讓學(xué)生信服更得讓學(xué)生心服
——從一節(jié)基本不等式的復(fù)習(xí)課談起

(江蘇省錫山高級中學(xué) 214174)

數(shù)學(xué)教學(xué)旨在促使學(xué)生高效、自主地學(xué)習(xí),故“如何讓學(xué)生自然、合理地完善并優(yōu)化認(rèn)知”是教師必須思考的問題． 事實上，教師教學(xué)的需求必須充分考慮學(xué)生的認(rèn)知實際，才能讓學(xué)生學(xué)得自然，從而心悅誠服地優(yōu)化認(rèn)知．下面筆者就基本不等式復(fù)習(xí)教學(xué)過程的一些實踐，談?wù)勛约旱膸c體會，供同行探討．

1 教學(xué)素材從學(xué)生解答中來，尊重學(xué)生需求

教師在基本不等式教學(xué)中會跟學(xué)生強調(diào)三個條件：一正、二定、三相等,有的會提到積定、和定等特征，但學(xué)生并不都能真正領(lǐng)悟，具體解答時會陸續(xù)暴露出問題，如下面兩個案例．

學(xué)生給出的解法：

案例2已知非負實數(shù)x,y滿足xy+2x+3y=21，求xy+5x+4y的最小值．

學(xué)生給出的解法：

2 師生探討追求共識，讓學(xué)生信服

案例1中學(xué)生的每種方法結(jié)果都是7，但顯然有的是歪打正著，有的缺乏嚴(yán)密邏輯，案例2方法2的偏差恰好說明了這一點.師生必須通過深入交流、探討以達成有效共識，才能讓學(xué)生真正信服．

2.1 對癥下藥，糾正學(xué)生認(rèn)知偏差

2.2 深入探討達成共識，讓學(xué)生信服

再探案例2的解法3，積定(x+3)(y+2)=27，換元得mn=27,m≥3,n≥2，求3m+n+10，再用基本不等式或線性規(guī)劃解題．筆者繼續(xù)啟示：令t=xy+5x+4y，xy+2x+3y=21是否能看成x,y的二元一次方程組？學(xué)生試著消元、化簡，得3x2+(28-t)x+3(28-t)=0，由Δ≥0得t≥28，檢驗等號能取到．

師生回顧反思：(1)二元(甚至多元)問題中，消元是常見的處理方式，從而轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題.合理換元則能優(yōu)化整體關(guān)系，有助于理清問題本質(zhì)．(2)注意分析問題特征，結(jié)合函數(shù)、方程、線性規(guī)劃、基本不等式等多種渠道優(yōu)化解決最值問題．(3)基本不等式求最值問題，必須把握好一正、二定、三相等的條件,充分抓住變量范圍、積(和)為定值等特點．

3 促使師生共識融入學(xué)生解題中去，讓學(xué)生心服

在初步認(rèn)知的基礎(chǔ)上，學(xué)生若能獨立實踐、切身受益，必可深化認(rèn)知、心悅誠服．為此，筆者設(shè)計了以下兩個舊題新做，希望學(xué)生能及時鞏固和優(yōu)化認(rèn)知，讓共識在解題中應(yīng)用自如．

問題1設(shè)圓滿足：截y軸所得的弦長為2；被x軸分成兩段圓弧，其弧長之比為3∶1.在滿足這兩個條件的所有圓中，求圓心到直線l:x-2y=0的距離最小的圓的方程．

解法1 幾何意義為雙曲線上點到l距離的最小值，用線性規(guī)劃知識，即為與雙曲線相切的l的平行線到l的距離；或l的平行線與橢圓有公共點，聯(lián)立a-2b=z,2b2-a2=1對a,b有解，消元得2b2+4bz+z2+1=0，由Δ≥0求得d最小值．

問題2若實數(shù)x,y滿足4x+4y=2x+1+2y+1，則S=2x+2y的取值范圍是．

學(xué)生嘗試后認(rèn)為換元最明朗：令2x=m,2y=n,m>0,n>0，則m2+n2=2m+2n，S=m+n．(1)從幾何角度處理，圓C:(m-1)2+(n-1)2=2右上四分之一部分(不含兩端點)與直線m+n-S=0有公共點．(2)消元，①消m與n中的一元，由另一元二次方程Δ≥0檢驗等號，卻只能得00可得S>2，學(xué)生感慨消元、換元均得時刻注意等價性，有時防不勝防．學(xué)生總結(jié)解此題數(shù)形結(jié)合方法最安全簡潔,基本不等式往往只能確保一端最值，不利于準(zhǔn)確求范圍．

通過實踐體驗，學(xué)生深化了對案例1、2的認(rèn)識，學(xué)會了變通和反思，拓寬了思維，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的完整過程，學(xué)生不僅合理糾正了自我認(rèn)知偏差，還感悟了常規(guī)解法、最優(yōu)解法的特點和優(yōu)勢，在解題中能更自然地追求通性通法和最優(yōu)解．

4 教后反思

上述教學(xué)實踐讓筆者體會到：

首先，學(xué)生的解答過程可以是教師教學(xué)素材的重要來源．如果教師多留意學(xué)生的日常學(xué)習(xí)過程，就能更準(zhǔn)確地掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)動向和實際需求，更有針對性地選擇教學(xué)內(nèi)容、設(shè)計教學(xué)過程、提升教學(xué)效率．

其次，教師應(yīng)鼓勵學(xué)生養(yǎng)成獨立思考、交流探討、批判反思、實踐檢驗等優(yōu)良的學(xué)習(xí)習(xí)慣．教師應(yīng)在課堂上創(chuàng)設(shè)機會激勵學(xué)生獨立思考，勇敢地表達自己的觀點，通過深入探討追求多樣化的數(shù)學(xué)理解和解釋，從而優(yōu)化解題思路、拓寬解題思維；同時教師需引導(dǎo)學(xué)生及時反思、形成批判性思維習(xí)慣，逐漸提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力．

再次，教師要遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，循序漸進、循循善誘地吸引更多學(xué)生自然地完善認(rèn)知，追求每個學(xué)生心悅誠服地深化認(rèn)知．學(xué)生通過明確各條件的邏輯推理關(guān)系、完整認(rèn)知問題情景、理性決定解題策略，才能對自己原有的想法形成足夠量的批判而有效糾正認(rèn)知偏差，這需要學(xué)生花足夠的時間去不斷分析、預(yù)測、嘗試、檢驗、反思.教師必須有足夠耐性去鼓勵、等待、誘導(dǎo)、傾聽、交流，才能最終換來學(xué)生對所學(xué)知識和方法的自然接受和合理運用．

最后，教師應(yīng)不斷自我完善，為優(yōu)化教學(xué)創(chuàng)造有利的必備條件．錢學(xué)森院士曾強調(diào)“教材不是主要的，主要的是教師”，教師的言傳身教對學(xué)生而言本就是最形象、最豐富的教科書，教師的言行甚至?xí)绊憣W(xué)生的一生．教師應(yīng)多方面積累合理的教學(xué)素材，不斷研究如何從啟迪人的思維和智慧的角度去開展教學(xué)，堅持注重學(xué)生基本知識的夯實、基本能力的培養(yǎng)，持續(xù)促進學(xué)生對整體的結(jié)構(gòu)、功能、變化過程的分析和理解，強調(diào)主干知識、通性通法以優(yōu)化學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)．