高中數學中的兩個“能量守恒”現象

孟辛亥

（甘肅省華亭市第一中學 甘肅華亭 744100）

大家都知道，化學中有一個重要的定律——“能量守恒定律”。其實，數學中同樣有兩個“守恒現象”值得總結掌握和熟練應用。

一、數列中的“守恒”

在數列問題中，運用“裂項相消法”和“錯位相減法”[1]求和時會遇到此類現象。下文舉例說明。

（2）設bn=，Tn是數列{bn}的前n項和，求使得Tn＜m/20對所有n∈N*都成立的最小正整數m。

然后易得m≥10。

總結：由于分母是一個等差數列的相鄰兩項之積，故在裂項相消的過程中會發現剩余的兩項是一正一負，即一首一尾。這正好體現了一種守恒。掌握這一現象后，學生自然會在計算過程格外注意剩下的項，不會發生少項或多項的錯誤。

（同學們在做完之后會發現什么規律呢？提示：分母是相間項之積，故相消后剩余的項是兩正兩負，即兩正首兩負尾。）

此外，在用“錯位相消法”求和時，列式相減環節也會有一個守恒現象，即第一次是-0，最后一次（第n+1次）是0-q，也是首尾一正一負。

二、三角函數中的“守恒”

二倍角公式和半角公式極好地體現了“角系數和次數”[2]一升一降的守恒。

二倍角公式，如cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α可以稱為次升系降。而由半角公式也可得sin2α=，我們不妨稱降次公式更為恰當，即次降系升。半角畢竟特殊的，而應用的時候，角是相對靈活的。

如此就能很好地防止類似錯誤，如：

防止此類錯誤的一個辦法就是通俗地理解角系數降實為縮小1/2，角系數升實為擴大2倍，則上兩式學生不難得出正確結果：

例2 已知函數f(x)=sin2x+sinxcosx+2cos2x,x∈R。

（1）求函數f(x)的最小正周期和單調增區間；

（2）函數f(x)的圖象可以由函數y=sin2x(x∈R)的圖象經過怎樣的變換得到？

分析：此題關鍵是對f(x)的化簡，運用什么公式呢？

不合理的化簡：

如此，雖然老師可以運用積化和差公式最終得出結論，但一來費時費力，二來新教材降低了難度，不要求運用積化和差公式。對學生而言，他們就只能鉆進死胡同。

合理的化簡：運用降次公式，可保初次化簡后得到同角（2α）一次的有利效果。有

以下求解容易多了，這里不再說明。

在這里，學生處理時常常感到公式記住了，但難以正確、靈活地應用。如果能在這里掌握這一現象并學會處理三角問題時“先角后名”的方法，學生就會輕松自如得多。

應用練習:已知α為銳角，且tanα=1/2，求的值。