對2009年高考湖北卷理科第20題的再探究

廣東省佛山市羅定邦中學

1 原題再現及探究的緣起

題目(2009年高考湖北卷理科第20題)過拋物線y2=2px(p >0)的對稱軸上一點A(a,0)(a >0)的直線與拋物線相交于M,N兩點,自M,N向直線l:x=-a作垂線,垂足分別為M1,N1.

(1)略;(2)記ΔAMM1,ΔAM1N1,ΔANN1的面積分別為S1,S2,S3,是否存在λ,使得對任意的a >0,都有S22=λS1S3成立.若存在,求出λ的值;若不存在,說明理由.

在文[1]中,鄒生書老師對上述題目進行了深入探究.鄒老師先利用特殊位置,發現定值,接下來將本題所蘊含的數學背景推廣至橢圓及雙曲線上,并獲得了如下的漂亮結論:

定理過圓錐曲線焦點所在的對稱軸上任一類焦點A的直線與曲線交于M,N兩點,自M,N向與點A對應的類準線作垂線,垂足分別為M1,N1,記ΔAMM1,ΔAM1N1,ΔANN1的面積分別為S1,S2,S3,則恒有S22=4S1S3成立[1].

筆者研讀此文深受啟發,但也提出了如下幾個疑問:

(1)在文[1]中,利用點作為基本量進行求解,能否直接以弦長做為基本量求解呢?

(2)對于橢圓及雙曲線而言,不含焦點的對稱軸上的“類焦點”與“類準線”是否具有類似的性質呢?

(3)通過文[2],我們可知,文[1]中涉及的“類焦點”與“類準線”的實質是圓錐曲線的“極點與極線”.除了這類特殊位置外,一般的“極點與極線”還有類似的性質嗎?

接下來,本文將逐步解決這些問題.

2 新的解題視角

2.1 極坐標與參數方程視角

為了說明該方法,本文先將點A及直線l特殊化.以上面的高考題為例,將點A特殊化為為焦點直線l特殊化為準線

文獻[3]考慮了如下的解法.如圖1,以焦點A?為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系.拋物線對應的極坐標方程為:對ΔAMM1而言,對……