題根孕育于教材 優(yōu)解來源于逆探

(江蘇省蘇州市相城實(shí)驗(yàn)中學(xué) 215131)

2010年高考數(shù)學(xué)上海卷第23題第(Ⅱ)問給人以似曾相識(shí)的感覺．仔細(xì)推敲，不難發(fā)現(xiàn)其幾何背景來源于教材，挖掘其蘊(yùn)含的幾何背景，便會(huì)發(fā)現(xiàn)此問的另外一種解法．如果能夠逆向探究，還會(huì)發(fā)現(xiàn)一種更為簡(jiǎn)單的解法．為此，筆者精心設(shè)計(jì)了一堂探究橢圓性質(zhì)的復(fù)習(xí)課，取得了預(yù)期的效果．現(xiàn)將這節(jié)課整理成文，與同行交流．

1 展示考題，初探解法

圖1

師：如何證明E為CD的中點(diǎn)？

生：只要證明點(diǎn)E坐標(biāo)和CD中點(diǎn)的坐標(biāo)相等．

師：如何求出點(diǎn)E坐標(biāo)？

生：可以通過聯(lián)立直線l1和直線l2的方程，求出點(diǎn)E坐標(biāo)．

師：如何求出CD中點(diǎn)的坐標(biāo)？

生：可以聯(lián)立橢圓Γ的方程和直線l1的方程得到一元二次方程，再通過根與系數(shù)的關(guān)系得到點(diǎn)E的橫坐標(biāo)，再把點(diǎn)E的橫坐標(biāo)代入直線l1的方程，得到點(diǎn)E的縱坐標(biāo)．

師：通過上述分析，該題思路比較清晰，下面我們共同完成該題的證明．

方程是曲線的化身，通過方程研究曲線的性質(zhì)是解析幾何的本質(zhì)，這道高考題的解法將解析幾何的本質(zhì)體現(xiàn)得淋漓盡致．但純粹的解析法常因字母運(yùn)算過多導(dǎo)致運(yùn)算過于繁雜，因此，有必要挖掘該題的幾何背景，從而達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的．

2 鏈接教材，追本溯源

圖2

此題較為簡(jiǎn)單，學(xué)生解答過程如下：

學(xué)生解答過程如下：

圖3

師：此題還可進(jìn)行推廣.如圖3，如果將B，C兩點(diǎn)看成是由過原點(diǎn)的直線與雙曲線的交點(diǎn)，上述結(jié)論還成立么？

學(xué)生解答過程如下：

又因?yàn)锽C過雙曲線的中心，可得y2=-y1，

經(jīng)過研究，我們得到雙曲線的一個(gè)性質(zhì)：

師：類比雙曲線的這個(gè)性質(zhì)，你能得到橢圓類似的性質(zhì)嗎？

圖4

師：能否求出這個(gè)定值？

師：橢圓的這個(gè)性質(zhì)，與我們今天研究的高考題是否有著某種聯(lián)系呢？

學(xué)生受到啟發(fā)，得到如下證法：

證法2在圖1中，連結(jié)CO交橢圓于F.因?yàn)镃F過原點(diǎn)，D是橢圓上的點(diǎn)，由橢圓的性質(zhì)可知

圖5

此種證法避免了將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，從而達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的．之所以避免了將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，關(guān)鍵是挖掘出了本道高考題的幾何背景，而此道高考題的幾何背景竟然來源于教材．圖5將該題的幾何背景展現(xiàn)得淋漓盡致．

3 逆向探究，探求優(yōu)解

師：你能寫出該題的逆命題么？

師：上述命題成立么？我們見過該命題么？

生：上述命題是我們見過的一個(gè)結(jié)論，就是橢圓中心與弦的中點(diǎn)連線的斜率與弦所在直線的斜率乘積是定值．

師：該命題的證明使用了什么方法？

生：點(diǎn)差法．

師：請(qǐng)使用點(diǎn)差法證明該結(jié)論．

學(xué)生獨(dú)立完成如下證明：

師：還有其他方法嗎？

學(xué)生經(jīng)過思考和討論，終于得到以下方法：

(正當(dāng)我將結(jié)束這堂課的時(shí)候，突然有個(gè)學(xué)生提出一個(gè)問題)

(學(xué)生提出這個(gè)問題，我始料未及)

師：看來我們不僅學(xué)會(huì)了分析問題、解決問題，而且還學(xué)會(huì)了提出問題．由于時(shí)間關(guān)系，這個(gè)問題作為今天的作業(yè)，請(qǐng)同學(xué)們課后探究．

4 課后探究，擴(kuò)大戰(zhàn)果

現(xiàn)把學(xué)生研究的兩種解法展示如下.

③+④得b2(x1-x0)(x1+x2)+a2(y1-y0)(y1+y2)=0. ⑥

③+ ⑤得b2(x2-x0)(x1+x2)+a2(y2-y0)(y1+y2)=0. ⑦

⑥+⑦得b2(x1+x2)2+a2(y1+y2)2=0.因?yàn)閍>b>0，所以y2=-y1，x2=-x1，即直線BC過原點(diǎn)．

5 課后感悟，總結(jié)反思

(1)新課標(biāo)下解析幾何新認(rèn)識(shí)

解析幾何的基本思想是用方程研究曲線的性質(zhì)，傳統(tǒng)的解析幾何試題著重考查解析幾何的基本思想，長(zhǎng)期以來給我們的印象是不用代數(shù)方法解題就不是解析幾何．新課程下，由于一元二次方程根與系數(shù)不斷弱化，取而代之的是把幾何背景的挖掘放在了首位．而解析幾何中很多問題的幾何背景并不是無本之木、無源之水，而是來自于教材和以往的高考題、競(jìng)賽題等．教師平時(shí)要以教材、各類試題為素材，從各個(gè)角度挖掘解析幾何問題的幾何背景，才能產(chǎn)生更多生動(dòng)活潑、多姿多彩的解法．

(2)重視教材的作用

好的高考試題不一定都是新題，往往是來源于課本而又高于課本，有些是形不似而神似，有些是形似而神不似．“問渠哪得清如許，為有源頭活水來”，通過對(duì)教材習(xí)題的變式、推廣、拓展、類比，使之變?yōu)楦呖荚囶}，不僅能夠引導(dǎo)教師和學(xué)生重視教材的作用和基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)，而且能夠培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新能力．

(3)復(fù)習(xí)課應(yīng)該組織有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)

當(dāng)前教學(xué)中，個(gè)別教師缺乏對(duì)試題的深入研究，僅僅是就題論題、平鋪直敘地進(jìn)行教學(xué)，不注重教材與高考試題的聯(lián)系，教學(xué)環(huán)節(jié)呆板，不能有效地組織數(shù)學(xué)活動(dòng)，學(xué)生的主體地位發(fā)揮得不夠．長(zhǎng)此以往，學(xué)生的思維能力得不到發(fā)展，勢(shì)必導(dǎo)致解決問題的能力下降．因此，教師應(yīng)當(dāng)深入研究試題的本質(zhì)，研究題目與題目之間的聯(lián)系，設(shè)計(jì)合理的教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生的思維能力在數(shù)學(xué)活動(dòng)中得到提高．

(4)在教學(xué)中實(shí)現(xiàn)教研相長(zhǎng)

“學(xué)而不思則罔，思而不學(xué)則殆”，這是就“學(xué)”與“思”而言的.其實(shí)，“教”與“研”也是如此：“教而不研則罔，研而不教則空”．上海卷的這道題目其實(shí)就是我們常用的一個(gè)結(jié)論的逆命題，相信一線教師都知道這個(gè)常見命題的證明方法，筆者在很多雜志上也看到過這個(gè)結(jié)論.然而，估計(jì)很少人去研究這個(gè)結(jié)論的逆命題如何證明．上海卷選用這道題體現(xiàn)了命題人的良苦用心，為我們一線教師的教研敲響了警鐘．在教學(xué)中，我們要積極投入到教研中去，把日常教學(xué)作為我們研究的素材，用研究成果指導(dǎo)我們的教學(xué)，不斷提高自身的專業(yè)素質(zhì)．