思維行云流水 概念水到渠成
——以“平面向量的概念與表示”為例

(江蘇省蘇州中學 215006)

《高中數學課程標準(2017年版)》中將高中數學核心素養確定為數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析，其中數學抽象素養位列六大素養之首.不可置否,概念教學是培養學生數學抽象素養的重要內容.但長期以來，受應試教育模式下形成的“重結論、輕過程”的影響，許多教師認為既沒必要也不值得花時間在概念的發現、形成和發展上，取而代之的是照本宣科，把形成概念的生動過程變為“結論+練習”，與新課標所強調的“學習數學的過程不僅是一個接受知識的過程，而且是一個發現問題、分析問題、解決問題的過程”理念背道而馳．

因此，摒棄舊的教學方法，重視概念的產生和發展的教學切合新課標的精神．那么如何避免生搬硬套地強行代入，水到渠成地引出數學概念，如何在探究概念的過程中有效提高學生的思維層次，逐步培養學生的數學抽象素養是我們教學中亟待解決的問題．筆者觀摩了“2018年蘇州市區青年數學教師優質課評比活動”中劉煒老師執教的蘇教版《普通高中課程標準實驗教科書·數學(必修四)》中“平面向量的概念與表示”，結合近期閱讀的美國比茲堡大學關于數學課堂教學研究成果中七條保持高思維水平的教學方法，即：(1)給思維和推理“搭腳手架”；(2)為學生提供元認知方法；(3)示范高水平的操作行為；(4)維持對證明、解釋或意義的強調；(5)任務建立在已有知識基礎上；(6)在概念間建立聯系；(7)適當的探索時間，真正體悟到了“思維行云流水，概念水到渠成”．下文將根據部分教學片斷，結合七條準則(以下準則內容用數字表示)談談對概念教學的幾點拙見．

1 教學片斷

1.1 發現問題——向量概念的形成

問題1“從生活到數學”——圖象展示五個蘋果和手掌，引導學生抽象出數字5．

問題2“萬物皆數”——圖象文字展示畢達哥拉斯學派，提問學生是否每個對象都能用一個數來表示？

問題3“成語故事講解”——圖象文字展示退避三舍，提問學生“直退三舍”的命令能否用一個數來表示？

問題4根據中央氣象臺天氣分析氣流圖，提問學生江蘇所在位置上的“刷子”形狀描述的是什么？

學生回答問題2、3不能用數表示，問題4表示風力和風向．

師：那么風力和風向所蘊含的內容能用一個數來表示嗎？

生：不能．

師：很好！我們發現不是所有的對象都能用一個數來表示．那么具有上述特點的對象我們以前碰到過嗎？比如在物理學上有類似的概念嗎？

生：位移、速度、加速度、力．

師：所以我們發現這些量的共同特點是——

生：既有大小又有方向．

師：這樣的量不能用一個數來表示，而我們從不同的對象中抽取出相同的特點時，我們就能夠抽象出新的數學對象.那么既有大小又有方向的量叫什么最合適呢？想想漢語的凝練，這些有方向的量可以稱為什么？

生：向量．

評析上述教學過程總共歷時4分鐘，做到了七條準則中的第1,5,6,7條．從生活談起，抽象出“數”，從一般到特殊提出質疑是否所有的對象都能用數表示，給“思維和推理搭腳手架”，再在問題串的設置下發現問題得到新的對象，這是建立任務在已有知識基礎上．教師只負責提問，問題內容豐富涉及生活、歷史、數學文化等，且問題設置層層遞進，水到渠成，通過教師的準確引導學生獨立做到了對概念的高度概括和準確表達，整個過程體現了學生高層次的思維水平．

1.2 概念探究——向量概念的外延和內涵

師：中華文化源遠流長是因為我們傳承了文字、有了表示，那么對于數學的對象我們有沒有表示？

提出問題：如何在方格紙上表示從A到B的向量．

學生上黑板作圖,以A為起點，B為終點，畫帶箭頭的線段．

生1：兩點間的距離可以用絕對值．

師：很好！那么這個符號可以再借用一下嗎？(停頓約30秒，大部分學生點頭示意)借來以后怎么跟距離區別呢？

提出問題：向量能否比較大小，向量的模的取值范圍是多少？

教師引導學生觀察不同方向不同大小的向量，學生熱烈討論，得出向量不能比較大小，向量的模的取值范圍是[0,+∞)．

提出問題：根據向量的模的取值范圍，我們把長度為0的向量稱為零向量，記為0，長度為1個單位長度的向量稱為單位向量．那么它們的方向有什么特點？

學生得出以A為起點的單位向量的終點在一個單位圓上，而學生對零向量的方向意見不一.教師歸納零向量的意義是起點與終點重合，其方向是任意的．

師：非常好，那么從平面直角坐標系來看，還可以描述為——

生3：向上4個單位，向右3個單位．

操作：教師請學生上黑板作圖，師生共同討論得到相等向量、共線向量(平行向量)、相反向量的概念及意義(表1)．

表1

評析在向量的概念探究部分，教師運用到了七條準則中除第4條外的六條．通過“搭腳手架”，為學生提供元認知方法，使學生自然而然得到了向量的幾何表示，并沿用箭頭的記號獲得向量的符號表示；通過示范高水平的操作行為幫助學生定義向量的模的概念，并探究了模的特點．講解向量的方向時，教師總結了單獨的描述方法并引導學生概括出系統的描述方法，有了對大小和方向的充分理解后，將任務建立在已有知識的基礎上；通過上黑板作圖、師生討論，進一步研究了相等向量、共線向量(平行向量)和相反向量，使學生在此過程中理解向量概念的外延和內涵．

1.3 數學聯結——概念辨析及典型例題

·概念辨析

辨析1判斷下列說法是否正確：

(1)溫度是向量；(2)0是向量；(3)零向量的長度是零，方向可以是任意的；(4)|a|與|b|是否相等與a,b的方向無關．

辨析2判斷下列說法是否正確：

(1)若兩個向量模相等，則兩個向量相等；(2)模相等的兩個平行向量是相等向量；(3)若a=b，b=c，則a=c；(4)任意向量都與其相反向量不等．

辨析3判斷下列說法是否正確：

辨析4判斷下列說法是否正確：

(1)模為零的向量是零向量；(2)兩個向量不能比較大小；(3)向量a與b不共線，則a與b都是非零向量；(4)有相同起點的兩個非零向量不平行．

·典型例題

例1已知O為正六邊形ABCDEF的中心，在圖1中所標出的向量中：

圖1 圖2

評析第一部分概念辨析中，教師以游戲的形式將班級分成四組，讓學生選擇題組回答，四組試題分別是對向量的概念、相等(相反)向量、共線向量和零向量的辨析．第二部分典型例題，教師請學生上黑板作圖,讓學生在向量的幾何表示中理解相等向量和共線向量．此環節運用到了七條準則中的第4,7條，教師在學生遇到困難時，不主動給出答案，而是運用課堂已研究的問題，多次強調向量的基本概念，給予學生充分的思考時間，引導學生作出正確的回答．

表2

2 課堂分析

表2從橫向看，概念探究環節有6個高思維水平的教學方法，發現問題是4個，數學聯結是2個，即向量的外延和內涵>向量概念的引出>向量概念的辨析．通過多個保持高思維水平的方法讓學生對向量概念的理解達到最大化，對向量概念的獲得自然流暢，最終在數學聯結部分收獲了良好的課堂效果．從縱向看，適當的探索時間在各個環節中都有，而為學生提供元認知方法,示范高水平的操作行為和維持對證明、解釋或意義的強調只出現了一次，這說明給學生留足時間是較有效且便捷的手段，而其余三種較高難度的教學方法是由教學內容本身和教師的水平所決定的．

綜上，教師在三個環節中對七條準則都有應用，很好地保持了學生高層次的思維水平，并收獲了高效的課堂，堪稱典范．

3 思考與總結

概念教學應該是過程教學，而不是平鋪直敘式的結論教學．在教學中教師可以使用問題串為載體，不要急于表白和自說自話，給學生創造機會，用梯度設問推動學生自主發現問題、解決問題，追求順理成章、水到渠成，努力揭示建構數學模型的思維過程和數學知識的內在聯系，鼓勵學生發表不同意見，在討論中再次探究，升華理解．這些措施符合七條準則中的第1～4條，是教師高水平的示范也是學生高層次思維的保持．另外，在概念教學中可以多在已有概念間建立聯系，引導學生提煉信息，抽象數學概念，給予學生充分的探索和思考時間，挖掘概念的內涵與外延并通過一定的變式訓練強化和鞏固概念．這些措施符合七條準則中的第5～7條，是比較容易實現但又常被忽視的問題．

概念教學是中學課堂的重要內容，是培養數學抽象素養的主要途徑，筆者相信這些先進的課堂研究成果必能在數學教學中為學生創設更優、更好的學習平臺．

編者按：本刊第1期刊出了蘇州工業園區教師發展中心引入大數據和互聯網+技術輔助數學教學的實踐，從本期開始，本刊將分三期刊出蘇州高新區教育發展中心與中科院地理所合作開發的初中數學“學科地圖”，以饗讀者．