“平均變化率”的教學(xué)設(shè)計(jì)與反思

(江蘇省啟東市匯龍中學(xué) 226200)

1 基本情況

1.1 授課對(duì)象

學(xué)生來自江蘇省首批四星級(jí)高中(南通市第三中學(xué))普通班，基礎(chǔ)較好，有一定的自學(xué)能力、抽象能力和直觀想象能力．

1.2 教材分析

所授內(nèi)容為《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(數(shù)學(xué)·選修1-1)》[1]第3章“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”第1節(jié)“導(dǎo)數(shù)的概念”的起始小節(jié)“平均變化率”，它是學(xué)習(xí)“瞬時(shí)變化率——導(dǎo)數(shù)”概念的基礎(chǔ)，對(duì)實(shí)際生活情景中的變化快慢進(jìn)行刻畫和抽象，經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”的表述，得到函數(shù)的平均變化率，從而發(fā)展和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象與直觀想象能力．

教學(xué)目標(biāo) (1)通過實(shí)際生活背景來構(gòu)建平均變化率的數(shù)學(xué)模型，初步感受以直代曲的近似與精確的哲學(xué)原理；(2)為后續(xù)建立瞬時(shí)變化率和導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)模型做好鋪墊．

教學(xué)重點(diǎn) 平均變化率的實(shí)際意義與數(shù)學(xué)意義．

教學(xué)難點(diǎn) 加深對(duì)平均變化率的理解；對(duì)生活現(xiàn)象作出數(shù)學(xué)解釋．

2 教學(xué)過程

2.1 創(chuàng)設(shè)情境與引出問題

·情境

(1)改編唐詩，增進(jìn)師生情感交流，并引出“變化”．授課地點(diǎn)為南通市第三中學(xué)，校園里桂花殆盡，即興改編了唐代詩人白居易《大林寺桃花》詩一首，感受大自然季節(jié)的交替“變化”：

三中校園桂香盡，人間菊花始盛開．

長恨秋歸無覓處，原已轉(zhuǎn)入此中來．

(2)通過登山的快慢、樹木生長的快慢、南通氣溫變化快慢等實(shí)際情景(圖1)，以“視覺化”的效果，感受事物變化快慢的程度，并由劉翔110米欄的階段平均速度的測算引入本課題(圖2)．

如何測算第一個(gè)欄到第二個(gè)欄的平均速度？

圖1

圖2

·問題

問題1從數(shù)學(xué)學(xué)科角度思考，如何刻畫鋪設(shè)臺(tái)階的“陡峭”程度？

學(xué)生自習(xí)、討論，給出：

問題2“氣溫陡增”是一句生活用語，它的數(shù)學(xué)意義是什么？(從數(shù)與形兩方面)

問題3如何量化曲線上升或下降(“數(shù)學(xué)化”)的陡峭程度？

2.2 學(xué)生活動(dòng)與師生互動(dòng)

活動(dòng)預(yù)設(shè)：

(1)如圖3，曲線上BC之間一段幾乎成了直線，由此聯(lián)想到如何量化直線的傾斜程度？

圖3

(2)由點(diǎn)B上升到點(diǎn)C，必須考察yC-yB的大小，但單憑yC-yB的大小能否精確量化BC段陡峭的程度？為什么？還必須考察什么量？

(3)在考察yC-yB的同時(shí)必須考察xC-xB，函數(shù)的本質(zhì)在于一個(gè)量的改變必定相對(duì)于(參照于)另一個(gè)量的改變而言．

2.3 建構(gòu)數(shù)學(xué)

(1)通過比較氣溫在區(qū)間[1, 32]上的平均變化率0.5與氣溫在[32, 34]上的平均變化率7.4，感知平均變化率就是曲線陡峭程度的“數(shù)量化”，而曲線的陡峭程度是平均變化率的“視覺化”效果．至此，完成了平均變化率的定量描述到定性描述，進(jìn)一步探索平均變化率的幾何表征．

(2)利用氣溫曲線圖，從數(shù)與形兩方面對(duì)平均變化率進(jìn)行意義建構(gòu)．

一要注意平均變化率不能脫離區(qū)間而言，二要注意相減順序統(tǒng)一(起始點(diǎn))．

圖4

但是，用平均變化率來量化一段曲線的陡峭程度是“粗糙不精確的”，應(yīng)注意當(dāng)x2-x1很小時(shí)，這種量化便由“近似”逼近“精確”．隨之而來的便是后續(xù)學(xué)習(xí)的新數(shù)學(xué)模型，即瞬時(shí)變化率——導(dǎo)數(shù)概念的建立．

2.4 第一次課堂練習(xí)

教科書第69頁練習(xí)第1題，加深對(duì)平均變化率的理解．不妨請(qǐng)學(xué)生再舉例,如汽車起步加速性能、“減肥”快慢效果等．

2.5 數(shù)學(xué)應(yīng)用

第一階段：(實(shí)際背景)教科書第68頁例1、例2，學(xué)生自學(xué)，教師設(shè)問．

例1中，

問題這兩個(gè)平均變化率的實(shí)際意義是什么？

注：一般情況下，曲線在不同區(qū)間上的平均變化率是不同的．

例2中(e近似取2.7182)，

問題1平均變化率-0.316 1(cm3/s)是否表示10 s內(nèi)每一時(shí)刻容器甲中水的體積V減少的速度？

問題2平均變化率-0.316 1(cm3/s)的實(shí)際意義是什么？

問題3第一個(gè)10 s內(nèi)，乙容器中水的體積的平均變化率為多少？

注：數(shù)學(xué)中的“平均變化率”可能正，可能負(fù)，也可能為零．

第二階段：(數(shù)學(xué)內(nèi)部)教科書第68～69頁例3、例4，學(xué)生自學(xué)，教師設(shè)問．

例3中，

問題四個(gè)區(qū)間的變化導(dǎo)致平均變化率有怎樣的變化？這種變化的數(shù)學(xué)意義是什么？

例4中，

問題1你在解本題的過程中有沒有發(fā)現(xiàn)什么？你能解釋為什么會(huì)出現(xiàn)這一現(xiàn)象嗎？

問題2一次函數(shù)y=kx+b在區(qū)間[m,n]上的平均變化率有什么特點(diǎn)？

注：一次函數(shù)y=kx+b在區(qū)間[m,n]上的平均變化率等于相應(yīng)直線的斜率k．

2.6 第二次課堂練習(xí)

計(jì)算函數(shù)的平均變化率：教科書第69頁練習(xí)第2題、第3題．

2.7 課堂小結(jié)

·平均變化率的理解

(2)平均變化率反映了考察對(duì)象在給定一段區(qū)間上變化的快慢程度，背景不同，其意義也不一樣．如物體運(yùn)動(dòng)時(shí)的平均變化率就是平均速度，嬰兒體重的平均增長率．函數(shù)的平均變化率是從這些實(shí)際問題中抽象出來的一個(gè)重要數(shù)學(xué)概念．

·展望新的問題

由于平均變化率只是一種近似刻畫，從而有待于進(jìn)一步精確，隨之而來的便是新的數(shù)學(xué)模型的建立．

3 回顧與反思

3.1 教學(xué)設(shè)計(jì)的立意

數(shù)學(xué)源于生活，但關(guān)鍵是逐步將生活場景 “數(shù)學(xué)化”處理，并挖掘和表述現(xiàn)象背后的數(shù)學(xué)意義．

本節(jié)課對(duì)概念的構(gòu)建可以說濃墨重彩，先從人文情景出發(fā)，引出“變化”，再圍繞課題中的關(guān)鍵詞“變化率”，以幾個(gè)場景彰顯“變化”的快慢，以直觀想象感知事物的形態(tài)與變化．借助實(shí)際生活中的空間形式認(rèn)識(shí)事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律；利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題；建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路．

為直觀感知數(shù)學(xué)中的“平均變化率”，想象當(dāng)年飛人劉翔的比賽場景，不難聯(lián)想到“平均速度”的物理概念，即起步到第一個(gè)欄的平均速度，以及欄與欄之間的平均速度，逐步向“平均變化率” 過渡．又從氣溫隨時(shí)間的變化符合現(xiàn)代函數(shù)的定義，抽象到函數(shù)圖象(氣溫曲線圖)，再自然過渡到具體函數(shù)(這里是指有解析式的函數(shù))的“平均變化率”．

對(duì)數(shù)學(xué)概念的應(yīng)用，也是遵循從特殊到一般、從抽象到具體、尋找概念的現(xiàn)實(shí)意義和數(shù)學(xué)意義的聯(lián)系．以問題開路，以數(shù)學(xué)概念的形成為載體，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和直觀想象能力．

3.2 教學(xué)反思

(1)概念教學(xué)要突出知識(shí)的動(dòng)態(tài)生成

師生共同經(jīng)歷“變化”到“變化率”，再到“平均變化率”，最后形成數(shù)學(xué)意義上的平均變化率；采用人文情境、生活場景、物理背景等輔助手段，以數(shù)學(xué)事實(shí)“斜率”為突破口，使數(shù)學(xué)概念得以鮮活生成．如何將研究對(duì)象進(jìn)行“數(shù)學(xué)化”始終是執(zhí)教者的首要任務(wù)和努力方向，而不是簡單地用數(shù)學(xué)知識(shí)去解釋現(xiàn)實(shí)問題，因?yàn)檫@樣做往往會(huì)演變成空洞的解題訓(xùn)練.雖然這種訓(xùn)練可以提高形式演繹的能力，但卻不能帶來真正的理解概念與深入的獨(dú)立思考.我們需要充分地理解數(shù)學(xué)是一個(gè)有機(jī)的整體，數(shù)學(xué)概念必須抽象化，必須經(jīng)歷一定的邏輯結(jié)構(gòu)與動(dòng)態(tài)生成．

(2)概念教學(xué)要注重問題驅(qū)動(dòng)

問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)法即基于問題的教學(xué)方法．這種方法不像傳統(tǒng)教學(xué)那樣先學(xué)習(xí)理論知識(shí)再解決問題．問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)法是一種以學(xué)生為主體，以各種問題為學(xué)習(xí)起點(diǎn)，以問題為核心規(guī)劃學(xué)習(xí)內(nèi)容，讓學(xué)生圍繞問題尋求解決方案的一種學(xué)習(xí)方法．教師在此過程中的角色是問題的提出者、設(shè)計(jì)者以及結(jié)果的評(píng)估者．問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)法能夠提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，提高學(xué)生在教學(xué)過程中的參與程度，容易激起學(xué)生的求知欲，活躍其思維．這種教學(xué)方法對(duì)教師的要求較高，教師必須具備較強(qiáng)的課堂掌控能力和引導(dǎo)能力．

本節(jié)課在概念的形成階段接連提出八個(gè)問題，完成生活“數(shù)學(xué)化”的過程；在概念的應(yīng)用階段又提出八個(gè)問題，完成數(shù)學(xué)“生活化”的過程．

(3)概念教學(xué)要尊重學(xué)生的個(gè)體差異

筆者認(rèn)為，尊重學(xué)生個(gè)體差異，應(yīng)做到以下幾點(diǎn)：1)分類要求，不搞一刀切．教師一定要正視學(xué)生個(gè)體的差異，真正做到面向全體學(xué)生，使每個(gè)學(xué)生都積極主動(dòng)地投入到課堂學(xué)習(xí)中去．在備課時(shí)，教師應(yīng)充分考慮學(xué)生的差異性，客觀地顯示優(yōu)、良、中、差的層次梯度，使困難學(xué)生能接受、能消化，使優(yōu)秀學(xué)生能有所收獲并能不斷地超前發(fā)展．其次，作為教師要建立“只有差異，沒有差生”的教育觀，相信每一個(gè)學(xué)生．在實(shí)際教學(xué)中，教師提的問題不宜太多太碎，且要留出充分的時(shí)間讓學(xué)生考慮；不同層次的問題，要抽不同層次的學(xué)生回答，使不同層次的學(xué)生都能得到心理滿足．對(duì)發(fā)展水平不同的學(xué)生，布置作業(yè)和輔導(dǎo)時(shí)也要實(shí)現(xiàn)分層次．2)分類評(píng)價(jià)，不拔苗助長．對(duì)不同層次的學(xué)生提出不同的要求,對(duì)學(xué)困生只要有進(jìn)步，要及時(shí)鼓勵(lì)，激發(fā)和調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，保護(hù)好學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣、好奇心、求知欲，要抓住有利時(shí)機(jī)用語言評(píng)價(jià)來鼓勵(lì)學(xué)生，讓學(xué)生在豐富、真切感人的評(píng)價(jià)語言中受到感染，從而增強(qiáng)必勝的信心．3)要留足學(xué)生自由發(fā)展的空間，讓學(xué)生充分發(fā)揮特長．教學(xué)中，教師要讓學(xué)生充分思考，切記滿堂灌．課堂上，教師要有控有放，留足學(xué)生發(fā)展的空間，給學(xué)生一片自由的天地，展現(xiàn)智慧的無限潛能．課堂就是一個(gè)小小的舞臺(tái)，它不僅需要教師的精心編導(dǎo)，更需要不同層次的學(xué)生齊心協(xié)力、盡情發(fā)揮，才能演繹不一樣的精彩課堂．