■時h的取值范圍;

②若y■-y■=3，試求h的值.

又如：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個根為x■，x■，則ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）. 對于這個命題，學生總是難以理解，因為在他們的眼里，帶x的都是未知數，他們不明白這里x是未知數，x■，x■是用字母表示的常數，兩者不一樣. 這些其實都是在七年級學習“用字母表示數”的時候就落下了“病根”，他們沒有真正理解字母不僅可以表示定值，還可以表示變量，而且同一個量可以用不同的字母表示.

（2）突出關系. 認識變量和認識變量之間的關系是不同層次的認知水平. 最近，“學習強國”中有如下一道題：

在一個研究全天氣溫變化的實驗中，自變量和因變量分別是（? ? ）

A.自變量是實驗員，因變量是一天中的時間

B.自變量和因變量都是一天中的時間

C.自變量是溫度，因變量是一天中的時間

D.自變量是一天中的時間，因變量是溫度

這里存在一個很關鍵很現實的問題：找變量容易，找關系難. 題中氣溫到底和誰有關系？有怎樣的關系？找關系，實際是“建立數學模型”的問題. 為了使每位學生都獲得必要的感知，引導學生多分析幾個不同的實例，數形結合是深化變量關系的重要手段. 函數的圖像一方面是函數的一種表示方法，另一方面也為函數建立了直觀模型. 因此，在突出函數關系特征的時候，我們可以引導學生多從圖像入手，感知兩個變量之間的關系.

此外，值得一提的是，函數圖像中自變量x的取值范圍是構成函數的一個不可缺少的組成部分. 平時練習中，如果題目沒有要求，寫完函數表達式時是不是應自覺加上自變量的取值范圍？事實上，只要自變量的取值范圍不同，函數就不同. 所以，2019年杭州中考第15題從一次函數的角度也可以得到無數種結果，如y=-x+1（x≥0），y=-x+1（x≤2）等.

（3）區別函數與函數表達式. 到了函數學習階段，是前面所學知識的一次集成. 它把多項式、變量、坐標系和方程等內容進行了整合，也體現了數學的統一性. 運用函數的觀點和方法去處理前面所學的知識，會有更深層次的理解.

但我們需要學生明白，函數表達式是函數的一種表示方法，建立函數模型，主要是找到相應的表達式，但最終是用找到的函數關系去解決問題. 因此，尋求表達式，但不限于表達式，是函數教學的目的之一，也是素養目標之一. 如果學生有了這樣的認識，那么杭州中考第15題答題中的第二類失誤就不會發生，或者即使發生也能及時進行自我糾正.

題外話

建立數學模型，教材上有兩個實例. 浙教版數學八年級上冊第162頁如圖1，八年級下冊第153頁如圖2. 它們也是筆者在教學處理上覺得比較為難的兩個例題，那如何在一節課中完成模型建立呢？

應用數學知識去解決各類實際問題時，建立數學模型是十分關鍵的一步，也是十分困難的一步. 建立數學模型的過程，是把錯綜復雜的實際問題簡化、抽象為合理的數學結構的過程，要通過調查、收集數據資料，觀察和研究實際對象的固有特征和內在規律，抓住問題的主要矛盾，建立反映實際問題的數量關系，然后利用數學的理論和方法去分析和解決問題. 這就需要深厚扎實的數學基礎、敏銳的洞察力和想象力，以及對實際問題的濃厚興趣和廣博的知識面.

這也對教師提出了更高的要求，值得我們不斷地學習和思考.