一般與特殊:極值點偏移難題的解法探究

廣東省廣州市華南師范大學附屬中學

極值點偏移問題是近年來高考題與模擬題中的熱點問題,研究這類問題的文章汗牛充棟[1-2],但是本文擬就一些難題談一談本人的一些心得體會.通常來說我們有三種處理方法:構造函數(shù)法,換元法與對數(shù)均值不等式法.下面,以一道常見的題為例.

題目已知函數(shù)f(x)=lnx-ax有兩個相異零點x1,x2,求證:x1x2>e2.

(1)構造函數(shù)法因為觀察到的極值點剛好為e,構造利用h(e)=0,再考慮h(x)的導數(shù)從而證明結(jié)論.

(2)換元法令x2=tx1(t>1),代入得故實現(xiàn)了二元變一元.

(3)對數(shù)均值不等式法利用常用的對數(shù)均值不等式[3]:其中x1,x2為不相等的正數(shù).本題中,lnx1=ax1,lnx2=ax2,

但是,實際在解題過程中,相信廣大師生會發(fā)現(xiàn)有三種主要的困難:

(1)有些題目所要證的并非x1+x2,x1x2大于或小于某個定值的結(jié)論,即不是一個常規(guī)的極值點偏移問題,使得我們產(chǎn)生這道題應不應該用極值點偏移的方法來做的困惑.

(2)有些題目里面含參變量有三個:x1,x2,a,難以化成一元的函數(shù)或不等式來證明.

(3)有些題目并不是這三種方法都可行,可能只有一兩種方法是可行的,有時甚至要運用一些其他的方法.

下面我們分別以一些例子來說明.

例1設F(x)= 2 lnx-x2-kx有兩個零點m,n(0< m < n),且m+n=2x0,問函數(shù)F(x)在x0點處的切線能否平行于x軸?

證明(代數(shù)變形+對數(shù)均值不等式法)

由題意得兩式相減得

評注本題若用構造函數(shù)法和換元法,一般來說是無效的,因為這是一個開放性的問題,它不屬于常規(guī)的極值點偏移問題.

例2F(x)=x-lnx-a有兩個零點x1,x2.求證:

嘗試1 (構造函數(shù)法)因為本題中的極值點為x=1,F(1)=1-a.

由題意知a >1,x1<1< x2,所以x1+x2> a+1?x2>a+1-x1?F(x2)>F(a+1-x1).

構造函數(shù)g(x)=……