高中數學教學中的核心概念教學理解

崔芝冬

[摘? 要] 對于核心概念的教學，教師要抓住其能夠發揮的提綱挈領的作用，讓學生在這些概念的學習中，既能夠通過這些概念演繹出或深度理解其他的概念;同時也能夠在這些概念的學習中，更好地理解數學概念的學習方法，從而提升數學概念的學習方法. 在核心概念的教學中，要認識其價值，首先就要站在學生學習的角度去認識其學習價值. 在核心素養的背景下，要重視核心概念的教學，要以之作為打開核心素養培育大門的鑰匙，這是核心概念的新的意義所在.

[關鍵詞] 高中數學;核心概念;教學理解

當前，對于核心概念的研究開始趨熱，一個重要原因就是因為《普通高中數學課程標準》對核心概念提出了具體的觀點. 需要注意的是，日常數學教學中所強調的數學核心概念，與課程標準中的核心概念并不完全相同，更多的情況下，數學核心概念是指一個擁有“核”的“概念群”，是由核心概念及其生長出的子概念組成的知識體系. 在教師的教學語境中，核心概念往往也指這些具有核心地位的數學概念. 對于核心概念的教學，筆者以為，教師要抓住其能夠發揮的提綱挈領的作用，讓學生在這些概念的學習中，既能夠通過這些概念演繹出或深度理解其他的概念;同時也能夠在這些概念的學習中，更好地理解數學概念的學習方法，從而提升數學概念的學習方法.

今天的高中數學教學，面臨著數學學科核心素養培育的需要，在核心素養的背景下理解數學核心概念及其教學，對核心素養的培育有著重要意義. 基于這樣的理解，筆者對高中數學教學中的核心概念教學進行了再度梳理，形成了一些具有一定超越性的認識，在此進行一個總結.

■核心概念之于高中學生數學學習的價值

核心素養強調通過一定的教育，讓學生生成能夠適應社會發展與終身發展的必備品格與關鍵能力. 很顯然，學生是核心素養培育的中心！這樣的認識，其實是對學生主體地位的再次確認. 在核心概念的教學中，要認識其價值，首先就要站在學生學習的角度，去認識其學習價值. 當然，在立足于學生視角之前，還要從數學知識的角度認識核心概念的教學意義.

從數學知識的角度來看，一般認為掌握好核心概念是學好高中數學的前提和基礎，因此，教師在教學中要吃透教材，認真研究，使學生真正領悟數學核心概念的價值. 美國教育心理學家布魯納說：“掌握一門學科，就是要掌握這門學科核心的、根本的概念.”數學家波利亞在《如何解題》中指出：“當你不能解決一個問題時，不妨回到定義上去.”顯然，波利亞這里所說的“回到定義”并非所有數學概念的定義，而是指具有核心地位的數學概念;同時，這樣的一個論斷，所給出的教學啟發則是：數學核心概念不僅具有概念聯結的作用，同時也具有提升學生數學學習尤其是概念學習品質的作用.

從學生的角度來看，數學核心概念的教學，更多的應當立足于學生數學學習品質的角度去設計并實施. 從這個角度來看，核心概念的確定途徑是多元的，既可以從數學概念之間的關系角度去認定核心概念，最典型的如“函數”，其上聯集合，下聯多種函數，從數學思想和方法上還關聯著數形結合等，是高中數學知識體系中最具典型意義的核心概念;同時，還可以從促進學生理解數學概念的角度去界定核心概念，如“函數的零點”這一概念，雖然從概念體系的角度來看，該概念的地位并不顯赫，但從學生理解函數以及函數與方程的關系的角度來看，又起著聯結函數與方程的關系的作用，因而也可以以之為核心概念來促進學生學習數學知識.

因此，綜合以上觀點可以得出的一個結論就是：高中數學教學中核心概念的確定，更多的可以以概念的聯系為研究出發點，以概念學習中學生的思維品質的提升為落腳點來確定核心概念的教學.

■基于學生數學學習需要的核心概念教學

既然明確了核心概念的教學要基于學生的學習需要而進行，那么在具體的教學中，教師應當如何組織并實施教學呢？

以上面“函數的零點”的教學為例，可以進行這樣的分析：從概念地位的角度來看，函數是高中數學的核心內容，“函數與方程”是函數一章繼指數函數、對數函數、冪函數三種重要函數模型后的函數思想和方法的具體應用，主要涉及函數零點的概念和零點存在定理. 在教學實踐中發現學生對零點概念和定理的理解的深刻性不夠，綜合應用困難較大. 基于這一教學現狀，在實際教學中，可以先設計一個讓學生求方程的實數根的教學環節，如讓學生求x-1=0，x2-2x-3=0，2x-2=0，lnx+2x-6=0的根. 對于學生而言，這是一個由易至難，且挑戰性整體不大的環節，學生在解題的時候即使不能完全迅速地得出結果，也能夠根據此前積累的解題經驗去建立解題思路.

其后，基于數形結合思想，向學生提出問題：從形式上來看，函數與方程之間存在著千絲萬縷的關系，那么方程的求解與函數之間可能存在什么樣的關系呢？這個問題提出之后，讓學生先思考一會兒，然后教師引導學生進行梳理，梳理的方向主要就是方程與函數的聯系. 此過程仍然應當遵循由易至難的順序. 如方程x-1=0與函數y=x-1，從解方程的角度來看，可以得出x=1，而從函數的角度來看，y=x-1所對應的圖像上會出現（1，0）這個點. 在通過第二個例子演繹之后，學生會發現，在平面直角坐標系上，函數的圖像與x軸的交點的橫坐標就是所對應的方程的解. 如圖1、圖2分別為y=x-1，y=x2-2x-3的圖像.

在此基礎上，幫學生建立“函數的零點”的概念：對于函數y=f（x），把使f（x）=0的實數x叫作函數y=f（x）的零點. 教學實踐表明，學生剛開始接觸這個表述的時候，都感覺自己是聽得明白的，但這時教師不能大意，不能認為所有學生真的完全理解了這個概念. 筆者的教學經驗是，此時幫學生建立起對應關系，是深化概念理解，從而發揮“函數的零點”核心概念作用的關鍵. 筆者在教學中，給學生呈現了這樣的一個板書（如下）：

函數y=f（x）的零點？圳方程f（x）=0的實數根？圳函數y=f（x）的圖像與x軸的交點的橫坐標.

事實證明，通過這樣的關系呈現，學生能夠更好地理解函數的零點. 其后，教師還要賦予學生一個空間，讓他們思考“函數的零點”這個概念是如何建立起來的. 在筆者的課堂上，聽到了學生這樣的總結：“在此前的學習中，我（學生自己）就感覺到函數與方程肯定存在著聯系，因為方程與函數的解析式中，最核心的那部分都是一樣的. 但很長的一段時間里，我都認為方程就是方程，函數就是函數. 通過今天的學習，我終于豁然開朗了，原來兩者之間的聯系是如此的密切.”還有一個學生說道：“我發現我們所學的函數的零點，其實并不是完全指一個點，它應該是指一個實數，這個實數在方程中是以方程的解的形式出現的，即函數y=f（x）的零點就是使f（x）=0的實數x的值，在函數中是以函數y=f（x）的圖像與x軸的交點的橫坐標出現的. ”還有學生補充到：“我發現一個比較有意思的現象，那就是在‘函數的零點的學習中，我再次發現數學中的“數”與“形”的關系是十分密切的……”

學生的這些認識表明，他們在理解“函數的零點”這一概念的時候，已經進行了深度加工. “函數的零點”這一概念，不僅讓學生認識到了方程與函數的關系，還為學生理解數形結合思想提供了一個新的契機，學生所形成的認識也可以順利地遷移到其他情形中.

■關于數學核心概念的宏觀理解與微觀實施

基于類似于上述案例的多個教學實踐過程的分析，筆者以為，在高中數學教學中，基于核心概念去實施教學，可以從宏觀與微觀兩個層面促進學生的發展. 從宏觀層面來看，數學核心概念的確立、組織和呈現方式反映了一個國家數學課程、教材的主要特點，這個特點體現到數學教學的具體過程中，就是數學知識體系的建立;從微觀層面來看，則培養了學生的數學學習能力，提升了學生解決問題的能力，進而為核心素養的培育奠定了基礎.

上面提到的“函數的零點”的概念建立之后，求函數零點的方法其實也就水到渠成了，無論是方程法還是圖像法，都成了學生思維自然的產物. 其后，在探究“函數零點存在性定理”的時候，學生的思維也更加清晰了，比如有數個學生明確提出了可以基于數形結合的思路，去建立起相關的認識. 有學生總結出來：“如果一個函數y=f（x）在某區間[a，b]上的圖像，只要滿足了f（a）·f（b）<0，那么這個函數在這個區間內肯定就有零點.”這樣的說法與準確的數學表達幾乎就是一步之遙了. 如此迅速地尋找到正確的結論，筆者以為與此前“函數的零點”的概念建立的過程有關，正是因為此前的精加工過程，使得學生在概念建立的過程中，建立了豐富的、正確的表象，從而保證了后續學習過程的高效. 從核心素養培育的角度來看，這也是能力的遷移，是核心素養落地的初步體現.

總之，在核心素養的背景下，要重視核心概念的教學，要以之作為打開核心素養培育大門的鑰匙，這是核心概念的新的意義所在.