促進思維深度參與的章復習課設計
——以“銳角三角函數”為例**

(江蘇省無錫市西漳中學 214171)

葉亞美 (江蘇省無錫惠山區教師發展中心 214174)

章復習課怎么上這個問題一直困擾著一線教師：是幫助學生用框圖的形式將知識點再羅列一下？還是重點題型再“炒一下冷飯”？抑或是借助幾道難題提升學生的綜合運用能力？2018年11月江蘇省基礎教育青年教師教學基本功大賽數學學科比賽的課題是“銳角三角函數”章復習課，筆者有幸參加并獲得一等獎．賽后，筆者深思：章復習課應以何為核心？如何設計？就此，筆者以“銳角三角函數”為例談一些自己的做法，供同行探討.

1 對“章復習課”的初步認識

在單元教學研究中，一章教學大致可以劃分為章首課、章中課和章尾課三個教學單元．章復習課是章尾課的重要課型．從學生知識學習的正常進程來說，先是零散地積累，由薄到厚；后是系統梳理，由厚到薄．章復習課的基本任務就是系統梳理，基本目的就是讓所學知識由厚到薄．在這樣的過程中，知識結構要建立，思維方式要顯現，思想方法要感悟到，學習方法結構要形成，學生的數學素養要獲得培養和提升．

如此看來，章復習課是指在一章教學的最后，幫助學生建構整體知識結構和學習方法結構，在知識綜合運用的過程中感悟知識價值、訓練數學思維和提升數學素養的課型．它要求學生思維要深度參與、情感體驗要深切卷入、智慧領悟獲深遠啟迪，這也是目前“深度學習”領域重點關切的三個方面．其中，思維的深度參與既符合數學學科的本質特征——抽象性和嚴謹性，又是情感深切卷入和智慧深遠啟迪的基礎，因此，其處于核心地位．

章復習課如何設計才能有效促進思維的深度參與呢？筆者認為，首先要“整體分析，建構整體知識結構”，其次要“把握學情，建構學習方法結構”，最后要“科學設計，突出價值提升素養”．

2 章復習課的設計路徑

2.1 整體分析，建構整體知識結構

復習課首先要做的是對知識和方法的重組，建立知識結構．復習前的知識往往孤立、分散、無序、存在認識模糊的概念，復習時以再現、澄清、整理、概括的方式串成線、連成片、結成網，使其縱橫聯系，形成條理化、系統化的知識結構．理順數學知識之間的邏輯順序、呈現數學知識之間的實質性聯系，思維必然深度參與．

這里，我們首先需要對一章所學的內容作整體分析．例如，“銳角三角函數”一章在蘇科版九年級下冊第三章，內容包括：銳角三角函數的定義、函數性質、特殊角的三角函數值、解直角三角形(在數學內部的運用)、用銳角三角函數解決問題(在數學外部的運用)等五個部分．重點是解直角三角形，因為用三角函數解決問題的核心仍在于構造并解直角三角形．本章之前是“圖形的相似”，本章是以“圖形的相似”為基礎建構起來的，而三角函數的初中定義，其原理是相似的性質．一般來說，凡是可以用相似解決的問題都可以通過三角函數的運算加以簡便地解決，體現了數學知識發展的優越性．如此，就把握了本章的整體知識結構(圖1)．

圖1

教師通過分析建立了一章知識的整體結構，才能通過教學環節的對應設計，逐步帶領學生建立起一章知識的整體結構，促進學生思維的深度參與．

2.2 把握學情，建構學習方法結構

“要注重培養學生良好的數學學習習慣，使學生掌握恰當的學習方法．”[1]學生的數學學習不僅包括數學知識的學習，還包括對數學學習方法的學習．尤其是在新知識學習結束后，具備了對知識學習過程、方法和策略進行反思的基礎，有必要對學習的過程進行“復盤”、對學習的方法進行總結、對學習的成效進行評價，深入到“用數學的方式理解數學”“用數學的思維方式進行思考”的底層思維．在這樣的過程中帶領學生領略在學習過程中經歷探索、發現數學之內在規律及其美妙所獲得的無法言語的快感，感受數學學習內在的魅力[2]．章復習課通過建構學習方法結構，可以幫助學生領略數學學習的內在魅力．

在復習“銳角三角函數”一章時，學生已經具備了基本的探尋知識之間內在聯系的能力和綜合運用所學知識解決問題的能力，在抽象能力、推理能力、探究能力等方面已經發展到相對比較成熟的水平．經過一章的學習，知識零散地儲存在學生頭腦中，有些模糊不清的地方(對銳角三角函數直角三角形前提的淡忘)、似是而非的地方(對正弦和余弦的混淆)、回憶不起的地方(對特殊角的三角函數值的遺忘)；有些能力(從實際問題中抽象出三角函數模型的建模能力，構建直角三角形的基本圖形的構造能力等)掌握得還不夠熟練．學生對于三個銳角三角函數的代表，即正切、正弦、余弦之間的內在聯系以及邊角關系的深入思考還不夠透徹．這些學情呼喚著對學習過程的“復盤”，深思數學學習的方法．

三角函數概念在初中數學中是借助“直角三角形”這一幾何直觀來定義的，一般來說，看著圖形就能聯想與之有關的所有知識．幾何直觀是學習銳角三角函數、解決遺忘混淆問題的重要方法；解直角三角形是解一般三角形的基礎，通過轉化，把解任意確定的三角形轉化為解直角三角形，其中的構圖、建模等關鍵能力需要在由特殊到一般的歸納過程中進行強化．由此可見，學習銳角三角函數的基本方法是幾何直觀和歸納法，據此建立起本章的學習方法結構(圖2)．

圖2

2.3 環節設計，突出價值提升素養

文獻[3]指出：現代數學教育，已經從關注知識技能轉向關注核心素養，從關注“教得完整”“學得完整”走向“發展得完整”．這些完整的過程，首先是在學習數學的過程中掌握“四基”，其次是在應用數學的過程中提高“四能”，然后是在學習與應用數學的兩個過程中整體達成“數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析”的目標[4]，最終實現“用數學的眼光觀察世界、用數學的思維思考世界、用數學的語言表達世界”的素養要求．章復習課主要是對學習數學過程的反思和對應用過程的體悟，教學立意更要關注知識的應用價值、思維訓練價值(思維品質、高階思維能力和創新精神的培養)，以及知識運用中所蘊含的思想方法，進而發展學生的數學素養．

三角函數很好地建立起了“形”和“數”之間的聯系，更好地體現和運用了“數形結合”的思想方法，對綜合培養學生“四能”和“符號意識”“幾何直觀”“推理能力”“模型思想”等有重要價值．為此，“銳角三角函數”章尾復習分解為兩個課時．第1課時定位于：基礎性、系統性、整體性、綜合性，基礎知識的系統梳理和內部關聯，基本技能的選擇和綜合，關鍵能力的訓練，核心方法的提煉，基本思想的體悟和鞏固；第2課時定位于：方法性和思想性，基本思想“模型思想”在實際問題中應用的深入研究．因此，第1課時目標確定為：(1)通過梳理整章基礎知識，理解知識之間的內在聯系，形成知識結構；(2)通過典型問題分析，提煉基本方法，訓練關鍵能力，夯實技能基礎；(3)經歷問題解決的過程，鞏固“模型思想”．其中重點為目標(1)，難點為目標(2)．為了激活學生思維、突破難點，準備采取啟發式教學和小組合作式學習的教學法實施教學，設計簡案如下．

·環節1——復習回顧

問題1 你能畫出圖形解釋你的運算依據嗎？

說明幾何直觀：用圖形來描述和分析問題．數形結合就是一種重要的幾何直觀，是數學學習的重要方法，有直觀整合的優越性，需要貫穿在數學教育的始終．同時，章建躍先生指出：數學中，研究特例具有特別的意義．通過兩幅特殊的直角三角形圖形(圖3)解釋運算依據，既回憶了三個三角函數的定義(一般性寓于特殊性之中，對特例的研究是對數學對象認識的深化)，又可以感悟利用圖形記憶特殊角三角函數的優越性，強化基本圖形的意識(很多復雜的圖形可以轉化為基本圖形解決，基本圖形扮演了轉化目標的作用)[5]．

圖3

問題2 畫一個直角三角形，你能發現銳角α的三個三角函數之間的關系嗎？

說明在一個直角三角形圖形中，既揭示同一個銳角三個銳角函數之間的內在聯系，又區分不同的銳角三角函數，幫助學生澄清混淆的地方，如圖4．

圖4

問題3 你能在上圖中寫出直角三角形中所有的數量關系嗎？

說明在圖形中回顧和梳理三角形的三邊關系、三角關系和邊角關系，“建立形與數的聯系，利用幾何圖形描述問題，借助幾何直觀理解問題，運用空間想象認識事物”,這是直觀想象素養的主要表現，是幾何直觀的主要內涵.這些認識不是告訴學生的，而是要通過一個個具體例子讓學生經歷、體會，不斷強化，最終頓悟到．

(2)練習：在△ABC中，∠C=90°．

1)已知∠A=30°，BC=8 cm，求AB和AC的長；

問題1 結合上面的求解過程，請你回憶：什么是“解直角三角形”？

問題2 兩個直角三角形全等要具備什么條件？據此，你認為在直角三角形的已知元素中，哪種情況是解不出其他未知元素的？

說明通過兩個簡單的練習喚醒學生對“解直角三角形”的記憶，通過追問復習其定義，區分可解的直角三角形與不可解的直角三角形，歸納出解直角三角形的必要條件——已知元素中至少有一邊，進而與全等的本質“確定”相聯系．

·環節2——典型例題

變式2 等邊三角形的邊長為a，求它的面積．

思考1：從三角形全等的角度來分析一下，為什么這三個問題都是可解的？

思考2：這三個問題都不是直角三角形，為什么也能解出來？

說明在基礎問題中領悟知識本質、挖掘基本方法、滲透基本思想．變式：從特殊到特殊再到一般的探索，引導學生在歸納中強化構造直角三角形進行轉化的意識．思考：發現全等的本質是形狀大小都一樣，意味著一個三角形確定了，確定就是可解的.這樣的意識在解題中有利于不解出具體值而迅速打通思路，有必要在日常解題教學中滲透這種“確定性”意識．同時，與全等關聯，說明章尾課不僅統領一章，而且把本章與同類模塊關聯，全章完整、前后貫通．

例2證明：銳角三角形的面積等于兩邊長與其夾角的正弦值的乘積的一半．

思考：你能根據變式2解釋菱形面積的對角線公式嗎？

說明這兩個例題都指向目標(2)，從例1到例2，進一步考慮更一般的問題．例2是本節課的難點，為突破難點，師生活動采用：自主探索、小組合作、小組展示；各組巡視、點撥引導、評價概括．例2及其兩個變式，基本方法不變，都是構造“解直角三角形”的基本模型．在這樣的過程中，體悟“模型思想”，同時與高中正弦定理、菱形面積相關聯，打通數學內部不同知識之間的內在聯系：三角函數—直角三角形—高—面積，知識不斷結構化．

·環節3——回顧小結

(1)經過本節課的復習，你對三角函數有了哪些新的認識？

說明復習應該是知識的再認識，方法的再提煉，思想的再升華，能力的再提高[6]．試圖引導學生認識到:復習的時候要對所學知識之間的內部聯系有新的認識，對數學知識中所包含的思想方法有新的認識，對數學內部不同知識之間的聯系有新的認識．

(2)你認為下一節課，我們應該重點復習什么？

說明引導學生認識到，除了要對三角函數在數學內部的作用和價值有新的認識之外,還要對三角函數在數學外部的作用和價值有新的認識．

2.4 設計說明

本節課所有例習題都來自教材(蘇科版、人教版)，從基本題入手，探究變式，思考追問，逐步拓展．教學材料具有啟發性、生成性，每個例習題都需要畫圖，在幾何直觀中發現問題解決的線索，不斷強化幾何直觀的方法；每道例題都有變式，在從特殊到一般的歸納中引領學生再發現、再創造，不斷強化歸納的方法；變式之后都有思考追問，在追問中觸及本質，引導學生體悟知識的本質、應用的方法和價值．于是，在常規基礎題中夯實通性通法，從知識結構到學習方法結構再到思想感悟，知識的應用價值和思維訓練價值就呈現了，在這樣的過程中，帶領學生逐步觸及數學素養，思維是深度參與的．

本節課例2為高中階段的正弦定理的學習奠定了堅實的基礎．文獻[4]中指出：“不僅要針對本單元前面所學內容鎖準單元目標、深化知識內涵、探求知識聯系、建構知識體系、積累解題方法、提升數學素養，更要把本單元融入同類單元知識板塊，為后續初中階段、高中階段同類單元學習奠定更堅實的基礎，埋下更自然的伏筆．”由此可見，章復習課需要具有“前瞻后顧”的整體視野，選擇或設計恰當的教學材料，既是已學知識的自然運用，又為后繼學習埋下“自然的伏筆”．

3 結語

裴光亞先生在文獻[3]中說：“直觀過程、豐富的感性經驗是理解和掌握抽象理論的必要條件．”章復習課的教學材料應該用“好的具體問題”引發學生興趣、激活學生思考，反映數學本質、勾聯內在關系、突出關鍵能力；用直觀的過程為學生提供豐富的感性經驗，給學生充分的時空，引導學生細膩體悟，構建數學學習的路線：從具體事例中發現共性、獲得猜想、給出證明、類比遷 移、靈活變通.如此，學生的思維參與必然是深度的．

章復習課的價值在于讓學生于孤立的課時教學后，從章、單元的整體角度重新建構知識間的脈絡聯系、發展方向．限于篇幅，本文呈現了章復習課的設計路徑．事實上，章復習課與其他章尾課，章尾課與章首課、章中課之間如何整體建構，教學情境如何邏輯連貫、一以貫之等都是后繼系統研究應該關注的重要話題．