基于解題，提煉數(shù)學(xué)概念內(nèi)涵

袁增軍

【摘要】數(shù)學(xué)概念教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的重要途徑.本文以“函數(shù)的性質(zhì)”教學(xué)為例，闡釋了在解題基礎(chǔ)上注重提煉概念內(nèi)涵，以靜制動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】解題;數(shù)學(xué)概念;內(nèi)涵;核心素養(yǎng)

【問題提出】

弗賴登塔爾認(rèn)為：“數(shù)學(xué)知識(shí)不是教師教出來的，而是研究出來的.”同樣的，數(shù)學(xué)概念不能僅僅依靠教師的教，應(yīng)該讓學(xué)生在解題過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律、共性，喚起好奇心，通過不斷探究，對(duì)數(shù)學(xué)概念進(jìn)行提煉，做到真正地學(xué)以致用.概念是數(shù)學(xué)的“細(xì)胞”，“函數(shù)的性質(zhì)”概念數(shù)量多、章節(jié)跨度大，初學(xué)者若想形成系統(tǒng)性的理解難度較大.學(xué)生間常說的“得函數(shù)者得數(shù)學(xué)”就足以讓人感受到其重要性.下面以蘇教版教材中“函數(shù)性質(zhì)”的教學(xué)為例，分享筆者的實(shí)踐與思考.

【解題困惑】

教學(xué)觀察：應(yīng)用反證法的大體步驟，學(xué)生反應(yīng)較好，而在面對(duì)“最小”這一關(guān)鍵結(jié)論的證明時(shí)，明顯力不從心.同第二組問題一樣，“舉反例”是較為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕夥ǎ胁糠謱W(xué)生想不到這種解法，即使想到了也心存忐忑，為什么可以這樣做？這算不算“投機(jī)取巧”？

【內(nèi)涵挖掘】

對(duì)于函數(shù)的奇偶性、周期性、單調(diào)性、最值等問題，在它們各自定義的表述中，一般存在著“任意……都有……”這樣一些關(guān)鍵詞，聯(lián)想到解題過程中經(jīng)常面對(duì)的恒成立問題，教師完全可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步樹立“恒成立”的意識(shí).當(dāng)然，對(duì)“恒成立”這一內(nèi)涵的挖掘，還要通過以下三個(gè)維度進(jìn)行深度分析.

維度一，聚焦概念中的適用范圍.函數(shù)的奇偶性、周期性、最值中的“恒成立”，均是針對(duì)函數(shù)的定義域而言，屬函數(shù)的整體性質(zhì).但是函數(shù)單調(diào)性中的“恒成立”未必針對(duì)定義域，也有可能是針對(duì)定義域的子區(qū)間，它屬于局部性質(zhì).兩者不可混淆.

維度二，聚焦概念中式子的形式.函數(shù)的奇偶性、周期性中的“恒成立”，是等式的恒成立，而函數(shù)單調(diào)性、最值中的“恒成立”則是不等式恒成立.形式不同，解題路徑各異，只有方向把握準(zhǔn)確，解題才能高效.

維度三，聚焦生活中的實(shí)例.如從反面論證“恒成立”問題為什么需要“舉反例”，可以在課堂上舉例.“有人說，高一（6）全班同學(xué)皆近視眼，而事實(shí)并非如此，有的同學(xué)還準(zhǔn)備參加飛行員的選拔，那么該如何去反駁此人？”問題一經(jīng)拋出，學(xué)生自然會(huì)對(duì)該人言論進(jìn)行針對(duì)性的反駁——找出一個(gè)視力正常的同學(xué)即可.

【水到渠成】

【學(xué)以致用】

問題是數(shù)學(xué)的靈魂，高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)是圍繞問題展開的，知識(shí)因問題而起，為了解決問題才要更新知識(shí)、創(chuàng)造新知;學(xué)習(xí)因問題而導(dǎo)，教師只有科學(xué)、合理地設(shè)置問題，才能夠有效地引導(dǎo)學(xué)生深入探究，主動(dòng)構(gòu)建新知;素養(yǎng)因問題而成，學(xué)生經(jīng)歷了發(fā)現(xiàn)、分析、解決問題過程，才能從中汲取數(shù)學(xué)素養(yǎng)的養(yǎng)分.問題的設(shè)計(jì)和教學(xué)的掌控是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)落地生根、開花結(jié)果的關(guān)鍵所在.所以，教師在進(jìn)行概念教學(xué)時(shí)，一定要對(duì)課本習(xí)題進(jìn)行變式、引申和拓展，同時(shí)要及時(shí)提煉數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵，達(dá)到學(xué)以致用的目的.本節(jié)課后，筆者設(shè)計(jì)如下問題組供學(xué)生研討.

【逆向研究】

“恒成立問題”作為高考試題中的常青樹，除上述由外及里的內(nèi)涵挖掘的題目之外，顯性的恒成立問題比比皆是.因此，教師在解題教學(xué)中要加強(qiáng)研究，充分挖掘概念內(nèi)涵，以培養(yǎng)學(xué)生辨析思維、求異思維能力.從綜合性來看，題目主要分為單一型和復(fù)合型兩類.從變量個(gè)數(shù)來看，常見的有一個(gè)變量和若干變量（且以兩個(gè)變量為主）.從函數(shù)個(gè)數(shù)來看，常見的有一個(gè)或兩個(gè)函數(shù)，有時(shí)兩個(gè)函數(shù)往往還需要轉(zhuǎn)化成一個(gè)函數(shù).這些問題看起來難以理解，想要解決需要從源頭切入，挖掘其內(nèi)涵，辨析其核心區(qū)別，依靠轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想尋求突破.

綜上，t的取值范圍是（-∞，3].點(diǎn)評(píng) 一參數(shù)一變量與“存在性”“任意性”有機(jī)結(jié)合，是高考中的常見題型，使抽象的函數(shù)問題變得更加難以理解.事實(shí)上，這類問題只要抓住全稱量詞和存在量詞的基本含義，辨析清楚兩者之間的差別，就能夠迅速地解題.

【教學(xué)思考】

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)思想方法的載體.基于解題，挖掘概念內(nèi)涵，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要途徑.教師在講解函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性、最值等概念的過程中，抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，即共同且本質(zhì)的數(shù)學(xué)特征“恒成立”，學(xué)生解題時(shí)就能夠快速提煉出“恒成立”這一模型，從而實(shí)現(xiàn)問題的圓滿解決.“隨風(fēng)潛入夜，潤物細(xì)無聲.”在這個(gè)過程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)也必然會(huì)得到塑造和鞏固.

概念課教學(xué)既是基礎(chǔ)也是重中之重，但現(xiàn)實(shí)中卻呈現(xiàn)出兩種不良傾向.一是存在“教材不吃透，全靠習(xí)題湊”的狀況，筆者曾在縣城內(nèi)做過觀察，記錄了七節(jié)數(shù)學(xué)評(píng)優(yōu)課，當(dāng)提到一次函數(shù)“y=kx+b（k≠0）”中“k=0”式子還是不是函數(shù)問題時(shí)，僅有一位教師能夠引導(dǎo)學(xué)生通過咀嚼概念做出清晰的判斷，其他老師都是含含糊糊、閃爍其詞，聽者揪心，學(xué)生添堵.二是對(duì)概念不夠重視，筆者發(fā)現(xiàn)教師教學(xué)能力的層次與概念教學(xué)的重視程度正相關(guān)，基本功扎實(shí)、具有一定的研究能力、學(xué)生評(píng)價(jià)高的老師在概念教學(xué)上不僅重視而且“能歌善舞”.相對(duì)而言，有些教學(xué)能力一般的老師卻“好高騖遠(yuǎn)”.對(duì)于廣大的一線數(shù)學(xué)教師，我們要進(jìn)一步喚醒、激勵(lì)、鼓舞，讓“重視概念教學(xué)、注重立長遠(yuǎn)，靜心打基礎(chǔ)，教得輕松、學(xué)得愉快”蔚然成風(fēng).各地教研機(jī)構(gòu)也要當(dāng)好“紅娘”，指導(dǎo)學(xué)科備課組進(jìn)行針對(duì)性的閱讀、研討，讓概念教學(xué)立于舞臺(tái)中央.

眾所周知，在社會(huì)、家庭、學(xué)校各方“推動(dòng)”下，學(xué)生的考試分?jǐn)?shù)被過度關(guān)注，使教學(xué)異化，我國高中數(shù)學(xué)教育普遍存在著同質(zhì)化的傾向.北京大學(xué)張順燕教授曾精辟地指出：“教學(xué)有三種境界，即授人以業(yè)，授人以法，授人以道.”前者凸顯所授知識(shí)的準(zhǔn)確性，中者強(qiáng)調(diào)所授知識(shí)的深刻性，而后者方是教學(xué)的最高境界，它要求教學(xué)不但要使學(xué)生將知識(shí)與方法融會(huì)貫通，而且要把數(shù)學(xué)的思想方法、本質(zhì)規(guī)律及內(nèi)部聯(lián)系等靈魂性的東西揭示出來，為學(xué)生的終身發(fā)展打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，它強(qiáng)調(diào)所授知識(shí)的本質(zhì).這就為我們的教學(xué)路徑指明了方向——抓住問題的本質(zhì).所以我們要從人的角度研究教學(xué)，改進(jìn)方法，認(rèn)真落實(shí)學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng).在概念教學(xué)設(shè)計(jì)中我們要進(jìn)一步凸顯問題導(dǎo)向，確立“建構(gòu)→解題→內(nèi)涵→升華”流程，其中基礎(chǔ)在建構(gòu)和解題，關(guān)鍵在通過解題進(jìn)一步審視、研讀、辨析概念，挖掘內(nèi)涵，使二者形成知識(shí)能力和態(tài)度的閉環(huán)，從而實(shí)現(xiàn)學(xué)識(shí)水平和人文素養(yǎng)的雙提升.