一個三角形面積公式在解析幾何中的應用

廣西省東興市東興中學

圓錐曲線是高考數學必考的一個重要知識點,主要是考查學生對圓錐曲線定義及其性質的綜合運用能力,對學生運算能力的要求比較高.所以學生需要掌握一些常用的結論及變形技巧、運算技巧,以便提高運算速度.比如,多利用方程的根與系數的關系整體代換,達到“設而不求,減少計算”;涉及到共線、垂直或夾角時,利用向量解決;涉及中點與直線斜率問題,利用“點差法”等.

三角形面積問題又是圓錐曲線問題中重要的考點之一.處理三角形問題的一般步驟為:聯立方程,寫出根與系數的關系,然后根據題目要求使用弦長公式或點到直線的距離公式及三角形面積公式(底乘高的一半)轉化成x1x2,x1+x2(或y1y2,y1+y2)的關系式,運算求得結果.而本文另辟蹊徑給出了不同于傳統求法的方法.這里需要用到一個與向量有關的三角形面積公式.現在先給出該三角形面積公式的推導.

定理在三角形ABC中,已知設S為三角形ABC的面積,證明:S=

證明

又因為

所以

應用舉例

例1已知橢圓過點且它的焦距是短軸長的倍.

(1)求橢圓C的方程.

(2)若A,B是橢圓C上的兩個動點(A,B兩點不關于x軸對稱),O為坐標原點,OA,OB的斜率分別為k1,k2,問是否存在非零常數λ,使當k1k2=λ時,三角形OAB的面積S為定值? 若存在,求λ的值;若不存在,請說明理由.

分析對于第(2)問,由于橢圓C的參數方程為(α為參數),所以可設A(2 cosα1,sinα1),B(2 cosα2,sinα2),然后根據面積公式可得,三角形OAB面積故只需根據條件k1k2=λ,判斷λ的值使得|sin(α2-α1)|為定值即可.

解(1)(略).(2)設存在……