探析一類不等式問題的命題思路*

福建省龍海第一中學(xué)新校區(qū)

一 前言

導(dǎo)數(shù)壓軸試題的最后一步經(jīng)常涉及到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明.此類試題靈活多變,沒有固定的模式套路,學(xué)生往往不知從何下手,因此成為名副其實的難點,使得眾多學(xué)生“望導(dǎo)興嘆”.事實上,對于此類試題,如果能夠透過試題表面挖掘試題深處隱含的命題規(guī)律,就能洞悉命題思路,領(lǐng)會命題意圖,實現(xiàn)難點的突破和解題的高效,提高數(shù)學(xué)思維能力.

二 命題思路

此類與正整數(shù)n有關(guān)的導(dǎo)數(shù)壓軸不等式證明試題,命題者在命制試題時,一般首先從某個不等式出發(fā),對不等式中的x取特殊值,得到n個不等式,然后累加或者累乘,得到一個新的不等式,再對該不等式進行變形,構(gòu)造,從而命制出試題.常見的不等式模型有以下幾種.

模型(1)ex ≥x+1

命題思路由不等式ex ≥x+1 可知,當x >0時,x+1

對x+1分別取得

累加得

整理得

故有1n+1+2n+1+···+nn+1<(n+1)n+1.

命題分析由不等式x+1< ex出發(fā),兩邊同時取n+1 次方,得到(x+1)n+1<(ex)n+1.然后對x+1分別取得到n個不等式,最后累加,再經(jīng)過簡單的放縮,即可得到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式

命題1已知函數(shù)f(x)=ex-ax-1,

(1)若f(x)在R 上單調(diào)遞增,求a的取值范圍.

(2)當a >0時,設(shè)函數(shù)f(x)的最小值為g(a),求證g(a)≤0.

(3)求證:對任意正整數(shù)n,都有1n+1+2n+1+3n+1+

模型(2)ln(x+1)≤x

命題思路當x >0時,用代替x,得ln即則有nln(n+1)-nlnn<1.兩邊同時加上ln(n+1),得(n+1)ln(n+1)-nlnn<1+ln(n+1).所以

累加得(n+1)ln(n+1)<(1+ln 2)+(1+ln 3)+···+(1+ln(n+1)),即nln(n+1)

命題分析由不等式ln(x+1)≤x出發(fā),用代替x得到nln(n+1)-nlnn <1,兩邊同時加上ln(n+1),得到(n+1)ln(n+1)-nlnn <1+ln(n+1).對n取特殊值1,2,...,n,得到n個不等式,最后累加,再兩邊同時消去ln(n+1),經(jīng)過簡單的變形,即可得到與正整數(shù)有關(guān)的不等式

命題2已知函數(shù)f(x)=ax-1-lnx,

(1)若f(x)≥0 對任意的x ∈(0,+∞)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

(2)求證:對任意的n ∈N?,有

模型(3)

命題思路當x >0時,用代替x,得即所以1<2 ln 2,累加得

命題分析由不等式出發(fā),用代替x得到對n取特殊值1,2,...,n,得到n個不等式,最后累加即可得到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式

命題3已知函數(shù)f(x)=aln(x+1)+(x-1)2,

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間.

(2)對任意n ∈N?有

模型(4)ln(x+1)>x2-x3,x>0.

命題思路當x >0時,用代替x,得即

命題分析由不等式ln(x……