例談三棱錐的外接球問題

廣東省廣州中學(xué)

幾何體的外接球問題全國新課標(biāo)卷中是一個(gè)熱門考點(diǎn),也是一個(gè)難點(diǎn),為此也成為學(xué)生的一個(gè)薄弱點(diǎn).一般情況下大都結(jié)合三棱錐考察外接球問題.怎樣才能更好地解決和突破外接球問題,成為了老師和學(xué)生所渴望得到的答案.

通過大量題目的分析,發(fā)現(xiàn)解決三棱錐的外接球問題的方法一般有兩個(gè).第一個(gè)方法是補(bǔ)形,第二個(gè)方法是構(gòu)造直角三角形.以下將對(duì)上述兩個(gè)方法逐一進(jìn)行討論.

一 利用補(bǔ)形法解決三棱錐的外接球問題

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中對(duì)立體幾何初步的學(xué)習(xí)提出了基本要求:“在立體幾何初步部分,學(xué)生將先從對(duì)空間幾何體的整體觀察入手,認(rèn)識(shí)空間圖形;再以長方體為載體,直觀認(rèn)識(shí)和理解空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系;···”由此可見,長方體模型是學(xué)習(xí)立體幾何的基礎(chǔ),掌握長方體模型,對(duì)于學(xué)生理解立體幾何的有關(guān)問題起著非常重要的作用.因此長方體的外接球是學(xué)生比較熟悉的一類多面體的外接球:長方體的體對(duì)角線就是外接球的直徑,長方體體對(duì)角線的中點(diǎn)即為外接球的球心.設(shè)長方體的長寬高分別為a、b、c,那么長方體的體對(duì)角線進(jìn)而可得長方體外接球半徑外接球的表面積體積也就隨即可求.

例1已知S、A、B、C是球O表面上的點(diǎn),SA⊥面ABC,AB⊥BC,SA=AB=1,則球O的表面積等于().

A.4πB.3πC.2πD.π

分析注意到SA⊥面ABC,BC⊥面SAB,可將此三棱錐補(bǔ)成長寬高分別為1,1的長方體,如圖1,此時(shí)SC為長方體體對(duì)角線,可知其外接球的球心為SC中點(diǎn).

把三棱……