深度學習：讓數學思維真正發生

王新甫

摘? 要：“學習就是學習思維”。課堂教學要以教材為基礎，突破思維活動的淺層局限性，拓展兒童的思維能力，讓數學的思維真正發生。

關鍵詞：數學學習;知識過程;深度思維

杜威曾經指出：“學習就是學習思維。”培養孩子養成靈敏、縝密、透徹的思維是課堂教學的任務之一。回眸我們的課堂教學，不難看出不少教師的教學仍然處于“淺嘗輒止”的狀態，教學大都表現為簡單的知識傳授，卻忽略了讓學生主動去發現、了解數學知識，探究數學知識之間隱藏的內在邏輯，缺乏思維深度。由于兒童的學習活動始終處于“淺層活動”，從而直接影響了學生課堂學習的質量。因此，教學必須打破傳統教學中學生被動學習的狀況，要以教材為基礎，突破思維活動的淺層局限性，拓展兒童的思維能力，讓兒童的思維走向“核心區間”。

■一、行進：梳理傳統兒童數學思維生長的現狀

1. 方式簡單化——偏重“講解”，忽略了知識形成的過程

比如教學“圓周長”，部分教師習慣性地認為只要學生知道圓周長的計算公式，會用公式求圓周長就行了。教學時，先讓學生認識圓的特征，再通過直接講解讓學生知道圓周長的計算公式C=πd，然后設計相應的題組，讓學生運用公式進行計算。簡單快捷的直接講解，看似學生既掌握了圓周長的計算公式，又能熟練地運用公式去解決一些簡單的生活實際問題，用較短的時間高效地完成了教學任務。但究其教學本質，學生沒有經歷圓周長知識形成的過程，少了圓周長知識形成過程的動手操作的體驗、思考與感悟。

2. 過程零散化——偏重單個“樹木”，忽略了整體“森林”的認知

小學數學知識雖然是用分散、螺旋上升的編排方式安排在各個學段，但分散的知識之間往往存在著內在的邏輯關聯。一些教師缺乏對教學內容的整體解讀，教學時就知識講知識，學生的數學思維也只能在“淺層活動”中片面狹隘地生長。長此以往，學生學到的只是零散的、瑣碎的知識，不能建構完整的知識體系，不能形成完整的數學思維訓練體系。

例如，教學“異分母分數加減法”，教師通常先讓學生通過題組計算同分母分數的加減，然后創設一定的教學情境，將同分母分數的加減改變一下分數的分母，變成異分母分數的加減，引出新課。在教學“異分母分數加減法”時，引導學生回顧通分及同分母分數的加減計算，得出異分母分數的加減計算方法。這樣的教學，看似鋪墊有序，關注了學生已有的知識，但其實質只是關聯了舊知，沒有把“同分母分數加減法”與“異分母分數加減法”內在的邏輯關系納入“整數、小數加減法”的運算體系當中。學生雖會計算，但沒有弄清楚為什么要通分的道理，缺乏讓學生進行深度數學思考的過程。

3. 活動淺顯化——偏重表層，忽略了思維的深度體驗

例如，教學“圓錐的體積”，大部分教師開始也讓學生分組進行操作實驗，但提供的學具比較單一，只是為數不多的等底等高的圓柱容器與圓錐容器各一個，缺乏從不同的圓錐和圓柱中去甄選這一重要環節;學生只是用教師提供的等底等高的圓柱容器與圓錐容器裝滿水來操作實驗，很容易且很快就能發現圓柱體與圓錐體之間的3倍關系，順利得出圓錐體積的計算公式，即圓錐體的體積=圓柱體的體積×■。這樣的教學，由于教師提供的學具單一，學生并沒有清楚為何要選取等底等高的圓錐體和圓柱體去進行實驗，其操作實質是在做一一對應的操作演示，實驗的過程是在教師設定的環節中進行的，基本上沒有付出相應的智力代價，從而遮蔽了新舊知識學習的分化點，忽略了新知識教學的重點及關鍵環節。課堂看似行云流水，但沒有體現操作活動應有的價值，學生失去了對問題的發現和再創造，難以獲得智慧啟迪，思維不能深度地發生。

■二、實踐：留存兒童數學思維生長之韻

數學的本質是一種抽象，一種模型。學生對數學知識的學習與掌握，則是一個不斷建構的過程，其建構意義的前提是給知識“意義賦予”。怎樣讓“意義賦予”貫穿整個學習的過程，這就要找尋數學的“根”，因為它是繼承與創新的原點。為此，在課堂教學中，要著力挖掘與課程內容相關聯的有效資源，讓知識學習回歸到知識形成的源頭、思維的原點， 從知識原點生發出來的學習，才有生長的力量，這才是真正的“學數學”。

1. 把握兒童思維“可能的現實”

數學與生活是密不可分的，豐富的現實生活為學生的思維發展提供了可能。每個兒童由于有著自身的“生活現實”，他們對數學知識的認識理解不一，為此就形成了各自的“數學現實”。教學時，要從不同學生的思維起點，選擇思維的“最近發展區”出發，將學生的數學學習思維由“可能的發展區”轉變成為“現實的發展區”。

例如，教學“平行四邊形的面積”，可先復習回顧用面積單位擺面積的方式得出長方形的面積。在探究平行四邊形的面積計算時，學生受到長方形的面積計算方法的推導影響，操作時也會試圖用面積單位擺面積的方式來研究平行四邊形的面積計算。在用面積單位擺面積的過程中，學生的操作很快出現了瓶頸，原因是平行四邊形的四個角不是直角，用面積單位不能擺出完整的平行四邊形。怎樣把平行四邊形的角轉化成直角呢？學生的思維有了跳躍性的發展，可以通過“剪—移—拼”的轉化方法，把平行四邊形轉化成長方形。這樣，平行四邊形的面積計算方法推導得水到渠成。這樣的課堂教學，無論是過程還是方法，指向的都是兒童。兒童參與了數學學習的全過程，在探究新知識的過程中思維得以長足發展，操作體驗為孩子留下了更深的痕跡，課堂變得別樣精彩。

2. 還原“知識過程”的思維形態

數學教材呈現給孩子的是經過高度提煉并簡約化的符號知識，是以“知識點”分散螺旋上升出現的，它簡化了知識形成的“過程”，給出的是知識的結論和規律。如果把這些結論和規律只是簡單地“告訴”學生，讓知識與學生直面而行，那么學生的學習則是“形于外”而并非“發于內”，學生的思維不能獲得較深的體驗。因此，教學時必須凸顯知識的發生、發展的過程，對數學結論和規律進行全面解壓，幫助學生親歷知識的形成過程，親身體驗和感悟知識的本質內涵。

例如，教學“假分數”，受初步認識分數的影響，多數孩子認為分數都是分子小于分母的數，這就造成了一定負面的思維定式，從而對“假分數”的概念難以接受，也不太理解。因此，教學時，一方面可直接圍繞知識的核心進行提問：■是不是分數？它表示的意思是什么？另一方面組織學生再次進行操作活動，從“把1個梨平均分給4個小朋友，每人分到了■個梨”開始，隨著梨的數量逐步增加，每人分到的梨的數量經歷了從■累加到■的過程。操作時，要求學生一邊觀察一邊比較，從而體會到“每多1個梨，每人就能多分■個梨”，真正感悟隨著分數單位的增加，分數由小于1的真分數逐步趨向于等于1的假分數，以至形成最后大于1的假分數。學生經歷假分數形成的全部過程，假分數的現實意義也就欣然被學生所接納。

3. 形成數學思維的“渦式”循環

“認知負荷理論”認為，學習者的工作記憶會經過加工、組織、比較等任務，其中認知負荷在經歷的過程中是一個非常關鍵的因素，對于同樣一個問題的解決，所需要的知識是不固定的，操作的過程中有很大的隨機性，需要從學習者記憶中搜尋出更多的信息，并對搜尋到的信息進行加工并合理整合，以致創造性地解決問題。教學時，我們可以借助“認知負荷理論”，圍繞知識原理進行深度加工，從而實現對一般知識內容的高度融合。

例如，學生學習“圓錐和圓柱”這一內容后，可以設計這樣的一道提高題：小紅以往買的牙膏出口直徑是5毫米，她每次刷牙擠出的牙膏長度大約是12毫米，一支牙膏一般能用36次。后來購買的新品牙膏出口直徑變成了6毫米，她每次刷牙擠出的牙膏長度還是12毫米左右，一支新品牙膏大約能用多少次？

生1：不論是舊牙膏，還是新牙膏，它的體積是不變的，我們可以先算牙膏的體積：3.14×（5÷2）2×12×36=8478（立方毫米）;然后再算每次刷牙時用新品牙膏的體積：3.14×（6÷2）2×12=339.12（立方毫米）;最后求出新品牙膏用了多少次：8478÷339.12=25（次）。

生2：我覺得這種方法雖然正確，但計算比較麻煩，如果改用方程來解會簡便一些，列出的方程是這樣的：3.14×（6÷2）2×12×x=3.14×（5÷2）2×12×36，根據等式的性質，方程可簡化為9x=（5÷2）2×36，解方程得x=25。

生3：用方程計算是比較簡便，但我認為用比的方法來計算更簡便，根據條件可以知道兩個牙膏的底面直徑比是5∶6，那么它們的底面積比就是25∶36，體積比就是25∶36，所以新品牙膏可使用25次。

由于課堂給學生提供了充分思考的時間與空間，不同的學生根據各自的認知水平，從一般的算術解法到方程解法，最后上升到簡潔的比的解法，實現了算法多樣化及優化的策略，思維層次也隨著學生的思辨深入在逐步提升，而這些具有生長力的思維方式則成為學生后續學習的動力源，數學思維就變得更樸素、厚重了。

■三、思考：走向兒童數學思維生長的方向

著名的數學史家M.克萊茵說過：“數學是一種精神，一種理性的精神。”數學理性精神的本質就是數學“根”，是數學核心素養之一。學生的數學理性不是天生具備的，而是在實際生活中逐步培養形成的，它蘊含著無限的智慧。因此，課堂教學中重視數學理性的培養尤為重要。

1. 順應思維特點，還原兒童思維生長的起點

學生在課堂上表現出思維水平的高低，則凸顯出學生個體運用已有知識經驗去進行觀察、分析、猜想、歸納等諸方面的綜合素養。學生在進行數學思維時，有時借助形象，有時借助抽象，各種思維成分表現在不同問題上，發揮著不同的作用。比如教學“長方體和正方體的認識”：

師：我們已經知道長方體有6個面，每個面都是長方形，長方形有4條邊，長方形的邊就是長方體的棱。一個面有4條棱，照這樣計算，6個面應該有24條棱，為什么卻只有12條棱呢？

生1：計算時，長方形的同一條邊各算了兩次，因此是6×4÷2=12（條棱）。

師：有道理，你很會思考，誰還能像這樣提一些“為什么”的問題？

生2：我發現，長方體有6個面，每個面都有4個頂點，6×4=24，應該有24個頂點，為什么只有8個頂點呢？

生3：能不能由棱的條數推算出頂點的個數、面的個數？

……

反思我們的課堂，學生在實驗時，從不缺乏觀察、操作、猜測、驗證等活動，而真正運用數學知識進行簡單推理的并不多見。學生從熟知的長方形出發，以長方體的模型和直觀圖為依托，以各自數量之間的關系、面和棱的特征聯系為研究對象。教師引導學生對頂點的個數、棱的條數展開驗證性推理是非常有價值的。學生能夠從長方形面的特征推理出長方體棱的特征，從長方體棱的特征推理出長方體面的特征。在這個簡單的推理過程中，有的是憑借經驗和直覺，有的是依據固有的生活事實，還有的是通過歸納和類比，所有這些讓我們看到了幾何證明的雛形。持之以恒堅持下去，學生的數學思維一定能從“淺表”走向“深刻”。

2. 引領思維回溯，凸顯兒童思維生長的力點

從建構主義的角度來看，數學活動是一個讓學生經歷“數學化”的過程。課堂上，教師要根據教學內容和學生的實際，合理開發和使用各種教學資源，引領學生去尋求數學知識的“源頭”，找尋數學知識的“根”，真正經歷“無疑—生疑—解疑—領會”思維過程，不斷引發學生的“認知沖突”。通過學生與教材文本及教師產生交互作用，激發“創造”新知識的需求和欲望，體驗知識的產生過程，獲得學習數學知識帶來的愉悅，全面提升學生的數學應用能力。

例如，教學“除法豎式的簡便計算”時：“900÷40，余數為什么會是20而不是2？”教學時，往往通過驗算方法加以說明。這樣做，僅僅是讓學生在直觀上感知而已，并不能讓學生真正理解“余數為什么是20而不是2”的算理。為此，教學不能到此為止，更要引導學生去思辨余數的“由來”，借助已有的“商不變的性質”，認識到90個“十”里面有22個“4個十”，還余2個“十”。這樣，余數的來龍去脈就一清二楚了。學生既知其然，又能知其所以然，他們的思維能力隨著數學知識的加深會不斷提高與發展。

3. 積淀思維土壤，豐富兒童思維生長的原點

《義務教育數學課程標準》指出：“應重視口算，加強估算，提倡鼓勵算法多樣化。”算法多樣化有利于培養學生獨立思考的能力，利于培養學生的發散思維能力，更能拓展學生個性思維空間。但倡導算法多樣化的同時必須遵循學生的認知規律，只有讓學生在充分的觀察比較中，學生才能有所體驗、感悟，才會充分體現算法多樣化的有效性和合理性。在實際運用中，有時學生雖能關注到計算的多樣化，卻不能深度去思考，達不到計算的最優化，主要是在優化的同時沒有留給學生反思的時間和空間，沒有對運算過程中的簡便計算進行準確的甄別，采用的計算方法不能凸顯簡便計算本身所特有的數學價值。

例如，25×24的簡便計算，學生往往采用的計算方法是：

方法一：25×24

=5×（5×24）

=5×120

=600

方法二：25×24

=25×4×6

=l00×6

=600

對于新課程理念指導下的課堂教學，大部分教師一般會認為這兩種運算方法都是可以的，體現了不同個體運用相關知識進行簡便運算的能力，說明學生已經養成了簡便運算的意識。縱觀這兩種運算方法，過程是簡便的，結果也正確，但究其本質還沒有凸顯簡便運算的最高境界，達到算法的最“優化”，究其主要原因是學生還沒有認識到簡便計算的價值所在。所以，我們的教學需要對學生進行進一步的引導與甄別。教學時，教師可引導學生進一步深入思考，觀察比較：一個運算是“5×24”，另一個運算是“4×25”，兩個運算雖然都是一位數乘兩位數的乘法，但呈現的“5×120”和“l00×6”的運算，誰的計算更簡便呢？通過觀察、討論、思辨，學生在比較的基礎上會重新做出新的抉擇，從而使思維向縱深處又邁進了一步。

4. 催生思維碰撞，找尋兒童思維生長的遠點

讓學生的思維由“直觀”逐步提升到“抽象”，作為數學教學這一目標，在整個小學階段占據了重要的地位，小學生的思維正處于直觀形象階段，具有動態直觀的信息更能有助于激發學生的內驅力，有助于學生在操作實踐的基礎上感知形象，填補學生由直觀到抽象的認知空白。為此，在平時的教學實踐中，作為教師要本著“揚棄”的原則，傳統訓練要保持，但訓練手段要創新，要打破傳統的記憶方式，要多留給學生思考的時間與空間，對所要解決的問題不斷地適時適度進行拓展與延伸，引領學生在直觀與抽象之間游走，最終促進抽象思維的形成。