依托數據尋找“變與不變”的味道
——對一道高考數學試題的賞析與教學思考

(廣東省廣州市增城區荔城中學 511316)

楊偉達 (廣東省廣州市花都區第二中學 510820)

每年高考題無不例外都會引起許多數學同行的高度關注和熱議. 2017年高考數學全國卷Ⅰ第20題就引起筆者極大興趣. 細細琢磨不難發現，該試題依托數據運算，蘊含著“變與不變”的味道，本文旨在探索題型的規律，總結解題方法，以拋磚引玉.

1 題目再現

(1)求橢圓C的方程.

(2)設直線l不經過點P2且與橢圓C相交于A，B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1，證明：l過定點.

考點分析本題考查橢圓的標準方程以及直線與橢圓相結合的綜合問題. 從知識層面看，此題考點覆蓋了解析幾何的核心知識，包括橢圓方程、點在橢圓上、橢圓的性質、直線方程、直線與橢圓位置關系、一元二次方程及判別式、韋達定理、斜率公式等；從思想層面看，本題考查了函數與方程、轉化與化歸、數形結合、分類討論等；從能力要求層面看，考查了數據處理能力.學生需具備較高的轉化問題能力、處理復雜表達式的運算求解能力，還需要有穩定的心理素質.

2 思路探究及解答過程

·題目已知條件是什么？結論是什么？未知量是什么？嘗試用自己的語言表述

首先，求橢圓方程其實就是求兩個基本量a,b的問題.四個定點中恰有三個在橢圓上，需要利用橢圓的對稱性進行數據排除處理；其次，直線AB方程的選取、直線AB與拋物線相交、2條動直線P2A和P2B的斜率如何用數學表達式表示.

·常見相關類型題目及解題思路

處理有關直線與圓錐曲線相交問題常見的方法是聯立方程組，利用方程組求解.

·思維障礙

本題涉及四個點如何排除一點，學生沒有見過此題型，一時無從下手；其次，該題看似是熟悉的題型卻涉及3條動直線和2個動點，它們如何表述，特別是動直線AB方程的選取；再次，直線與橢圓相交需要聯立方程組，消元轉化為一元二次方程，涉及字母較多、運算繁雜，學生只能望題興嘆.

解法1(1) 由于P3，P4兩點關于y軸對稱，故由題設知C經過P3，P4兩點.

當直線方程選取點斜式時，學生自然而然能想到解法.其詳細解答過程如下.

化簡為y0=kx0-2k-1,代入直線方程y-y0=k(x-x0),可得y+1=k(x-2),所以直線恒過定點(2,-1).

點評解題過程中，由于直線方程選取點斜式，涉及字母較多、運算繁雜，其方法及解題過程與前一種解題過程基本一樣，不存在另外解法.縱向比較：選取直線斜截式方程顯然更方便.

3 解題后反思

3.1 “變”的模樣

·數據處理說話

本題第(1)問有別于往年的高考題，不似往年利用圓錐曲線的離心率求軌跡問題，而是利用橢圓的對稱性進行數據排除處理，處理后三個定點逐個代入橢圓方程，分別求出2個基本量a,b的值.第(2)問由于直線l方程未標明，所以學生在直線方程的選取方面需要智慧,未知數盡可能少，方便消元，減少繁雜.

·變更條件、編寫題組

高考題常考常新，每一年的高考題都會有不一樣的新面孔.如何把新面孔落實到課堂教學中？當前有一種被稱為有效教學的就是變更條件、編寫變式題，然后進行題組化訓練.其目的是讓學生熟悉考試題型，在短時間內記住題型的解題方法，對提高學生數學分數是很有幫助的.

① 題設條件不變，改變結論的設問方式.

(1)求橢圓C的方程.(2)設直線l定點(2, -1)，且與橢圓C相交于A，B兩點. 求證：直線P2A與直線P2B的斜率的和為定值.(答案：定值為-1.)

② 將題設條件的橢圓改為雙曲線或拋物線，更改一些條件的數值，設問和結論不變.

(1)求雙曲線C的方程.(2)設不平行于x軸的直線l不經過點P2，且與雙曲線C相交于A，B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為0，證明：直線l過定點.(答案：定點為(0，-3))

變式3已知拋物線C：y=ax2，點P(1,1)是拋物線C上一點 .

(1)求拋物線C的方程.(2)設直線l不經過點P且與拋物線C相交于A，B兩點.若直線PA與直線PB的斜率的和為-1，證明：直線l過定點.(答案：定點為 (-1，2))

3.2 “不變”的味道

·不變的通性通法

直線與圓錐曲線的交點問題常常通過聯立方程組轉化為一元二次方程，利用求判別式、韋達定理逐一顯現.這種“獨木橋”式的通性通法在高考中重點考查，不過選取不同的直線方程時會導致解題過程繁簡的差異，特別是在消元和運算求解能力上的要求就更高，涉及字母較多，需要消元，且伴隨繁雜的運算，這些常常是學生高考得分的絆腳石.顯然，運算能力仍然是高中數學重點考查的內容之一，也是高考中突顯選拔、分層功能的重要體現.因此，在課堂教學中學生應加強這方面的訓練，才能有更好的成績.

·不變的題設條件

在歷年高考題中，學生面對“突如其來”的題設需要找到關鍵詞、突破口、拆解的技巧.這些是解題教學中的審題部分.俗話說，“萬變不離其宗”.盡管每一年高考試題都是新面孔，但它們都可以在教材中找到熟悉的影子. 比如在解析幾何的教材中可以找到有關斜率和距離這兩個核心知識塊.形式如下：

①不變的斜率(k為斜率)

k1±k2=m(m為常數)分別來自人教版《普通高中課程標準實驗教科書》選修2-1第81頁練習第5題、選修2-1第74頁練習第3題.

②不變的距離(d為距離)

d1±d2=m(m為常數)分別來自人教版《普通高中課程標準實驗教科書》選修2-1第38頁橢圓定義、第52頁雙曲線定義.

總之,在課堂教學中,對于經典的試題教師應該對學生多一點引導.從不同角度去思考問題,就會得到不同的啟示,出現各種各樣的解法和反思,從而提高學生的解題能力.