常見函數的導數

唐甜甜

摘??要：高中數學學習中，數學思維有助于課堂教學的有序進行，部分學生和老師易忽視數學教學課堂中的一些概念和公式的形成，機械性地給出一些公式，忽視其由來，很可能導致學生對于公式和知識點的不理解，托爾斯泰說過：“成功的教學需要的不是機制，而是激發學生的學習興趣”，所以我們在公式的形成的課堂中，可以在一定的知識背景前提下，提出一連串的問題，帶動學生思考，把學生帶進課堂中來。

關鍵詞：高中數學;課堂教學;知識形成;知識應用

【中圖分類號】G?633.6????【文獻標識碼】A???????【文章編號】1005-8877（2020）01-0183-01

下面，我以“導數的運算—基本初等函數的求導公式”為例進行闡述。

1.知識回顧

知識回顧，是課堂教學中的一個重要環節，它起著承上啟下的作用，數學知識具有一定的系統性和連貫性，舊知的復習有助于學生提煉上節課所學的重點，同時，舊知是新知的基礎，舊知的復習，有利于本節新課的順利進行。本節課的知識回顧，我主要以問題的形式出現，如下：

問題1：導數的幾何意義是？

本著新高考改革的原則，這里我以選擇題的形式出現。

問題2：由定義法求導數的步驟？

該舊知是導數的概念形成，對本節課有著不可或缺的作用，主要由概念課逐步歸納出部分基本初等函數的求導公式。

緊接著利用以上定義法求導數，對幾個函數的求導進行練習，習題如下：

該過程主要是實習由舊知到新知的過渡。

2.公式形成

公式的形成是函數的單調性、極值、最值的研究的一個重要手段，這一過程，我也是以問題、學生自主探究形式慢慢形成，有概念形成規律性的知識，主要是一次函數，常函數，冪函數求導公式的數學建模過程。

教師：第一個是什么函數，導數為什么是k？如何解釋

學生：導數的幾何意義是某點處切線的斜率，切線是由割線轉化而來割線是曲線上任意兩點，在第一個函數圖象上任取兩點，割線的斜率即為直線的斜率。

教師：第二個呢？

學生1：在第一個函數中令k=0，即可得。

學生2：從割線的角度理解。

教師：第三個是什么函數？

學生：反比例函數。

教師：那第四個，第五個呢？

這時候學生反映過來三、四、五是同一類函數，冪函數，緊接著，提出問題：是否可以歸納出冪函數的求導公式？下面是5分鐘的小組討論，討論結束后，小組代表上臺講解，讓學生講解，語言可能不太嚴謹，但是可以鍛煉他們的思維能力以及語言表達能力，之后我來進行完善和總結，這樣，經過討論的過程得出的結論，有利于學生的理解。

同時給出其余基本初等函數，如，指數函數，對數函數，三角函數，并說明高中階段，這三類函數的求導公式不需要證明，知識的理解離不開知識的應用，應用是理解必要環節，下面是對公式的基本應用。

3.知識應用

抓住公式的表示形式，結合一定的例題，有助于強化新知。

例1.求下列函數的導數

分析：首先將上述函數歸類為四大基本初等函數：冪函數，指數函數，對數函數，三角函數。

通過該例題的講解，讓學生明白如果沒有特定要求以后求導都是直接利用公式，無需再利用定義法，并且對于一些復雜的函數應將函數轉化為可直接應用公式的基本初等函數的形式。

練習：

變式：的區別。

總結：求導數值的步驟，先求導再代值。

例2. 求曲線在點處的切線方程。

教師：本題研究的是什么問題？

學生1：求導

學生2：在某點出的切線方程

變式1：若直線為函數圖象的切線，求b的值和切點坐標

部分學生還是認為該題型僅僅是求導的問題。

教師：回過頭來看看例題和變式，你們從題目中看到了什么？

學生自主討論，分析并解決問題

總結：曲線，切線，切點三者間的關系：沒有切點，先設切點，切點既在曲線上又在切線上，斜率等于導數值。

變式2：求曲線上的點到直線的最短距離。

尋找曲線，切線和切點，學生小組討論合作，分析并解決問題，采用數形結合的方法。

變式3：證明：過曲線上任何一點的切線與兩坐標軸圍成的三角形面積是一個常數。

教師：如何表示三角形的面積？

學生1：知道底和高

學生2：三角函數面積公式

分析：與兩坐標軸圍成的面積，因此兩種方法是一樣的。

教師：如何表示底和高？

在提出問題，解決問題的過程中，帶動學生的思維，理清學生思路。

4.教學反思

公式的理解記憶，離不開對概念的理解，沒有了理解，核心素養的發展就成了空話，在課堂教學中，要讓學生積極思考，通過問題，引導學生思考，讓學生做課堂的主體，而不是一味地灌輸，或者沒有理解性的灌輸，要注重讓學生經歷觀察，思考，歸納，抽象出數學公式，提升數學抽象、直觀想象等素養，并輔助一些對應的練習和拓展，也不能一味地只是基礎的練習，可以附帶一些思考題，帶著學生一起思考，一起探究，當然了，教師也要精心設計問題，通過問題提出，到問題解決這樣一個過程，讓學生找到成就感，增加對數學學習的興趣，當然也可以讓學生自己組題，自己提出問題，這是我在今后課堂中需要逐步完善的地方，把學生的思維真正帶動起來，通過思考提升學生的綜合能力。