對一道斜率比為定值試題的拓展探究

福建省仙游第一中學

一 試題及已有結論呈現

題目(2018年全國高中數學聯賽重慶賽區預賽第9題)設橢圓C的左、右頂點為A(-a,0),B(a,0)過右焦點F(1,0)作非水平直線l與橢圓C交于P,Q兩點,記直線AP,BQ的斜率分別為k1,k2,試證明為定值,并求此定值(用含a的函數表示).為定值文[1]把本題的結論推廣到一般的圓錐曲線中,文[2]又把文[1]的結論由焦點F推廣為定點M(m,0),得到了結論1、2、3,讀后頗受啟發,但覺意猶未盡,經探究發現,文[2]的結論1、2 可以拓展到更一般的情形.先把文[2]的結論1、2 抄錄如下:

圖1

圖2

結論1[2]設A,B為橢圓的左、右頂點,過點M(m,0)作任一條非水平直線l與橢圓C交于P,Q兩點,記直線AP,BQ的斜率分別為k1,k2,則(如圖1)

結論2[2]設A,B為雙曲線0)的左、右頂點,過點M(m,0)作任一條非水平直線l與雙曲線C交于P,Q兩點,記直線AP,BQ的斜率分別為k1,k2,則

二 縱向拓展:由橢圓(雙曲線)長(實)軸端點到定點弦端點的拓展

上述結論1、2 揭示了橢圓(雙曲線)的左、右頂點,即長(實)軸端點A,B與過定點M(m,0)的弦的端點P,Q連線的斜率比為定值的性質,如果把長(實)軸AB這條過定點M(m,0)的特殊(過曲線中心)的弦拓展為過定點M(m,0)的一般的弦AB(異于PQ),直線AP,BQ的斜率k1,k2存在且非零,那么,是否為某個定值? 經探究,結論1 可拓展為

結論Ⅰ設橢圓的弦AB過定點M(m,0)(0< |m| < a).過定點M作非水平直線l與橢圓C交于P,Q兩點,若直線AP與x軸交于定點N(n,0)(n

證明如圖2,對于橢圓設定點M(m,0)(0< |m| < a),直線AP與x軸交于點N(n,0)(n < m),記直線AP,AM,PM的方程分別為x=h1y+n,x=h2y+m,x=h3y+m,把直線AP的方程x=h1y+n與橢圓C的方程聯立,得b2(h1y+n)2+a2y2-a2b2=0,整理得

設A(x1,y1),B(x2,y2),P(x3,y3),Q(x4,y4),據韋達定理,得則同理可得

于是有

本題的答案是:

代入(2)式,得

又

推論設橢圓的弦AB過定點M(m,0)(-c < m < a,m ?= 0),過定點M作非水平直線l與橢圓C交于P,Q兩點,若直線AP與x軸交于左焦點(-c,0),直線AP,BQ的斜率k1,k2存在且非零,則為定值

在以上證明中,以“-b2”替換“b2”,可把文[2]的結論2拓展為

結論ⅠⅠ設雙曲線C:的弦AB過定點M(m,0)(|m| > a),過定點M作非水平直線l與雙曲線C交于P,Q兩點,若直線AP與x軸交于定點……