思考能否再深入一些 設計能否再大膽一些
——對“有理數乘方”教學設計的再思考

(上海市嶺南中學 200435)

拜讀了秦嶺老師發表在《中學數學月刊》2019年第5期上《“有理數的乘方”教學實錄與反思》[1]一文后受益匪淺，既從“目標定位”“重難點把握”“教學設計”“問題設置”“課堂組織”和“規范表達”等教學環節中感受到秦老師深厚的教學功底，也從“以憤悱情境激發求知欲”“以概念生成突出過程教學”“以探索活動強化學習方式”“以個性化教育彰顯分層教學”和“以主動建構發揮主體作用”等教學活動中深刻體會到“在教學中加強實踐與理念融合”的重要性與前瞻性，更對如何“從基于學生的數學基礎出發設計出能激發學生強烈探究動機的活動情境”和“引導學生自我發現新知認識新知運用新知”的“教材二次開發”的做法有了深刻感悟．總之，這是一篇不可多得且創新味濃的教學設計，具有較強的啟發性，值得借鑒！不過反復品味后，也有一些不成熟的思考，愿與秦老師探討．

1 探討之處

1.1 主體作用的發揮能否再充分一些

案例回顧關于“乘方概念引入”的教學，秦老師創設了“求每30分鐘分裂一次的一個細胞經過5個小時分裂后的總數”問題情境，在通過問題驅動引導學生得出總數為2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2后，秦老師強調：為了書寫方便可把結果記為210，并給出了an定義及底數、指數與冪等相關概念(詳細過程請參閱文[1])．

案例分析雖然情境問題是由學生獨立解決的，但乘方概念卻是由教師直接拋出，有灌輸嫌疑，未能引導學生深入參與概念的建構過程，主體作用并未得到充分發揮．

教學建議在得出2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2的細胞分裂總數后，教師適時指出此種表示方法不夠簡練，然后拋出問題：同學們有沒有簡易的表示方法呢？(甚至可提出“5天后、5個月后分別分裂出多少個細胞”以進一步增強學生對用乘法表示過于繁瑣的直觀感受，強化尋求簡易表示方法的必要性與迫切性．)

經過思考，學生若能提出類似乘方的表示方法，自然要不吝贊美之詞多加激勵(不貼切之處可通過舉反例驅動問題，引導學生逐步完善)；若不能，則可借助小學學過的邊長為a的正方形面積a2與正方體體積a3啟發學生進一步思考，并指出a, 2與3所表示的意義，引導學生得出2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 210，進而給出乘方的意義．

設計說明如此一來，乘方的表示方法是學生的成果，是由舊知遷移而得.有了主動探究的建構過程，對完善學生的認知方式與提升轉化能力無疑影響深遠．其實，底數、指數與冪的名稱不妨也讓學生嘗試獨立命名．雖然學生未必能給出教材的形象定義，但經過獨立思考大膽嘗試后，再與教材的科學名稱進行優劣對比剖析，不僅有利于學生加深對概念的記憶與理解，而且還能提高語言的規范表達能力，可謂一舉多得，何樂而不為？筆者的教學實踐就表明，學生把210中的2與10分別稱為“同因素”和“因個數”的命名也頗為形象，充分展現了學生的理解能力與學習智慧，對培養他們的創新思維自然也大有裨益．

1.2 自主探究的力度能否再大一些

案例分析從特殊值的計算中獲得猜想，再借助乘法法則加以說理，從而得出一般規律，是一種主要認知方式，符合初中生的認知水平，本無可厚非(況且秦老師已把常規的按底數符號分類計算的方式進行了綜合化處理，加深了對乘方符號法則的觀察與歸納難度，有利于學生發展性學力的培養)．但正如文[1]所言，乘方符號法則是以填空形式完成歸納的，學生有被牽著走之嫌，探究的自主性自然大打折扣．另外，筆者總覺得此設計缺少升華，沒有把乘方符號法則的應用性與優越性(先確定冪的符號再把底數的絕對值乘方)凸顯出來，令人稍感惋惜．

教學建議鑒于面對的是基礎較強的特色班學生，不妨通過下列環節引導學生自主學習．

問題你能確定an(n為正整數)的符號嗎？有什么規律？為什么？

若學生回答有困難，可通過“an的符號是由哪些條件確定的”啟發學生理解a的符號及其個數(即n的奇偶性)是確定an的符號的兩個至關重要的因素．

引導學生從乘方的意義和乘方運算的符號法則兩方面切入思考，主要目的在于強化“先定符號再求值”的乘方計算優化策略．

思考若an=|a|n對一切正整數n均成立，則a的取值范圍是；若an=-|a|n成立，則a的取值范圍是，n滿足的條件為．

設計說明該設計雖然還是通過問題驅動學生思考，但思考的主動性更強、思維量更大、思維度更深，既有助于學生吃透乘法與乘方間的特殊關系，又有利于學生理清“定義—性質—應用—提升”的新概念學習脈絡，掌握新概念學習的思維方式，進而強化學習能力的提升與發展．另外，此處常有教師借助(-a)n=-an來說明n為正奇數．不過筆者覺得此處選用時機并不成熟，因為若用底數為-a來解讀雖然不存在原則上錯誤，但容易引發學生把-an錯作負數的隱患；若進一步說明-an的正負還與a的取值有關，對于初學者來說未必真正能吃透，有人為加大難度且偏離教學重點之嫌．而待到學過“積的乘方等于乘方之積”后，借助(-a)n=(-1)nan= -an說明卻簡單明了通俗易懂，所以此處不必過度設計，以免弄巧成拙．

1.3 分析能否再透徹一些

案例分析因為a2=|a|2=|a|·|a|，所以原問題就轉化為“一個數的絕對值乘以本身的絕對值后是變大？不變？還是變小？”由|a|·|a|>|a|得|a|(|a|-1)>0，所以|a|>1，即a<-1或a>1；若|a|·|a|=|a|，得|a|·(|a|-1)=0，則|a|=0或|a|-1=0，所以a=0, -1, 1；若 |a|·|a|<|a|，類似可得-11時，a2>|a|；當a=0, -1, 1時，a2=|a|；當 -1

教學建議在學生借助三個特殊值得出不能判定a2與|a|大小后，可進一步追問：當a滿足什么條件時，a2>|a|？當a滿足什么條件時，a2= |a|？當a滿足什么條件時，a2<|a|？把學生的思維引向對問題本質的探究；再借助等價問題(即一個數的絕對值乘以本身的絕對值后的大小變化情況)作鋪墊，并放手讓學生大膽猜想與相互討論，最后通過解絕對值不等式，引導學生逐步得出正解．

設計說明也許文[1]覺得上述求解過程需用到解一元二次不等式和一元二次方程的思想，超出了學生的認知范圍，故沒有深入挖掘．其實上述解絕對值不等式的過程也可運用所學過的相關知識加以理解，學生完全可以接受．如|a|2-|a|=|a|(|a| -1)就可借助逆用“乘法對加法的分配律”來解讀、由|a|(|a|-1)>0得 |a|-1>0就可借助“兩個數相乘，同號得正異號得負”來說明．退一步講，若學生真無法理解，那么文[1]選用本問題的做法就值得商榷(既然講不透那就不如不講)，因為按照文[1]蜻蜓點水式的處理方式，不僅會給學生造成對知識的片面認識，甚至引發誤解，為今后的學習埋下隱患，而且還不利于刨根問底式思維習慣的養成和“問題分析—處理策略—本質挖掘”的“三段式”問題處理方式之完善，對學習力的發展弊大于利也．

2 隨想之筆

毋庸置疑，文[1]是一份較為成功的教學案例，主要得益于秦老師能用先進的教學理念對教材進行深度的“二次開發”，設計出符合學生認知水平的創意，為上好課奠定了扎實的基礎．那么對教材“二次開發”時，除了關注常規的教材分析(學材地位、目標確立、重難點界定等)、學情分析(認知基礎、思維習慣、學習能力等),過程設計(新課引入、新知探究、應用反饋、歸納提升、課堂小結等)和作業選材(落實基礎、有機分層、突出能力等)等環節，還需在哪些方面精雕細琢呢？

2.1 選材的意義何在

除了教材內容外，執教者常常會選取一些課外素材來充實課堂教學，至于如何選材則需在選材目的上反復琢磨．從表面上看，選材是為了落實新知、突出重點、強化應用，但更深層面的思考卻要關注學習方式的完善與思維能力的培養．如文[1]在“圍繞乘方意義突出變式訓練”環節所選的“把-4×(-4)×4×4×(-4)×4寫成乘方形式”一例及其處理方式就值得點贊，在強化乘方概念運用和新舊知識遷移的同時，還針對學生易錯點巧設陷阱，借助課堂生成的糾錯情境，放手讓學生辨析，理清(-4)6與-46的區別與聯系，彰顯了從正反兩方面學習概念的認知方式，強化了思維的嚴謹性與綜合性，突出了運用舊知解決新知的轉化能力．

2.2 設計的科學性如何

教學設計是根據課程標準的要求和教學對象的特點，將教學諸要素有序安排，確定合適的教學方案的設想和計劃，既含有關聯章節與課堂推進的整體設計，也包括環節實施與知識點落實的節點設計．其中，整體設計需重點關注教學內容的完備性、活動的層次性和過程的流暢性，而節點設計則至少需從以下幾方面反復推敲．

首先，情境創設是否源于學生生活？熟習的情境為學生的觀察、操作和理解提供了便捷，為盡快切入主題學習(如概念生成、性質挖掘和規律探索等)打開了通道．如文[1]的“細胞分裂情境”與“對折紙情境”均來自于學生的學科學習與生活感悟，既貼近生活，又易于理解，為進一步探究奠定了扎實基礎．

其次，新知學習是否突出生成過程？正如文[1]所述：“概念教學的核心是概括，要將凝結在概念中的數學家思維打開，以典型、豐富的實例為載體，引導學生展開觀察、分析各事例的屬性，抽象出共同的本質屬性，形成數學概念，展示生成過程．”但遺憾的是，文[1]只是設計了一個激發“憤悱”的“細胞分裂”情境，乘方概念生成是由教師直接包辦，學生并沒有參與建構之中．相反，筆者增加“求5天與5個月后細胞分裂數”的改進設計既突出了引入乘方概念的迫切性，又提供更多觀察素材，為新知生成創設了有利條件；特別是借助學生熟知的a2,a3引出an，實現了舊知到新知的完美遷移，強化了學生參與乘方概念的建構過程(詳見前文)．坦誠而言，該改進設計也不盡完善，還有不少值得改進之處，在此也特別期待更多有更智慧的、能凸顯乘方概念生成過程的設計不斷涌現，以造福廣大師生．

另外，本質挖掘是否具有探究味？所謂“探究味”就是指經歷“情境觀察—動手操作—大膽猜想—推理論證—歸納總結”的自主活動過程，顯然文[1]對乘方運算的符號性質學習基本呈現了這一過程，體現了一定的“探究味”，只是探究力度略顯不足，但基本思想與設計模式依然值得借鑒．

最后，問題處理是否指向發展性？眾所周知，數學教學是以知識學習與問題解決為載體，著重培養學生的思維模式和學習能力．可喜的是，文[1]所有問題都是放手讓學生獨立處理，教師只是適時作適當引導，在充分尊重學生的主體性和教師的主導性基礎上，突出了學生的思維發展；特別在課堂反饋環節中，設置了“可供不同層次學生選擇的層次性作業”，有效地彰顯了學生的個性化發展．不過，在個別能力發展點上文[1]的設計也有未能盡善盡美之處，學法指導力度稍顯不足，在“授人以漁”方面考慮欠周.如處理“一個數的平方與其絕對值大小比較”問題時，只是發揮了學生的想象能力，借助特例簡單說明，沒能從“比較差值法”入手，滲透比較大小的通性通法，追求“以題會類”的教學效果，錯失了一次提升學生發展性學力的大好時機．

2.3 難點突破與否

筆者以為教學難點主要有認知上的盲點、運用上的易錯點和設計上的困惑點，據此可知“有理數的乘方”主要有“對-an的理解與運用”和“乘方概念生成設計”兩大難點．至于第一個難點，文[1]通過設置“把-4×(-4)×4×4×(-4)×4寫成乘方形式”問題情境并放手讓學生探索，在相互糾錯中一舉獲得了突破，體現秦老師深厚的教學功底與超強的智慧．對于第二個難點，文[1]所設置的“細胞分裂情境”和“書寫麻煩的困惑”只能說明引入乘方的必要性，但至于怎么想到引入an卻沒能從學生熟悉的a2,a3有效遷移，導致難點突破變成教師口頭代辦，這點值得商榷．

當然，教材的“二次開發”需要反復斟酌的點還有很多，只要大家做個有心人，以先進的課程理念為指導，以“吃透”教材為基礎，重點落在“知識生成處”“難點突破處”和“能力發展處”，就一定能設計出更多象文[1]一樣的好課，上出不同尋常的精彩．

應當指出的是，本文雖然對文[1]的部分設計提出了不同的看法，但只是閱歷不同的執教者從不同角度的解讀，并不代表原設計就一定存在瑕疵，僅供參考．況且兩者孰優孰劣，只有授課對象才能真切感受，因為“唯有適合的才是最好的”，這也正是因材施教的魅力之所在！