題、好題、好試題

李傳峰

[摘 ?要] 在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)中，階段性測試是相當(dāng)重要的組成部分，可以對當(dāng)前的教學(xué)質(zhì)量進(jìn)行有效的評估，為下一階段的教學(xué)計(jì)劃提供指導(dǎo). 為此，需要對高中數(shù)學(xué)階段測試卷的命題予以高度重視. 文中，主要就針對高中數(shù)學(xué)階段測試卷命題展開分析，為提高高中數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量提供支持.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);階段性測試;命題

如前所言，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的階段性測試（包括周測、章節(jié)測、月測、期中測、期末測等），其最主要目的是評估教學(xué)質(zhì)量，指導(dǎo)下一階段教學(xué)計(jì)劃，因而是否能夠準(zhǔn)確反饋學(xué)生學(xué)的情況和教師教的情況，是評價(jià)一套高中數(shù)學(xué)階段測試卷的主要指標(biāo)之一.筆者從這個(gè)角度談一下怎樣的數(shù)學(xué)題才是好的測試題.

每一道數(shù)學(xué)測試題的好與差主要可以從以下四個(gè)方面進(jìn)行評價(jià).

好的數(shù)學(xué)測試題首先是一道好的數(shù)學(xué)題

當(dāng)然，好題的標(biāo)準(zhǔn)有很多，例如章建躍老師在他的文章中也談了對好題的認(rèn)識.

基于階段數(shù)學(xué)測試的需要筆者強(qiáng)調(diào)以下三點(diǎn).

1. 好的數(shù)學(xué)題首先要滿足科學(xué)性

例如文[1]中提到的各種不滿足科學(xué)性的例子. 有科學(xué)性錯(cuò)誤的題目不僅浪費(fèi)學(xué)生考試時(shí)間，更重要的是使測試結(jié)果失真.

2. 好的數(shù)學(xué)題要語言精練、準(zhǔn)確，不浪費(fèi)閱讀時(shí)間，不讓閱讀者產(chǎn)生歧義

例題1：某企業(yè)2003年的純利潤為500萬元，因設(shè)備老化等原因，企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降. 若不能進(jìn)行技術(shù)改造，預(yù)測從今年起每年比上一年純利潤減少20萬元，今年初該企業(yè)一次性投入資金600萬元進(jìn)行技術(shù)改造，預(yù)測在未扣除技術(shù)改造資金的情況下，第n年（今年為第一年）的利潤為5001+ 萬元（n為正整數(shù)）.

（1）設(shè)從今年起的前n年，若該企業(yè)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤為An萬元，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤為Bn萬元（須扣除技術(shù)改造資金），求An，Bn的表達(dá)式;

（2）依上述預(yù)測，從今年起該企業(yè)至少經(jīng)過多少年，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤超過不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤？

這是一道2004年的高考題，當(dāng)年高考時(shí)問題不大，學(xué)生很自然地把2004年作為“今年”，但現(xiàn)在再用此題，應(yīng)當(dāng)把“今年”改為“2004年”，否則會引起歧義.

3. 好的數(shù)學(xué)題不人為設(shè)置陷阱，造成學(xué)生不必要失分，從而使反饋結(jié)果失真

因?yàn)殡A段性測試最主要目的是評估，故所選的題目應(yīng)當(dāng)有利于考查學(xué)生對基礎(chǔ)知識、基本方法和基本能力的掌握.

例題2：在向量a=（x，y）的右邊乘以一個(gè)矩陣A2×2，按向量的乘法規(guī)則相乘以后得到一個(gè)新的向量a0，我們把這個(gè)運(yùn)算過程稱為對向量a實(shí)施了一次右矩陣變換. 直線l1：y=ax+2上任意一點(diǎn)P（x，y）確定向量 （O為坐標(biāo)原點(diǎn)），通過矩陣0 ?11 ?0對向量 實(shí)施右矩陣變換后得到向量 ，若點(diǎn)P1軌跡是直線y=3x-b，則直線y=ax+2與直線y=3x-b的對稱軸所在直線方程是__________.

這是筆者在考查矩陣、向量和直線三個(gè)知識點(diǎn)時(shí)所命的一道綜合題，意圖考查學(xué)生的閱讀能力和基本運(yùn)算能力，通過與試卷審題人商討，修改如下.

例題2變式：在向量a=（x，y）的右邊乘以一個(gè)矩陣A2×2，按向量的乘法規(guī)則相乘以后得到一個(gè)新的向量a0，我們把這個(gè)運(yùn)算過程稱為對向量a實(shí)施了一次右矩陣變換. 直線l1：y=ax+2上任意一點(diǎn)P（x，y）確定向量 （O為坐標(biāo)原點(diǎn)），通過矩陣0 ?11 ?0對向量 實(shí)施右矩陣變換后得到向量 ，點(diǎn)P1的坐標(biāo)（x0，y0）滿足y0=3x0-b，若直線l2：a1x+b1y+1=0和l3：a2x+b2y+1=0相交于點(diǎn)T（3a，b），則過點(diǎn)E（a1，b1），F(xiàn)（a2，b2）的直線l4的方程是_______.

把該題第三段運(yùn)算修改為求過定點(diǎn)的直線方程，從而避開人為設(shè)置的陷阱，對直線方程考查的能力要求還略有提高，使知識考查和能力考查都落到了實(shí)處.

好的測試題應(yīng)該是適合測試的題

1. 作為測試題的數(shù)學(xué)題在難度上應(yīng)當(dāng)與參加測試學(xué)生的整體水平相匹配，難度過高或過低的題目均不適合作為測試題

例題3：已知a>b>c，a+b+c=1，a2+b2+c2=1，求a+b和a2+b2的取值范圍.

該題解法雖然較多，但主流的解法是“構(gòu)造”，故對學(xué)生能力要求比較高，適合作為競賽題或數(shù)學(xué)能力比較出色的學(xué)生的測試題.

2. 好的測試題知識或能力考查的指向性要準(zhǔn)確

好的階段測試題一定要緊扣所要考查的知識范圍和能力要求.

例題4：直線l1：mx+y-1-m=0，l2：x+my-2m=0，討論當(dāng)m取何值時(shí)直線l1與l2相交、平行或重合.

該題可以用矩陣、行列式、直線的斜率等多個(gè)知識點(diǎn)解決，高三階段綜合測試時(shí)這樣命題是可以的，但作為高二階段的測試題，應(yīng)當(dāng)明確用什么知識點(diǎn)解題.

可做如下修改.

例題4變式：直線l1：mx+y-1-m=0，l2：x+my-2m=0，試運(yùn)用行列式的知識討論當(dāng)m取何值時(shí)直線l1與l2相交、平行或重合.

好的測試題是把好題放在合適的試卷的合適的位置

1. 好的測試題是把好題放在合適的試卷中

例題5：角α終邊過點(diǎn)P（3，-4），則sinα=__________.

例題5變式1：角α+ 終邊過點(diǎn)P（3，-4），則sinα=__________.

例題5變式2：角α+ 終邊過點(diǎn)P（3，-4），則sin2α=__________ .

從知識考查的角度講，例題5考查了三角比定義，例題5變式1考查了三角比定義和誘導(dǎo)公式，例題5變式2考查了三角比定義、誘導(dǎo)公式和倍角公式. 在不同學(xué)習(xí)階段應(yīng)該選擇不同的測試題. 當(dāng)然，如果沒有學(xué)過誘導(dǎo)公式也用例題5變式1作為測試題，則在考查三角比定義的基礎(chǔ)上增加了數(shù)形結(jié)合能力的考查.

從知識考查的角度講，例題5考查了三角比定義，例題5變式1考查了三角比定義和誘導(dǎo)公式. 在不同學(xué)習(xí)階段應(yīng)該選擇不同的測試題.

2. 好的測試題還要放在試卷的合適的位置

（1）題目的難度對題目的位置有影響

例題6：直線l1：ax+2y-6=0和l2：2x+y+5=0平行，a=__________.

例題6變式：直線l1：ax+2y-6=0和l2：x+（a+1）y+（a+5）=0平行，a=__________.

同樣是考查直線位置關(guān)系，從試題難度的角度講，例題6可以放在測試卷第1題位置，而例題6變式因?yàn)槎嗔艘粋€(gè)舍根的過程，一般情況下就不太適合放在測試卷第1題.

（2）題目的特點(diǎn)對題目的位置有影響

例題7：已知點(diǎn)M（3，5），在直線l：x-2y+2=0上找一點(diǎn)P，在y軸上找一點(diǎn)Q，使△MPQ的周長最小，試求出△MPQ周長的最小值，并求出當(dāng)△MPQ周長最小時(shí)點(diǎn)P和點(diǎn)Q的坐標(biāo).

筆者用它作為階段測試中一道解答題，結(jié)果得分兩極化，要么有思路得滿分，要么沒思路得0分，試題區(qū)分度極差，不利于信息反饋，因此，此題不適合作為測試卷的解答題.

這道題是考查點(diǎn)關(guān)于直線對稱的好題，要用它作為測試題，比較適合放在選擇題或填空題位置. 如果作為解答題，就要對試題做出適當(dāng)修改.

例題7變式：已知點(diǎn)M（3，5）和直線l：x-2y+2=0，

（1）求點(diǎn)M關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)M 的坐標(biāo);

（2）在直線l上找一點(diǎn)P，在y軸上找一點(diǎn)Q，使△MPQ的周長最小，試求出△MPQ周長的最小值，并求出當(dāng)△MPQ周長最小時(shí)點(diǎn)P和點(diǎn)Q的坐標(biāo).

增加求點(diǎn)M關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)M 的坐標(biāo)，盡管略微降低了題目的難度，但既為學(xué)生解決該題目提供了思路，也增加了題目的得分點(diǎn)，從而極大改善該題的區(qū)分度.

好的測試題最好是有一定可讀性的“新鮮”題目

過于陳舊的數(shù)學(xué)題或內(nèi)容過于平淡的數(shù)學(xué)題容易造成學(xué)生“背題”“刷題”的不良數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，造成測試結(jié)果失真，不利于學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提高，容易造成對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的厭倦和恐懼心理.教師盡可能命制貼近時(shí)代，貼近學(xué)生生活的“新鮮”題目，以此更好地激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)熱情，提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力.

例題8：學(xué)生李明用手機(jī)加了一個(gè)有關(guān)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的微信群，群里面許多數(shù)學(xué)愛好者經(jīng)常發(fā)一些有關(guān)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心得和經(jīng)驗(yàn)，但是，這些心得和經(jīng)驗(yàn)的正確性無法保證，下面是李明搜集到的有關(guān)函數(shù)的一些結(jié)論：（1）若函數(shù)y=f（-x）有反函數(shù)，則其反函數(shù)可表示為y=f -1（-x）;（2）函數(shù)y=f（x）在其定義域內(nèi)的最大值為M，最小值為m，則其值域?yàn)閇m，M];（3）定義在R上的函數(shù)y=f（x），若對任意的實(shí)數(shù)x，y等式f（x）-f（y）= 均成立，則函數(shù)y=f（x）一定是奇函數(shù);（4）定義在R上的函數(shù)y=f（x），若對任意的實(shí)數(shù)x都有f（x）-f（x）=0，則函數(shù)y=f（x）一定沒有反函數(shù).

李明的同學(xué)們對以上四個(gè)結(jié)論有以下不同判斷，其中判斷正確的是（ C ）

A. 都是錯(cuò)誤的

B. 只有一個(gè)是正確的

C. 兩對兩錯(cuò)

D. 只有一個(gè)是錯(cuò)誤的

目前網(wǎng)上各種數(shù)學(xué)交流平臺異常火爆，但信息的可信度不盡如人意，故筆者編寫了該題目，提醒學(xué)生注意信息篩選.

結(jié)束語

階段測試卷會因?yàn)闇y試時(shí)間、測試內(nèi)容、測試對象、測試目的等的不同，造成試卷形式、題目難度和題目類型差異巨大，因此，對好試題的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)是一個(gè)相對的概念，它的具體內(nèi)涵取決于學(xué)生的具體情況. 囿于筆者認(rèn)識的有限性，筆者所談是基于所在學(xué)校的學(xué)生層次、教學(xué)實(shí)際情況的經(jīng)驗(yàn)之談，因而許多評價(jià)未必適合所有讀者. 本文不是試圖給出命制測試題（卷）的標(biāo)準(zhǔn)，只希望能起到一點(diǎn)拋磚引玉的效果.

參考文獻(xiàn)：

[1] ?張國治，郭江燕，李曉云. 例談編擬數(shù)學(xué)試題的科學(xué)性原則——以高考題、競賽題中的錯(cuò)題為例[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)，2016（08）.