淺“移”默“畫”巧成“方圓”—-全國卷中常見幾何體及其外接球的數量關系問題的通性解法

廣東省汕頭市東廈中學

本文中將全國卷題型分為兩類,分別是“三線垂直”型和“線面(面面)垂直”型,“三線垂直”型可采用“補型法”,“線面(面面)垂直”型可采用“標高法”.在解法中采用“引例說題”的形式,注重題目條件的分析,強化立體幾何定理的正確使用及解題的通性通法,深化數學思想的滲透.

1 試題分析

1.1 高考真題

(1)(2019年高考全國Ⅰ卷理科第12題)已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上,PA=PB=PC,ΔABC是邊長為2的正三角形,E,F分別是PA,AB的中點,∠CEF=90°,則球O的體積為().

(2)(2018年高考全國ⅠⅠⅠ卷理科第10題)設A,B,C,D是同一個半徑為4的球的球面上四點,ΔABC為等邊三角形且其面積為則三棱錐D-ABC體積的最大值為().

(3)(2015年高考全國ⅠⅠ卷理科第9題)已知A,B是球O的球面上兩點,∠AOB=90°,C為該球面上的動點,若三棱錐O-ABC體積的最大值為36,則球O的表面積為().

A.36πB.64πC.144πD.256π

(4)(2017年全國Ⅰ卷文科第16題)已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上,SC是球O的直徑.若平面SCA ⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱錐S-ABC的體積為9,則球O的表面積為____.

(5)(2013年高考全國Ⅰ卷文科第15題)已知H是球O的直徑AB上一點,AH:HB=1:2,AB ⊥平面α,H為垂足,α截球O所得截面的面積為π,則球O的表面積為____.

(6)(2017年高考全國ⅠⅠ卷文科第15題)長方體的長,寬,高分別為3,2,1,其頂點都在球O的球面上,則球O的表面積為____.

(7)(2016年高考全國ⅠⅠ文科第4題)體積為8的正方體的頂點都在同一球面上,則該球面的表面積為().

1.2 試題特征

近幾年國卷的命題特點,有以下幾點規律:

(1)針對的幾何體主要是三棱錐、四棱錐、三棱柱、四棱柱等常見幾何體;

(2)所求的外接球問題主要是體積和表面積;

(3)題目的條件中每個……