唯物辯證法在高中數學教學中的滲透

(南京航空航天大學附屬高級中學 210007)

客觀世界是相互聯系著的充滿矛盾斗爭的統一體，事物的變化發展遵循著辯證法的規律．作為反映數量關系和空間形式的學科，數學與唯物辯證法之間有著內在的本質聯系．恩格斯曾指出：“數學是辯證的輔助工具和表現方式”．[1]這意味著，數學除了自身知識和思想方法外，還體現了豐富的唯物辯證法內涵．

馬克思主義哲學中的唯物辯證法以聯系觀和發展觀為總特征，包含三個基本規律，即對立統一規律、質量互變規律和辯證否定規律．這些規律從不同方面揭示了事物內部和事物之間最普遍的本質聯系和發展的實質、狀態及趨勢．因此，唯物辯證法是一切實踐的理論指導和行動指南，也是高中數學教學實踐的根本性指導方法．在傳授數學知識的同時，注意對唯物辯證法基本觀點的適時揭示與滲透，有助于幫助學生以科學的思維方式去理解物質世界，有利于培養學生在復雜的問題表象中把握變化規律，捕捉數學本質．[2]

1 對立統一規律

1.1 運用對立統一規律完善學生的數學認知

發展的根本動力是矛盾．在數學內部，在發現和解決矛盾的過程中產生了很多著名的定理和結論．例如，在“數系的擴充與復數的引入”一章中提到，數的概念的發展與數系擴充是數學發展的一條重要線索．數系擴充的過程既是客觀實際的需要，又是數學內部發展的需要．為解決負數開方的問題而產生的虛數，顯然與已有的實數是一對矛盾，但卻在復數系下得以統一．數系的發展也是不斷地在舊的數系中發現矛盾，再站在統一的全局觀下發展形成新的數系．帶領學生認識數的產生和發展過程中的辯證關系，明確現有數系是歷史發展的產物且仍處于發展過程中的本質，有助于學生形成對數學更為完整的認識．

1.2 運用對立統一規律發展學生的思維能力

數學的概念、性質、命題，都是對立統一規律的載體，如正數與負數、原命題與逆命題、函數與反函數、無限與有限、連續與離散．對此，數列的概念可謂一個很好的解釋．數列自身的離散性，似乎表現出它與連續函數的某種對立．然而，數列在項的序號與項之間形成的對應關系又符合函數定義，故我們在解決數列問題時常常將其轉化為連續函數的問題加以解決．這一過程體現了連續與間斷的對立統一．我們還可以將一些含間斷點的函數，通過補充間斷點處定義等途徑轉化為連續函數進行研究．這不僅體現了連續與間斷的相互轉化，還體現了唯物辯證法對理性思維發展的良好促進作用．

1.3 運用對立統一規律提升學生的解題能力

圖1

圖2

唯物辨證法認為，運動是物質的根本屬性，數學解題教學中也常將對動點或變量規律的探究作為解決運動問題的突破口．事物的聯系是多種多樣的，事物存在和發展的一切條件以時間、地點、條件為轉移．例1中P,M,N三點雖同時運動，卻始終保持正三角形的結構不變，此為本題運動規律的特征．如果我們轉變動靜關系，保持正三角形結構靜止，則AP的運動僅與點A的位置有關．再探索點A的運動規律，易知其運動軌跡實為一段優弧(圖2)．顯然，當點A運動至MN中垂線與優弧的交點處時，AP取得最大值．

動靜關系互換、整體局部互化、特殊與一般、抽象與具體、降維與升維，這些常見的數學解題方法都體現了唯物辯證法中的對立統一規律．在數學解題教學中及時運用唯物辯證法的觀點，必將使學生思維的深度和寬度得以拓展．

2 質量互變規律

發展的觀點是唯物辯證法的一個總特征，自然界、人類社會、人的認知都是不斷發展的,數學學科的發展是人的認知發展的一部分．量變和質變是事物發展過程中兩種不同狀態[3]．事物的發展總是從量變開始，在新的質的基礎上又進一步開始新的量變．

2.1 “量變是質變的必要準備”在數學教學中的體現

量變是質變的必要準備，積極做好量的積累，為實現事物的質變創造條件．在質量互變規律的指導下，發展出了極限思想．高中數學教材中的“一尺之棰”“割圓術”等素材，圓面積、球體積、漸近線等知識，都蘊含著從“有限”走向“無限”的思想．通過有限量的無限積累，學生的視野從靜止走向運動，突破有限深入到無限，更加明晰有限之中包含著無限、無限是通過有限來表達的辯證關系．

圖3 圖4

當A,D兩點分別沿射線BA,CD向無限遠處運動時(圖4)，BA,CD,FE趨向匯聚于同一點，同時四邊形趨向于三角形，且此過程中線段長度的積累并不改變題設，故由三角形的情形很容易得到結果．量的積累為我們觀察、分析、處理問題帶來意想不到的收獲．

2.2 “質變是量變的必然結果”在數學教學中的體現

質變是量變的必然結果，我們要不失時機地促成質變，實現事物的飛躍和發展．

零點存在定理是高中數學必修1“函數與方程”第一課時的一個重要定理：一般地，若函數y=f(x)在區間[a,b]上的圖象是一條不間斷的曲線，且f(a)f(b)<0，則函數y=f(x)在區間(a,b)上有零點．根據該定理，判斷函數零點的過程為：先確定函數的單調性，再在每個單調區間內研究是否有異號情況發生．用唯物辯證法的觀點來解釋這個定理，“f(a)f(b)<0”體現出函數值的變化，不等式所表現出的異號情形，無論是由正到負還是由負到正，都可視作函數值由量變到質變的結果．而“不間斷的曲線”保證了發展的連續性，故質變的產生反映出發展過程中必然經歷某一時刻函數值恰為0．零點的產生只是發展進程中的一個瞬間，體現了符號變化是函數值發展的必然結果．正是一次次抓住了量變和質變的關系，把握住了量的漸進和質的飛躍之間的契機，我們才能收獲這些美妙的數學定理．

3 辯證否定規律

事物發展的過程是環環相扣的，辯證否定是事物發展的根本途徑．正是這種寓于發展變化過程中的否定之否定，促進了社會的變革和進步．數學也不例外，很多數量關系和空間形式也充滿著否定的觀點．如積分與微分、連續與間斷、變量與常量、直與曲等，都既有對立的一面又有統一的一面．數學史上著名的三大危機都是源于發展進程中對當時數學基石的“否定”[4]．正因為來自數學內部的辯證否定不斷發生，才使數學不斷深化發展，形成龐大的數學體系．教學中，我們也可以通過“否定”“否定之否定”來制造認知沖突，推動學生思維發展，提升創新意識．

例3拋物線標準方程教學片段．

教師回顧相關知識后，請學生探索如何建立拋物線的標準方程(圖5)．

圖5

生1：我想以直線l為y軸，以過點F垂直于l的直線為x軸建系．

師：想法很好，可以猜想所得方程可能含有哪些項嗎？

生1：圖象將關于x軸對稱，所以應該有y2項，沒有y項；還有含x的項和常數項，具體是什么我還沒想好．

生2：我覺得這樣建系不如以F為原點建系．(否定)這樣一下子就能看出，根據PF=d轉化來的方程含y2項、x項、常數項．

圖6

生3：這么說的話，以頂點為原點建系更好．(第二次否定)相當于把剛才兩種坐標系中的拋物線沿x軸進行平移．可以想象，當且僅當頂點在坐標原點時，圖象過(0, 0)點，此時方程肯定不含常數項，當然更簡單啦(圖6)！

師：同學們思考得非常到位，而且不斷地追求數學的對稱美和簡潔美，真的很棒．接下來，我們可以通過實際運算證實一下自己的猜想．

生4：老師，我發現，不止生3的建系方法好．(第三次否定)如果我們把x軸和y軸互換，得到的方程也是最簡潔的！

生5：改變x軸或者y軸的正負方向也行！四種方程都最簡潔！

師：同學們能辯證地看待思維過程中的不足，真好！

盡管事物發展的道路曲折，但發展的方向終是前進的、上升的．數學知識的獲得、思維的發展也是如此，必然要經歷一個由不完善到比較完善的過程．學生們在探究過程中靈感頻現，想法也在個體或群體的否定中不斷改進，新的思路就在否定的沖突中不斷形成，正是被否定的想法促使思維向更全面更嚴密的方向發展．因此，教學中應當引導學生善于提出新問題，敢于尋找新思路，提升創新思維能力，體現數學教育價值．

4 幾個注意點

恩格斯在《自然辯證法》中從不同方面論證了唯物辯證法的一般規律，解釋了數學內容的辯證實質．高中數學學習需要構建宏觀的知識體系，以便在分析和解決問題時具有足夠的高度．教學中要積極引導學生用聯系的觀點考慮問題，從發展的角度探索未知．為此，需要注意以下幾個方面：

(1)數學性

唯物辯證法從知識上來說屬于政治學科教學內容，數學課堂上還是應以數學知識和方法為載體，運用唯物辯證法的規律和觀點去發現和揭示數學內在的辯證因素，最終達到的還應是對數學問題的理解深度和思維高度．

(2)科學性

在教學中應注意唯物辯證法滲透過程的自然流暢．靈活、恰當地將辯證唯物法運用于高中數學教學中，教師不能局限于某一章節、某一冊書，甚至是數學學科內部，而應該開闊視野、廣泛學習，形成更為全面的認知結構, 促進自我成長．

(3)長期性

唯物辯證法與高中數學教學的有機結合是一個長期過程，僅靠時而浮現的零散思考是遠遠不夠的．教師需要在一段較長的時間內注意收集和整理相關的教學片段并反思，及時提煉升華，使其體系化，讓唯物辯證法激發教學智慧，貫穿學生的高中數學學習．