一類數列求和問題方法探究

廣東省廣州外國語學校

數列求和是數列考查的熱點問題,而周期數列求和是數列求和中較常見的一類問題,根據周期性求數列和一般都比較容易.對于一些與周期數列結合的非周期數列求和問題又如何解決? 我們不妨稱其為“類周期數列求和”問題.本文通過與周期數列求和類比,介紹“類周期數列求和”的方法技巧,希望對大家有所幫助.

一 周期數列的概念及求和方法

首先我們通過具體的例子介紹周期數列的一般求和方法.我們定義:對于數列{an},如果存在一個正整數T,使得對任意的正整數n ≥n0恒有an+T=an成立,則稱數列{an}是從第n0項起的周期數列,且周期為T,T的最小值為最小正周期,簡稱周期.周期數列求和是數列問題中常見的一類問題,如何求周期數列{an}的前n項和Sn?

例1已知數列{an}滿足a1=2,求其前30 項和S30.

解因為an+1=所以an+2所以,數列{an} 是以3 為周期的周期數列.因為a1=2,所以

an=其中k ∈N?.

下面求前30 項的和S30.

方法一(并項求和)

數列每一個周期的和為a3k-2+a3k-1+a3k=前30 項和共包含10 個周期,所以

方法二(分組求和)

所以S30=T1+T2+T3=15.

評注周期數列的求和一般可以從并項求和或分組求和兩種思路出發.并項求和步驟是先每個周期進行求和,將求和問題轉化為多個周期和的問題,然后再進行整體求和;分組求和就是先將相等的項組合在一起求和然后整體求和.

二 類周期數列求和

類型一 通項公式為an=(-1)n ·bn類型求和,其中{bn}是一般數列

例2已知數列{an}的通項公式為an=(-1)n·(2n-1),求數列{an}的前n項和.

分析顯然數列cn=(-1)n是以2 為周期……